Фракталы — это бесконечные сложные узоры, которые самоподобны в разных масштабах. Например, ствол дерева расщепляется на ветки. Те распадаются на еще более мелкие ветви и так далее. Программная генерация фракталов превратит простые формы в сложные узоры. Я покажу, как построить впечатляющие фракталы при помощи Python простой геометрии и знания программирования.

Фракталы важны и в науке о данных. Например, фрактальный анализ оценивает фрактальные характеристики наборов данных, чтобы помочь понять структуру процессов в основе данных. А рекуррентный алгоритм — центр генерации фракталов — может применяться к широкому кругу задач с данными, от алгоритма двоичного поиска до рекуррентных нейронных сетей.

Идея

Я хочу написать программу, которая рисует равносторонний треугольник. Затем на каждой стороне треугольника эта же программа рисует треугольник поменьше, обращенный наружу. Должна быть возможность повторять рисование столько раз, сколько нужно, чтобы отрисовать интересные узоры.

Этот набросок — тип узора, который хочется нарисовать

Представление изображения

Изображение я представлю как двумерный массив пикселей. Каждая ячейка в массиве пикселей — это цвет пикселя в RGB. Библиотекой NumPy воспользуемся для генерации массива пикселей, а Pillow — для превращения массива в изображение, которое можно сохранить.

Синий пиксель имеет значение x равное 3, а y — 4, а значит, доступ к нему можно получить строкой pixels[4][3].

Рисуем линию

Нам нужна функция, которая принимает две координаты и между ними рисует линию.

Приведенный ниже код работает путем интерполяции между двумя точками, с каждым шагом добавляя в массив новые пиксели. Это как раскрашивание линии пиксель за пикселем.

import numpy as np from PIL import Image import math  def plot_line(from_coordinates, to_coordinates, thickness, colour, pixels):      # Figure out the boundaries of our pixel array     max_x_coordinate = len(pixels[0])     max_y_coordinate = len(pixels)      # The distances along the x and y axis between the 2 points     horizontal_distance = to_coordinates[1] - from_coordinates[1]     vertical_distance = to_coordinates[0] - from_coordinates[0]      # The total distance between the two points     distance =  math.sqrt((to_coordinates[1] - from_coordinates[1])**2 \                 + (to_coordinates[0] - from_coordinates[0])**2)      # How far we will step forwards each time we colour in a new pixel     horizontal_step = horizontal_distance/distance     vertical_step = vertical_distance/distance      # At this point, we enter the loop to draw the line in our pixel array     # Each iteration of the loop will add a new point along our line     for i in range(round(distance)):          # These 2 coordinates are the ones at the center of our line         current_x_coordinate = round(from_coordinates[1] + (horizontal_step*i))         current_y_coordinate = round(from_coordinates[0] + (vertical_step*i))          # Once we have the coordinates of our point,          # we draw around the coordinates of size 'thickness'         for x in range (-thickness, thickness):             for y in range (-thickness, thickness):                 x_value = current_x_coordinate + x                 y_value = current_y_coordinate + y                  if (x_value > 0 and x_value < max_x_coordinate and \                     y_value > 0 and y_value < max_y_coordinate):                     pixels[y_value][x_value] = colour  # Define the size of our image pixels = np.zeros( (500,500,3), dtype=np.uint8 )  # Draw a line plot_line([0,0], [499,499], 1, [255,200,0], pixels)  # Turn our pixel array into a real picture img = Image.fromarray(pixels)  # Show our picture, and save it img.show() img.save('Line.png')

Я попросил функцию нарисовать желтую линию по углам массива пикселей

Треугольник

Теперь у нас есть функция, которая проводит линию между двумя точками. Нарисуем первый равносторонний треугольник.

Взяв центральную точку и длину стороны треугольника, с помощью удобной формулы вычислим высоту: h = ½(√3a).

Теперь, используя эту высоту, центральную точку и длину стороны, я могу определить, где должен находиться каждый угол треугольника. А функция plot_line проведет линию между углами.

def draw_triangle(center, side_length, thickness, colour, pixels):      # The height of an equilateral triangle is, h = ½(√3a)     # where 'a' is the side length     triangle_height = round(side_length * math.sqrt(3)/2)      # The top corner     top = [center[0] - triangle_height/2, center[1]]      # Bottom left corner     bottom_left = [center[0] + triangle_height/2, center[1] - side_length/2]      # Bottom right corner     bottom_right = [center[0] + triangle_height/2, center[1] + side_length/2]      # Draw a line between each corner to complete the triangle     plot_line(top, bottom_left, thickness, colour, pixels)     plot_line(top, bottom_right, thickness, colour, pixels)     plot_line(bottom_left, bottom_right, thickness, colour, pixels)

Генерация фрактала

Последний шаг, пожалуй, самый сложный. Я хочу, чтобы функция треугольника вызывала сама себя для каждой стороны треугольника. Для этого нужно вычислять центральную точку каждого из новых меньших треугольников и правильно поворачивать их, так, чтобы они были направлены перпендикулярно стороне, к которой прикреплены.

Мы можем использовать эту функцию для поворота каждого угла треугольника, вычитая смещение центральной точки из координат, которые я хочу повернуть, а затем применяя формулу для поворота пары координат.

def rotate(coordinate, center_point, degrees):     # Subtract the point we are rotating around from our coordinate     x = (coordinate[0] - center_point[0])     y = (coordinate[1] - center_point[1])      # Python's cos and sin functions take radians instead of degrees     radians = math.radians(degrees)      # Calculate our rotated points      new_x = (x * math.cos(radians)) - (y * math.sin(radians))     new_y = (y * math.cos(radians)) + (x * math.sin(radians))      # Add back our offset we subtracted at the beginning to our rotated points     return [new_x + center_point[0], new_y + center_point[1]]

Треугольник, в котором каждую координату мы повернули на 35 градусов

Теперь, когда я могу вращать треугольник, переключу внимание на рисование меньших треугольников.

Для этого я дописал draw_triangle так, чтобы для каждого ребра вычислить поворот и центральную точку нового треугольника с длиной стороны, уменьшенной на параметр shrink_side_by.

После вычисления центральной точки и поворота нового треугольника функция вызывает draw_triangle (саму себя), чтобы из центра текущей линии нарисовать новый треугольник меньше. Так один блок кода вычислит другой набор центральных точек и вращений меньшего треугольника.

Такой алгоритм называется рекурсивным: функция draw_triangle будет вызывать себя, пока не достигнет количества треугольников max_depth. Это условие важно потому, что иначе произойдет ошибка переполнения стека.

def draw_triangle(center, side_length, degrees_rotate, thickness, colour, \                   pixels, shrink_side_by, iteration, max_depth):      # The height of an equilateral triangle is, h = ½(√3a)      # where 'a' is the side length     triangle_height = side_length * math.sqrt(3)/2      # The top corner     top = [center[0] - triangle_height/2, center[1]]      # Bottom left corner     bottom_left = [center[0] + triangle_height/2, center[1] - side_length/2]      # Bottom right corner     bottom_right = [center[0] + triangle_height/2, center[1] + side_length/2]      if (degrees_rotate != 0):         top = rotate(top, center, degrees_rotate)         bottom_left = rotate(bottom_left, center, degrees_rotate)         bottom_right = rotate(bottom_right, center, degrees_rotate)      # Coordinates between each edge of the triangle     lines = [[top, bottom_left],[top, bottom_right],[bottom_left, bottom_right]]      line_number = 0      # Draw a line between each corner to complete the triangle     for line in lines:         line_number += 1          plot_line(line[0], line[1], thickness, colour, pixels)          # If we haven't reached max_depth, draw some new triangles         if (iteration < max_depth and (iteration < 1 or line_number < 3)):             gradient = (line[1][0] - line[0][0]) / (line[1][1] - line[0][1])              new_side_length = side_length*shrink_side_by              # Center of the line of the traingle we are drawing             center_of_line = [(line[0][0] + line[1][0]) / 2, \                               (line[0][1] + line[1][1]) / 2]              new_center = []             new_rotation = degrees_rotate              # Amount we need to rotate the traingle by             if (line_number == 1):                 new_rotation += 60             elif (line_number == 2):                 new_rotation -= 60             else:                 new_rotation += 180              # In an ideal world this would be gradient == 0,             # but due to floating point division we cannot             # ensure that this will always be the case             if (gradient < 0.0001 and gradient > -0.0001):                 if (center_of_line[0] - center[0] > 0):                     new_center = [center_of_line[0] + triangle_height * \                                  (shrink_side_by/2), center_of_line[1]]                 else:                     new_center = [center_of_line[0] - triangle_height * \                                   (shrink_side_by/2), center_of_line[1]]              else:                  # Calculate the normal to the gradient of the line                 difference_from_center = -1/gradient                  # Calculate the distance from the center of the line                 # to the center of our new traingle                 distance_from_center = triangle_height * (shrink_side_by/2)                  # Calculate the length in the x direction,                  # from the center of our line to the center of our new triangle                 x_length = math.sqrt((distance_from_center**2)/ \                                      (1 + difference_from_center**2))                  # Figure out which way around the x direction needs to go                 if (center_of_line[1] < center[1] and x_length > 0):                     x_length *= -1                  # Now calculate the length in the y direction                 y_length = x_length * difference_from_center                  # Offset the center of the line with our new x and y values                 new_center = [center_of_line[0] + y_length, \                               center_of_line[1] + x_length]              draw_triangle(new_center, new_side_length, new_rotation, \                           thickness, colour, pixels, shrink_side_by, \                           iteration+1, max_depth)

Фрактал с параметрами shrink_side_by = 1/2 и max_depth = 2

Результаты

Ниже приведены примеры изображений, которые мы можем сгенерировать, изменив значения параметров shrink_side_by и max_depth в draw_triangle.

Интересно, что эти крупные повторяющиеся узоры часто порождают формы сложнее, например завораживающе симметричные шестиугольники.

В симметрии повторяющихся треугольников начинают проявляться все более сложные формы.

Фрактал-снежинка при помощи версии draw_triangle, которая рисует треугольники сторонами внутрь

Другое творение с небольшим уменьшением в размерах на каждой итерации

Заключение

Творческий подход поможет создавать впечатляющие структуры.

Разобравшись с основными свойствами фракталов и применив рекурсивный алгоритм, мы создали прочную основу, которая также поможет разобраться со сложными задачами науки о данных.

Загружайте и читайте код здесь. Если знаете, как сделать код лучше, свяжитесь со мной.

Data Science и Machine Learning

Python, веб-разработка

Мобильная разработка

Java и C#

От основ — в глубину

А также

ссылка на оригинал статьи https://habr.com/ru/articles/725368/

Фракталы, рекурсия и Python