Мир математики глазами AI

Всем привет! В этой статья я хочу посмотреть, как AI видит мир математики, а точнее, какие разделы знает, насколько понимает, про что они и какие основные результаты может выделить.

Для этого я буду использовать популярный сейчас ChatGPT, который как-то так предложил мне начать эту статью:

Математика — это удивительная наука, которая описывает мир через числа, формулы и логические рассуждения. Однако, несмотря на все её достижения и применения в разных областях, многие её аспекты остаются загадкой для человека. В этой статье мы рассмотрим мир математики глазами искусственного интеллекта, способного анализировать и обрабатывать огромные объемы данных и находить решения, которые были бы недоступны для человека. Погрузимся в удивительный мир математических концепций и принципов, которые помогают понимать мир вокруг нас и создавать новые технологии и инновации.

А среди основных разделов выделил:

• Математический анализ

• Теория множеств

• Линейная алгебра

• Теория вероятностей

Но прежде, чем переходить к ним, короткое предисловие.

Короткое предисловие

Всё общение происходило по одному и тому же шаблону и включало в себя следующие вопросы:

• Основные результаты

• О чем эти результаты

• Дополнительный вопрос на понимание

Ещё я просил дать какие-нибудь идеи, как можно красиво проиллюстрировать тот или иной результат. Не всегда это было удачно, но некоторые идеи я использовал.

Кроме того, весь текст ниже я никак не редактировал по содержанию и смыслу, а лишь перевёл (ходят слухи, что на английском он лучше отвечает). Поэтому возможны ошибки, которые я специально не стал исправлять.

Математический анализ

Теорема Ньютона-Лейбница — эта теорема связывает понятия дифференцирования и интегрирования. Она утверждает, что если функция непрерывна на отрезке, то определенный интеграл от неё на этом отрезке равен разности значений первообразной этой функции на концах этого отрезка.

Теорема о промежуточном значении — эта теорема утверждает, что если непрерывная функция принимает два разных значения в двух точках интервала, то она должна принимать каждое значение между этими двумя точками хотя бы один раз.

Ряд Тейлора — это метод, который позволяет представить функцию в виде бесконечной суммы членов, связанных с производными функции, вычисленными в определенной точке.

Преобразование Фурье — это метод, который разлагает сигнал или функцию на составляющие его частоты. Это основной инструмент в обработке сигналов, системах связи и многих других областях, где важен анализ сигналов или функций.

Вопрос про разложение функции в ряд Тейлора

В прошлой статье в комментариях был такой спор.

Посмотрим, как ChatGPT решит его.

Функция раскладывается в ряд Тейлора в точкеЧтобы найти разложение, вычислим производные функциив этой точке и получим следующий ряд

Это неправильный ответ. Да, функцияраскладывается в ряд Тейлора в точке но разложение имеет вид

Теория множеств

Теорема Кантора — эта теорема утверждает, что мощность любого множества строго меньше мощности множества всех его подмножеств.

Аксиома выбора — Это противоречивая аксиома теории множеств, которая утверждает, что для любого набора непустых множеств существует способ выбрать один элемент из каждого множества.

Мощность конечного множества всех подмножеств

Я решил спросить, чему равна мощность множества всех подмножеств множестваесли оно конечно и содержитэлементов.

Если — конечное множество мощностито мощность множества всех его подмножеств равна

Чтобы понять, почему это так, нужно обратить внимание на то, что для построения любого подмножестваесть всего два варианта выбора для каждого элемента: либо включить его в подмножество, либо не включить.

Поскольку в всегоэлементов, получаем, что всего вариантов и каждый из этих вариантов соответствует уникальному подмножеству

Следовательно, всего существует подмножеств

Линейная алгебра

Определитель — представляет собой числовое значение, связанное с квадратной матрицей. У него есть много важных приложений в линейной алгебре, таких как определение обратимости, вычисление собственных значений и собственных векторов и решение систем линейных уравнений.

Матрицы — это способ представления линейных преобразований и систем линейных уравнений. Они предоставляют мощный инструмент для выполнения вычислений и анализа свойств линейных систем.

Линейное отображение — это функция, которая отображает векторы из одного векторного пространства в другое, сохраняя при этом определённые алгебраические свойства, такие как линейность и сохранение векторного сложения и скалярного умножения.

Коммутативность умножения матриц

Здесь я решил спросить, как геометрически показать, что умножение матриц не является коммутативным.

Когда мы думаем о матрицах как о линейных отображениях, то умножению матриц соответствует композиция линейных отображений.

Для того, чтобы показать, что умножение матриц не является коммутативным, можно рассмотреть два линейных отображенияи где — поворот на градусов против часовой стрелки, а — отражение относительно оси

Если мы сначала применяема затем мы получаем другое преобразование, чем если бы мы сначала применялиа затем

Этот пример иллюстрирует, почему умножение матриц не является коммутативным.

Теория вероятностей

Закон больших чисел — этот закон гласит, что среднее значение результатов, полученных при большом количестве испытаний случайного события, будет близко к математическому ожиданию.

Центральная предельная теорема — эта теорема утверждает, что сумма большого числа независимых случайных величин имеет распределение близкое к нормальному.

Цепь Маркова — это случайный процесс, удовлетворяющий свойству Маркова, которое гласит, что будущее состояние системы зависит только от текущего состояния, а не от какого-либо предыдущего состояния.

Условная вероятность — это вероятность наступления события при условии, что произошло другое событие.

Парадокс дней рождения

Здесь я решил спросить про популярную задачу из теории вероятностей.

Пусть в группе человека. Чему равна вероятность того, что хотя бы у двух человек совпадает день рождения. Под совпадением понимается совпадение числа и месяца.

Вероятность того, что по крайней мере у двух человек день рождения в группе из человек совпадает, можно вычислить с помощью противоположных событий

Вычислим вероятность того, что у всех дни рождения различны.

Вероятность того, что у первого человека уникальный день рождения, равна .

Вероятность того, что у второго человека уникальный день рождения, равна потому что возможных вариантов уникальных дней рождения осталось

Вероятность того, что у третьего человека уникальный день рождения, равна

Продолжая по аналогии, получим, что вероятность того, что у всех дни рождения различны, равна

Следовательно, вероятность того, что хотя бы у двух человек день рождения совпадает, равна

Заключение

В заключение хотелось бы порассуждать о том, а сможет ли AI заменить преподавателя по математике или там сдать экзамен по матану.

Мне кажется, что нет, ещё не может. И дело тут в том, что он допускает очень много ошибок, как арифметических, так и логических.

Пример ошибки

Различные ссылки

Для создания графики использовался manimCE