Интересные неинтересные числа

Вам нравится число 7? Хорошее такое число, интересное. Символичное. Многим нравится.

А 8? 15, 84? Или 240? Кажется — ничего интересного в них нет, какие‑то они скучные..

Давайте вообще поделим все натуральные числа на «интересные» и «неинтересные».
Число чем‑то примечательно — в одну колонку его, ничем — в другую. АЛГА, начнем с единицы!

Спустя вечность, мы получаем две колонки. С первой, интересной, вроде всё ясно. А вот со второй сложнее. Определили мы в нее, например, число 4, и оно сразу стало очень интересным, ведь это — наименьшее неинтересное число. Переносим его в первый столбец, конечно же. И тут… Тут уже следующее за ним число оказывается наименьшим неинтересным. Упс, кажется, наша затея провалилась. Но почему?

Этот парадокс был сформулирован американским математиком Эдвином Ф. Бекенбахом в заметке «Интересные числа» («Interesting Integers.», The American Mathematical Monthly, 1945). Но почему он вообще возник?

А потому что, как многократно обсуждалось в фуршетной Сайнса, начинать надо с определений. Пока понятие «интересности» не определено и субьективно, его использование может привести к самореференции. Это явление, когда понятие ссылается само на себя.

Помнится, мой преподаватель по объектно‑ориентированному программированию однажды провернул с нами злую шутку, дав на одной лекции определение «модель — это абстракция реальности», а на другой «абстракция — это модель реальности», а потом изрядно глумился на зачете, требуя объяснить, что же это за штуки такие и чем они друг от друга отличаются.

Использование самореференции при логических рассуждениях часто ведет к появлениям парадоксов. Например, таким, как парадокс брадобрея: единственный в городке брадобрей бреет всех жителей городка, кто не бреется сам. Бреет ли он сам себя?

Если брадобрей бреет сам себя, то он не может брить сам себя. Но в таком случае он не бреется самостоятельно и должен брить себя сам.

Или другой, не менее известный парадокс лжеца: критянин Эпименид утверждал, что все критяне лжецы. Истинно ли это?

Если это высказывание истинно, то Эпименид как и все критяне, лжец и не может говорить правду, значит, его высказывание ложно. Но в этом случае критяне, включая его самого, не лгут, и, значит, его высказывание истинно.

Еще один забавный пример сформулировали Леонард Нельсон и Курт Греллинг.

Они предложили разделить все прилагательные на два множества: самодескриптивные, обладающие тем свойством, которое они выражают, и несамодескриптивные. Такие прилагательные, как «многосложное», «русское» и «трудновыговариваемое» принадлежат к числу самодескриптивных. А такие, как «немецкое», «однокоренное» и «невидимое» — к числу несамодескриптивных. К какому из двух множеств принадлежит прилагательное «несамодескриптивное»?

Самореференция часто встречается и в парадоксах, основанных на прямых и противоположных утверждениях.

«Это предложение содержит шесть слов». Истинно ли это? Нет. Значит, истинным должно быть противоположное утверждение: «Это предложение содержит не шесть слов». Но в этом предложении 6 слов, и, значит, оно ложно, соответственно, противоположное ему должно быть истинным…

Но вернемся к числам. И сейчас нам важно то, что, пока мы будем считать интересным любое число, не являющееся неинтересным, нам так и не удастся найти ни одного скучного.

Разрешить этот парадокс возможно, избавившись от самореференции и определив критерии интересности числа. Например, считать интересными только числа, которым посвящены отдельные страницы в Википедии.

А для человека, которому в принципе не понятно, как число может быть интересным, не найдется ни одного субьективного критерия, по которому число можно было бы определить в первый столбец, и для него никакого парадокса не будет. Так сказать, красота в глазах смотрящего.

Автор: Карина Соловьева

Оригинал