Автор: Лыков А., к.ф.-м.н., академический руководитель Школы Высшей Математики и ШАДХелпера.
Гробом принято называть задачу на экзамене или олимпиаде, которую почти невозможно решить.В статье мы приведём несколько примеров из вступительных экзаменов в ШАД и классифицируем гробы на три типа.
В контексте экзаменов в ШАД, гробы появляются на экзаменах не каждый год и, как правило, находятся среди последних задач письменного экзамена. Выделим следующие типы гробов.
I) »Классический» — решение у задачи существует, полностью опирается на программу, использует необычные приёмы в решении, сложная даже для специалистов. Рассмотрим примеры.
-
При каких натуральных существует квадратная матрица порядка с элементами такая, что ее квадрат — это матрица из одних единиц?
Решение
Значение , очевидно, подходит. Далее . Пусть — матрица размера из 0 и 1, для которой — матрица из одних единиц. Известно, что и что если — собственное значение матрицы геометрической кратности , то — собственное значение матрицы геометрической кратности . Так как — матрица ранга 1, то — её собственное значение геометрической и алгебраической кратности и — собственное значение кратности 1. Значит, с учётом также того, что , получаем, что . В частности, — полный квадрат.
Пусть . Для перестановки обозначим через матрицу, в которой , а остальные элементы равны 0.
Ясно, что . Пусть. Рассмотрим блочную матрицу , состоящую из блоков размера , в которой каждая блочная строка есть -матрицаНапример, при это
Тогда -блок матрицы есть
-
Верно ли, что почти все (все, кроме конечного числа) натуральные числа представимы в виде , где — количество делителей числа ?
Решение
Решение можно найти в задачнике ШАД Хелпера.
II) «Технарь» — решение опирается на программу, но использует технику и идеи из других математических теорий (например, из теории марковских цепей), о которых не было заявлено в программе. Для решения таких задач полезно знать много «разной математики» вне программы.
-
За столом сидят старателей, перед каждым из которых находится кучка золотого песка. Каждую минуту происходит следующее: по общей команде каждый из них перекладывает в свою кучку половину песка из кучки левого соседа и половину — из кучки правого соседа. Опишите асимптотическое поведение кучек (а) при ; (б) при произвольном .
Решение
Решение можно найти в задачнике ШАД Хелпера.
Решение этой задачи (и не только её) опирается на приёмы, часто применяемые в теории марковских цепей.
-
Какой минимальной длины существует цепочка из цифр, такая, что в ней в качестве фрагментов четырёх из подряд идущих цифр присутствует все не начинающиеся с нуля цепочки из цифр?
Решение
Рассмотрим ориентированный граф с вершинами — трёхзначными числами (которые могут начинаться с нуля) и рёбрами вида (= четырёхзначное число ).
Из каждой вершины выходит 10 рёбер и в каждую входит 10 рёбер, поэтому в графе есть эйлеров цикл. Запишем по кругу число из цифр, соответствующее этому циклу. Разрежем его и выпишем в строку так, чтобы фрагмент стоял в конце. Сотрём последний нуль и получим -значное число, в котором встречаются по разу все 4-значные числа (которые могут начинаться с нуля), кроме .Рёбра графа, отвечающие числам, не начинающимся с нуля, назовём синими, остальные — красными. Рёбра графа, отвечающие числам, не начинающимся с нуля, назовём синими, остальные — красными.
Пусть теперь дано кратчайшее -значное число , в котором встречаются все 9000 4-значных чисел, не начинающихся с нуля (хотя бы раз). Тогда число нулей в A: при сдвиге на одну цифру вправо в мы получим, возможно, новое число, если только эта цифра не нуль. Рассмотрим множества чиселОценим снизу число нулей в .
Все тройные нули из чисел в не пересекаются и содержатся в — уже нулей.
Пары нулей из не пересекаются и максимум 9 из этих 90 пар могли ,,утонуть« в тройках нулей из . Итого, новых нулей. Наконец максимум из одинарных нулей из уже могли быть учтены в и , итого новых нулей. Итого, число содержит как минимум
Знание теории последовательностей де Брейна сильно поможет при решении этой задачи.
III) «Умник» — решение опирается на факты и объекты не из официальной программы.
-
Пусть — ограниченная гладкая функция, причём её среднее значение на любой окружности радиуса равно значению в центре этой окружности. Докажите, что постоянна.
Решение
Решение можно найти в задачнике ШАД Хелпера.
Известные нам решения этой задачи опираются либо на теорию обобщенных функций, либо на теорию мартингалов. Пишите свои решения в комментариях. Ни того, ни другого в официальной программе нет.
Формулировка сразу наталкивает на мысль о гармонических функциях (в смысле теории марковских процессов).
-
Условие. Известно, что случайный вектор распределён нормально:
Найдите измеримую функцию минимизирующую математическое ожидание
Решение
Преобразуем выражение:
По свойству условного математического ожидания минимум последнего выражения достигается при
Последнее равенство не совсем корректно. Более формально нужно написать
приДалее вычислим . Представим случайную величину в следующем виде:
где гауссовская случайная величина независимая от , некоторая константа, которую мы сейчас найдем. Имеем равенство
Откуда находим
Найдём параметры :
Далее, . Поэтому получаем
Следовательно,
Условного математического ожидания в программе нет. Решения не опирающегося на УМО мы, к сожалению, не знаем. Пишите в комментариях свои решения.
Наличие сложных задач поднимает интерес к испытаниям у сильных студентов, создаёт дополнительных дух соперничества. Это однозначно хорошо. Однако мы считаем, что наличие гробов типа «Умник» и «Технарь» не совсем честно и справедливо. Возможно стоит снабжать официальную программу фразой «Дополнительным преимуществом для поступающих может быть знание марковских цепей, теории графов, комплексного анализа и т.д..».
Всем успехов в изучении математики и желаем удачи на экзаменах!
*Условия задач и решений взяты с сайта школы ШАДХелпер.
ссылка на оригинал статьи https://habr.com/ru/articles/869224/
Добавить комментарий