Математическая продлёнка. Изобретаем эллиптические числа

Продолжаем разбираться с числостроительством в серии заметок «Изобретаем числа». В предыдущих статьях этой серии мы последовательно подходили к построению числовых систем (алгебраических структур, которые я неформально называю арифметиками), как модулей над более простыми системами. В прошлый раз мы ввели классификацию таких арифметик, пользуясь их матричными представлениями, и разбили их на классы: эллиптические, гиперболические и параболические.

Оглавление серии

1. Изобретаем целые числа

2. Изобретаем рациональные дроби

3. Изобретаем числа по-взрослому

4. Изобретаем эллиптические числа

5. Изобретаем гиперболические числа

6. Изобретаем параболические числа

Сегодня я хочу поговорить об эллиптических арифметиках, к которым относятся хорошо всем известные комплексные числа и менее известные, но полезные числа Эйзенштейна. В частности, мы поговорим о том, почему среди многообразия возможных эллиптических арифметик именно комплексные числа в том виде, в котором мы их знаем, являются наиболее удобными и универсальными.

Реальна ли мнимая единица?

Мой ответ: «Да, вполне. В той же мере, насколько реален поворот на 90° или листочек в клеточку.» Давайте разбираться, а заодно познакомимся с числами Эйзенштейна.

Этот вопрос явно относится к серии «классика жанра», обязательной в любом математическом блоге или журнале. Я не буду рассказывать об истории, возникновения идеи комплексных чисел или повторять неоднократно приводимые аргументы об их полезности в алгебре, физике и прочих разделах математики, и сосредоточусь не на формальном смысле мнимой единицы, а именно на её связи с привычной и зримой окружающей нас геометрической реальностью.

При этом опираться я буду не на философию, а на элементы теории представлений, с которыми мы постепенно знакомимся в этой серии статей. Теория представлений не относится к числу элементарных, но сегодня мы с её помощью от формальной стороны комплексных чисел сможем перейти к их вполне ощутимым свойствам.

В прошлый раз мы перечислили основные типы линейных преобразований плоскости, и среди них выделили преобразования эллиптического типа, являющиеся композицией растяжения и поворота.

Матрицы, которые представляют такие преобразования, имеют исключительно вещественные элементы, их характеристическое уравнение тоже имеет вещественные коэффициенты, однако его дискриминант отрицателен и следовательно, вещественных корней оно иметь не может. Таким образом, мы приходим к выводу, что спектр этих матриц представляет собой пару сопряжённых комплексных чисел. А поскольку, как мы знаем, матрица является линейным представлением корней своего характеристического уравнения, то и сами «эллиптические» матрицы могут быть линейным представлением комплексных чисел.

Среди матриц такого типа можно выделить те, что представляют решения уравнения: . Они имеют нулевой след (сумму диагональных элементов) и равный единице определитель (не меняют площади фигур). Об этом говорят коэффициенты уравнения, и их толкование согласно теореме Виета. Можно построить целое многообразие таких матриц, параметризовав его вещественным числом :

Все они при возведении в квадрат дают матричный аналог вещественного числа . Давайте посмотрим на то, как выглядят соответствующие преобразования и их орбиты:

Как видите, все орбиты (множества, которые получаются при многократном применении преобразования) для этих матриц оказываются эллиптическими. И только при , они превращаются в окружности. Применно при таком преобразовании происходит поворот всей плоскости на 90° и при этом сохраняются как расстояния так и углы между всеми векторами. О том чем хорош поворот именно на 90° мы подробно говорили в статье «Самый правильный угол».

Линейное преобразование, обладающее такими свойствами, называется ортогональным. Расстояния и углы связаны со скалярным произведением, так что более общее утверждение таково: ортогональное преобразование сохраняет все скалярные произведения.

И если говорить о матрицах, для них ортогональность определяется достаточно просто: её строки образуют ортогональные векторы, для которых скалярное произведение равно нулю. В нашем случае это условие приводит к такому уравнению:

Из него следует, что только при мы получим вещественнозначную ортогональную матрицу:

которая представляет мнимую единицу в наиболее «чистом» виде, в виде ортогонального преобразования, сохраняющего скалярные произведения, то есть, линейные комбинации. В контексте арифметики это полезное свойство. Оно означает, что при умножении на мнимую единицу в таком представлении модуль комплексного числа изменяться не будет.

Ортогональные матрицы обладают ещё одним важным свойством: если поменять местами строки и столбцы (отразить её относительно главной диагонали или транспонировать), то получится матрица обратная исходной. Если мы транспонируем матрицу, представляющую мнимую единицу, то получим представление числа :

которое при умножении на число  даёт нейтральный элемент . Другие матричные решения уравнения  таким свойством не обладают.

Ну и что?

Возможно, это было чересчур подробное введение, но мне хотелось строго показать, что среди всех вариантов представлений мнимой единицы, именно пара, соответствующая поворотам на 90°, является наиболее точным представлением этого объекта. Традиционно принято считать, что умножение на  поворачивает аргумент комплексного числа против часовой стрелки.

Так что же является «главным»:

• формальное решение уравнения , в реальности которого мы сомневаемся,

• или линейное представление этого решения в форме поворота на 90°, которое вполне реально, ощутимо и доступно для наблюдения?

Для математика так вопрос не стоит. Оба эти математических объекта изоморфны друг другу, а следовательно, идентичны. Оба они образуют одинаковую алгебраическую структуру: циклическую группу четвёртого порядка. Кроме того, с их помощью можно расширить поле вещественных чисел и получить аглебраически замкнутое поле, состоящее либо из пар, либо из матриц:

Комплексные числа это, конечно, формализм, непригодный для подсчёта предметов, измерения веса или длины. Изображая график параболы, не пересекающей оси , мы справедливо говорим об отсутствии корней у соответствующего уравнения, имея в виду вещественные корни. И только формальное введение мнимых чисел позволяет нам рассуждать о корнях «нерешаемых» уравнений (см. Квадратные уравнения во всей красе). Но при этом они так и остаются формальностью.

В то же самое время, изоморфизм между комплексными числами и поворотами плоскости даёт нам возможность использовать их для описания периодических процессов, которые можно интерпретировать как вращение. Именно поэтому комплексные числа — незаменимый инструмент для моделирования переменного тока, импеданса (волнового сопротивления) реактивных сопротивлений и в матаппарате квантовой механики, где вероятность наблюдения элементарных частиц описывается волновой функцией.

В общем, если вас смущает «нереальность» алгебры комплексных чисел, не смущайтесь, а вспомните, что ровно таким же образом ведут себя композиции масштабирования и поворотов. И то и другое — математическая абстракция, но в силу привычки одна из них нам кажется «абстрактнее» другой.

Числа Эйзенштейна

После этого философского отвлечения продолжим знакомство с арифметиками эллиптического типа.

Если расширить мнимой единицей кольцо целых чисел, то получатся гауссовы числа. Опираясь на геометрический смысл мнимой единицы, мы можем интерпретировать число  как точку в пространстве с прямоугольными декартовыми координатами . Такие точки образуют регулярную квадратную решётку. Таким решёткам посвящена статья: Рисуем по клеточкам.

Основным алгебраическим свойством такой решётки является её замкнутость: сумма и произведение любых гауссовых чисел вновь является гауссовым числом. Геометрически это выражается в том, что действием умножения на любое ненулевое гауссово число будет такая композиция масштабирования и поворота, что все точки решётки после умножения вновь попадут на целочисленные координаты.

Как известно, плоскость можно замостить только тремя правильными многоугольниками: квадратами, треугольниками и шестиугольниками. Первый способ даёт геометрическую интерпретацию для гауссовых чисел, а вторые два соответствуют иной числовой системе: числам Эйзенштейна. Они являются расширением кольца целых чисел с помощью элемента, решающего простейшее нетривиальное уравнение третьего порядка:

Для матрицы характеристическое уравнение не может иметь порядок выше второго. Однако в этом особенном случае можно переписать уравнение так:

Первый множитель даёт очевидный вещественный корень, а второй порождает два новых корня, не существующих в целых числах. Эти корни можно выразить, как пару взаимно сопряжённых комплексных чисел

Поищем матричное представление для этой числовой системы. Если рассматривать уравнение , как характеристическое для некоторой матрицы, то её след будет равен , а определитель равен . Такие целочисленные матрицы найти нетрудно, например, они могут быть такими:

С их помощью любое число Эйзенштейна можно однозначно представить в виде линейной комбинации

где это единичная матрица. Любые вычисления в получившемся кольце можно производить используя эти целочисленные матрицы. Но, к сожалению, эти двумерные матрицы не ортогональны, а это значит, что умножение на представленное таким образом, не будет чистым поворотом решётки на 120°, а ещё и масштабирует её. Можно наши матрицы ортогонализовать, но для этого потребуется отказаться от их целочисленности. Однако, матричные представления для пар чисел, могут быть не только двумерными, но и трёхмерными. Если мы перейдём к матрицам , то сможем построить две красивые ортогональные целочисленные матрицы:

Вы можете легко убедиться в том, что при возведении в третью степень обе они превращаются в единичную матрицу, то есть, в вещественную единицу.

Эти две матрицы появляются из очень красивого геометрического свойства: три вершины единичного куба, могут образовывать правильный треугольник. Таким образом, целочисленная трёхмерная кубическая решётка содержит в себе целочисленную плоскую треугольную подрешётку, которая оказывается «натянута» на углы единичного куба. Таким образом, мы получаем ортогональное линейное представление чисел Эйзенштейна:

Подобно гауссовым, эти числа образуют замкнутую алгебраическую систему, а значит узлы треугольной решётки после умножения будут вновь попадать на треугольную решётку.

Числа Эйзенштейна используются в теории чисел и, в частности, для доказательства частного случая Великой теоремы Ферма для третьей степени. Об этом очень хорошо рассказывает Алексей Савватеев в одной из своих лекций. Ну, а треугольные координаты мы обсуждали, исследуя пространство треугольников в статье «Мир треугольников», так что не обязательно залезать в дебри теории чисел, чтобы повстречать эту замечательную числовую систему.

В следущей статье мы перейдём к гиперболическим арифметикам и познакомимся с двойными числами, а заодно разберёмся как работает знаменитая формула Бине, чудесным образом вычисляющая целые числа Фибоначчи, используя иррациональные компоненты.