Путь к геометрии Лобачевского 3: стереографическая проекция

Часть 1: скалярное произведение и метрика
Часть 2: сфера

В прошлой части было показано, что на сфере нет параллельных прямых. Общество нам внушает, что сфера обязательно лежит в объемлющем пространстве. Однако, так называемые математики тщательно скрывают другой способ мышления, в котором сфера уже является самостоятельным объектом. Давайте же сбросим оковы, перестанем быть марионетками и сделаем финальный шаг в сторону построения плоскости, на которой нет параллельных прямых*.

*построенная конструкция НЕ является моделью плоскости Лобачевского, но используемые техники пригодятся в дальнейшем.

Приглашаю к прочтению!

Формулы стереографической проекции

Для того, чтобы отождествить сферу с плоскостью, поставим эту самую сферу на плоскость так, чтобы она касалась плоскости южным полюсом в начале координат (точка ). Теперь проведем луч из северного полюса сферы — — через точку на сфере — этот луч будет пересекать плоскость в точке . Визуализация проекции:

Отмечу, что это не единственный вариант стереографической проекции: иногда плоскость проекции проходит через центр окружности. Принципиальной разницы между разными проекциями нет, а для иллюстративных целей лучше подходит именно описаная.

Чтобы найти формулы перехода из локальных координат на сфере к полярным координатам на плоскости , нужно заметить, что угол на сфере сохраняет свою координату на плоскости и не влияет на , поэтому достаточно найти зависимость . Переход к прямоугольным координатам на плоскости осуществляется по классическим формулам из анализа, с подстановкой вместо . Все это изображено на картинке ниже, с намеком на то, как получить выражение для (я его выписал для единичной сферы).

На картинке можно заметить, что треугольники и подобны (у обоих есть прямой угол ( и ) и один угол общий — ). Таким образов, возникают две функции перевода: от точки на сфере на плоскость в полярных координатах, и на ту же плоскость, но в прямоугольных. Вот системы перехода со сферы на плоскость с полярными координатами, из полярных в прямоугольные, и со сферы сразу в прямоугольные:

В таком отображении (имеется в виду отображение проекции) все точки на сфере будут иметь образ на плоскости, кроме северного полюса: нельзя однозначно провести прямую через одну точку (полюс с самим собой) и найти пересечение прямой с плоскостью проекции, однако интуиция подсказывает, что если к северному полюсу приближаться, то образ на плоскости будет удаляться от начала координат, поэтому к плоскости добавляют одну бесконечно-удаленную точку, которая является образом северного полюса сферы. То есть сфера ровно на одну точку “богаче”, чем плоскость. Такую плоскость математики называют “расширенной комплексной плоскостью”.

Если представить на минутку, что поверхность Земли имеет форму сферы, то её можно спроецировать на плоскость из обоих полюсов. При этом проекции будут немного странными, см картинку ниже. Например, при проекции из северного полюса (т.е. когда Земля касается плоскости проекции южным) — он (северный полюс) уезжает в бесконечно удаленную точку и находится как бы “вокруг” всей плоскости. То же самое и с проекцией из южного — в ней все материки кроме Антарктиды становятся очень маленькими, а Антарктида и южный полюс “окаймляет” Землю. Думаю этот факт как-то связан со знаменитой Ледяной Стеной из теории о плоской Земле.

На картинке выше видно, как сильно исказились формы материков и расстояния между ними. Так происходит из-за изменения метрики под действием отображения. Можно показать средствами дифференциальной геометрии, что отображения без искажений (изометричного) из сферы на плоскость не существует.

Метрика в плоскости стереографической проекции

Напомню метрики евклидова пространства и сферы единичного радиуса в её локальных координатах, они нам сейчас пригодятся.

Метрику со сферы легко индуцировать на плоскость стереографической проекции с полярными координатами — нужно выписать формулы обратного перехода (с плоскости на сферу, т.е. , посчитать соответствующие дифференциалы и подставить в формулу с картинки выше. Проще начать с полярных координат на плоскости:

И переход с полярных в прямоугольные:

Метрика на плоскости стереографической проекции отличается от метрики обычной евклидовой плоскости на переменный множитель: в полярных координатах множитель равен , а в прямоугольных . Напомню для чего используется выражение метрики — для подсчета длин кривых в локальных координатах (т.е. в или ). Ещё можно использовать метрику для вычисления углов между кривыми, однако это выходит за рамки текущей темы. Чтобы посчитать длину кривой надо проинтегрировать от начальной точки кривой до конечной . Множитель в метрике перейдет внутрь интеграла и будет тем меньше, чем дальше от начала координат находится кривая. Значит, что геометрические объекты “растягиваются” по мере удаления от центра плоскости, и кривые, которые визуально становятся длиннее, могут быть даже меньше по длине чем кривые в начале координат. Это очень хорошо видно на картах стереографической проекции Земли — например справа Южная Америка выглядит длиннее чем Северная примерно в 5-6 раз, хотя на глобусе их размеры отличаются не так сильно.

Ради упражнения предлагаю посчитать длины двух кривых: и . Первая из них это окружность радиуса 2, а вторая неограниченная прямая, проходящая через центр плоскости. Их длины совпадают и равны . Конечно же, совпадают они не случайно, причину совпадения объясню в следующей секции.

Прямые в плоскости стереографической проекции

Вопрос: что является образами прямых на сфере — т.е. больших кругов — на плоскости? Ответ: для прямых не проходящих через северный полюс это окружности, а для прямых, проходящих через северный полюс, это прямые на плоскости, проходящие через начало координат. Большие круги на сфере получаются пересечением поверхности сферы и плоскости, которая проходит через начало координат, общее уравнение этой плоскости . Чтобы показать, что на плоскости после проекции будут круги, нужно выразить локальные координаты плоскости через глобальные и подставить их в уравнение окружности. Эти действия можно посмотреть на скриншоте под спойлером:

Формулы

Легко видеть, что на плоскости прямые из второго класса (т.е. прямые, проходящие через начало координат) пересекаются дважды — в начале координат и в бесконечно удаленной точке (aka северном полюсе на оригинальной сфере). Любые прямые из первого класса (т.е. окружности) тоже пересекаются дважды, но только уже не в фиксированных точках (так получается потому что начало координат всегда лежит внутри окружностей). Вот несколько анимаций, показывающих как изменяются образы больших кругов при их проецировании на плоскости:

Если изобразить несколько больших кругов на плоскости одновременно, то будет видно как они пересекаются. Прямые, которые проходят через начало координат на плоскости, тоже перескаются дважды — второй раз в бесконечно удаленной точке. Вот пример на картинке, которая напоминает баскетбольное поле:

Вывод

В итоге у нас получилась плоскость с бесконечно удаленной точкой, с метрикой, индуцированной со сферы, лежащей в обычном евклидовом пространстве. С такой метрикой прямые (то есть геодезические) выглядят как окружности в обычном смысле или как прямые проходящие через центр координат. Параллельных прямых на плоскости нет совсем, и при этом плоскость не лежит в каком-то объемлющем пространстве, а существует сама по себе. Такая плоскость (почти) является моделью сферической геометрии и служит наглядным примером модели геометрии отличной от Евклидовой. Она нужна именно для того, чтобы показать, что параллельные прямые могут вести себя не так как мы привыкли.

Геометрию можно начать мыслить с треугольников евклидовой плоскости, в которой параллельные прямые есть, а сейчас мы рассмотрели сферу и получили иную модель геометрии, в которых параллельных прямых не бывает. Если вспомнить, как мы представляли сферу изначально, т.е. как поверхность, то у нее есть отличительная характеристика — она всюду выпуклая в житейском смысле. Что если представить себе существование другой поверхности, всюду “впуклой”, как она будет выглядеть и как на ней будут вести себя прямые? Разложим этот вопрос на простые множители в следующей части.