Интересное равенство с двойными суммами

Это равенство интересно тем, что выражения слева и справа отличаются верхними пределами суммирования. Слева стоят бесконечные суммы, справа — конечные. Тем не менее, эти выражения равны при любых действительных x и целых неотрицательных n.
Докажем это.

Начнём с выражения:

Представим iⁿ в виде суммы нисходящих степеней:

где i^[j]=i(i-1)(i-2)…(i-j+1), а S_n,j — числа Стирлинга второго рода.

Поменяем справа суммы местам:

Получим:

Перенесём экспоненту в левую часть, а справа подставим выражение для чисел Стирлинга:

Слева представим экспоненту в виде ряда, а справа снова переставим суммы:

Сделав справа замену j — i на j получим окончательный результат:

Другие равенства можно посмотреть здесь.