Математическая продлёнка. Про НОД, НОК и суперсилу

Продолжаю делиться с вами своими заметками для занятий математического кружка. Эта статья носит пятничный характер, и представляет опыт лёгкой болтовни на глубокие математические темы. Именно такие беседы с моим папой, а потом с учителями в новосибирской ФМШ когда-то привели меня в науку, и именно они оставляют у учеников ощущение прикосновения к чему-то большому и стройному, что популярные ныне стоики называли словом Логос.

Сегодня я поделюсь своим опытом ученичества и учительства, возможно, полезный тем, у кого есть дети, племянники, внуки или, тем более, ученики, с которыми так хочется разделить свою любовь к точным наукам.

Как папа передавал мне суперсилу

Дело было в мои школьные годы. Я тогда не особенно дружил с математикой и нашего с ней будущего романа ничто не предвещало. Напротив, строгая, пожилая и, прямо скажем, не очень приветливая учительница математики Елена Нестеровна могла навсегда стать несколько отталкивающим образом этой дивной науки.

Как полагается мальчишке, которому не даётся урок, я предпочитал с ним лишний раз не связываться, отделывался малой кровью и троечками, кое-как спихивал домашние задания и особо не заморачивался с тем, чтобы вникнуть в предмет. К тому же, я часто путался, терял знаки, и пренебрегал традициями типа «чертим карандашом, пишем ручкой», или ритуальными: «Дано, Найти, Решение, Ответ», размещал свои корявые выкладки и чертежи, где придётся. Всё это привело учительницу к тому заключению, что я не имел никаких математических способностей. О чём, прямо скажем, мы с ней не особо печалились.

Печалился мой папа. Он был физиком, вулканологом, сотрудником НИИ, и признанным в научных кругах эрудитом. С самого раннего моего детства он стремился к тому, чтобы я был развит всесторонне, и занимался со мной гимнастикой, историей и языками. Сам же он исписывал непонятными мне крючками-формулами тетрадки, постоянно делал какие-то расчёты, возился с экспериментальными установками и муфельными печами в своём кабинете, куда я приходил пить ароматный и не по-детски крепкий чай с пыльными сухарями, остававшимися после экспедиций. И, представляете, тут вдруг выясняется, что я не обнаруживаю математических способностей! Путаюсь в цифрах, знаках и чертежах, и даже перевод единиц измерения вызывает во мне тоску и предчувствие неминуемой гибели, поскольку делается наугад. Это был вызов!

Я помню многое из наших с папой занятий, но как-то так получилось, что я не запомнил с чего же именно он начал. Но это точно не было разбором какого-то домашнего задания, проваленной контрольной, или текущего урока. Как я теперь понимаю, папин принцип состоял в том, чтобы дать мне «суперсилу», нечто такое, что нельзя получить, просто выучив урок. На то она и суперсила чтобы не учить уроков вовсе!

Вот что сделал папа. Он раздобыл для меня, непутëвого пятиклассника, обычные учебники за шестой класс, и мы стали вместе с ним вечерами их разбирать. Задачи и примеры из будущего мне показались интереснее и осмысленнее. А самое главное, я сразу становился в своих глазах выше, ибо героически постигал нечто заведомо неизведанное, а не уныло догонял бездарно пропущенное.

Конечно же, мне сильно не хватало базы, для того чтобы решать задачи из шестого класса, но вот что важно: я стал понимать для чего мне этой базы не хватало! Мои школьные знания были нужны мне для того, чтобы попасть «на следующий уровень» этой игры.

На то и был нужен папа, который терпеливо (не всегда) объяснял то, что было мне не понятно. При этом мы широкими мазками начинали задействовать программу пятого класса, но не по моему учебнику, который я теперь открывал только на уроке или для выполнения домашних заданий, а с папиных слов и объяснений. Ведь у него, школьные учебники давно уже переработаны в свой личный опыт.

Надо отдать должное тому, с каким удовольствием папа со мной возился. Это не было «высиживанием» домашней работы, мучительным как для школьников, так и для родителей. Хотя, если честно, порой мне вовсе не хотелось садиться за занятия математикой. Зато сейчас меня от неё за уши не оттянешь.

На программу шестого класса у нас ушло меньше полугода. Не потому что она простая (а она простая) и не благодаря какой-то особой методике, а просто потому, что мы с папой были в свободном плавании, можно сказать, в космическом путешествии, и могли позволить себе не сильно заморачиваться формальностями. Он не экзаменовал меня, проверяя знания, а подсовывал очередную задачку из новой темы со словами: «Ну-ка, а к этому как подступиться?». И вот это «Ну-ка… » передавало мне какой-то азарт. Представляете, как я радовался, решив задачу? А не решить, рано или поздно, я не мог, ведь рядом был папа. Так что дофаминовый коктейль мои мозги получали исправно.

В азарте, мы с папой пошли дальше, в программу седьмого класса и, должен признаться, что я не могу остановиться и по сей день.

На уроках математики в школе, задания стали для меня не просто лёгкими, а очевидными, ведь они давали базу, на которой я уже свободно пользовался для достижения чего-то большего. Я начинал завоёвывать авторитет у сверстников, поскольку охотно давал списывать и редко ошибался. Не знаю уж, как папа уберёг меня от заносчивости, но мне хватало такта не бездельничать демонстративно на уроках, и пользоваться освобождающимся временем тихо и не особо заметно.

Недостатком папиного подхода можно назвать то, что я окончательно оторвался от последовательности школьного курса, и мог, торопясь и пропуская промежуточные выкладки, дать готовый ответ, что, как известно, «не считается». К тому же, я постоянно пренебрегал ритуалами и заклинаниями, типа тех самых «Дано», «Найти»… и пр., которые мы с папой, чиркая на чистых сторонах толстенной инструкции с ЭВМ «Наири-К», конечно же, не писали. Кроме того, некоторые темы мы пропустили, поскольку они почему-то не понадобились. И когда мы доходили до них в классе, я на время терял свои суперспособности, что, как известно из мировой литературы и комиксов, неприятно, но идёт герою только на пользу.

Таким образом, к концу года я выбрался на крепкую четвëрку, а в отличники особо не стремился. Удивить нашу Елену Нестеровну я смог лишь когда внезапно оказался на краевой математической олимпиаде, где неплохо выступил. А много позже я сам стал педагогом, и преподавал в Новосибирской физматшколе, в Технических вузах Южной Кореи и на Камчатке, в школе Монтессори и в Кванториуме.

Я стал развивать этот педагогический принцип — делать текущие знания желанными для достижения большей цели, и превратил уже в свою педагогическую суперсилу и основу практики.

Именно поэтому в моих заметках в большой серии «Математическая продлëнка» от школьной математики я быстро перехожу даже не к вузовскому курсу, а к иным профессиональным спецкурсам. Ведь так хочется узнать самому, а потом показать всем попутчикам, что там, за углом. Что интересного и красивого ждёт нас в этом лабиринте знаний? И зачем мы вообще сюда полезли?

В качестве примера, поделюсь с вами опытом рассказа ребятам о глубоком математическом принципе двойственности который начинается с актуальных для них проблем, но уводит дальше, открывая интересные горизонты.

Как рассказать про НОД и НОК на прогулке

Довелось мне объяснять пятикласснику две неочевидные концепции — наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух чисел во время прогулки, то есть, без возможности писать или рисовать.

Пятиклассники народ с не очень древней, но весьма богатой культурой. Они успешно освоили письменность, устный счёт, а также конструктор Лего. Пятиклассник, с которым гулял я, считался в своём племени мастером по строительству из кубиков Лего всяких штук от башен, до самолётов. Так что с этого поля я и зашёл в своих объяснениях.

Разложить число на простые множители можно также, как раскладывается любая модель Лего на неделимые без разламывания элементы: кубики, пластинки, балки и колёса. Причём, это разложение будет единственным и возможным всегда.

Пусть у нас есть две модели, например, домик и автомобиль. Разобрав их «по винтику», мы получим две кучи простых деталей. Из всех этих деталей можно сложить кучку, которых хватит по отдельности или на домик, или на автомобиль. В него должны попасть все необходимые для этого запчасти, но не более необходимых. Такой набор будет наименьшим общим кратным для, этих двух моделей.

Конечно же в такую кучку войдут колёса и оси от машинки, а также окна и труба от домика, но в ней могут обнаружиться и универсальные блоки, употребимые в обеих моделях. Кучка всех таких универсальных деталей образует наибольший общий делитель для двух моделей.

Для того чтобы стать мастером Лего, стоит изучить, какие детали существуют в природе, и решить вечные загадки: где они лежат в детской, и где была такая же деталь, но немного другая. Вот так и математики изучают простые числа и решают их вечные загадки: распределение простых чисел среди других, загадку чисел-двойников и т.д.

Эти же концепции можно проиллюстрировать на словах, раскладывая их на буквы. Например, любое из двух слов МОТОР и ТОПОР можно сложить из букв смешного слова МОТОПР. Этот набор букв будет наименьшим общим кратным для этих двух слов. При этом, в обоих словах есть буквы ОТОР — это их наибольший общий делитель. Игра в слова оказалась забавной. Рекомендую похихикать вместе с пятиклассниками, это сближает.

Конечно, в приведённых аналогиях есть много несоответствий числовым системам: следовало бы говорить не о словах или моделях, а лишь о наборах (мультимножествах) простых элементов (букв или деталей), поскольку в отличие от приведённых примеров, комбинирование чисел умножением коммутативно. Кроме того, конструктор Лего и слова образуют только полугруппу и не содержат аналога единицы (НОД для взаимно простых объектов). Однако для выработки интуиции эти аналогии работают хорошо, позволяя понять что такое эти загадочные НОК и НОД.

Думаю, что прежде чем пользоваться формальным алгоритмом Евклида для простых вычислений, важно понять что же мы вычисляем с помощью алгоритма. Иначе не будет ясно зачем мы это делаем и для чего этот результат может нам понадобиться. А про пользу теории делимости и НОКа с НОДом мне нравится рассказывать на примере упаковки коробок в ящики. Но тут надо рисовать, так что для прогулки этот пример не годится.

Ящики, коробки и двойственность

Пользу НОД и НОК легко продемонстрировать на двух задачках об упаковке коробок в ящики. Вот они:

Задача 1. Какого размера должен быть квадратный ящик, чтобы в него можно было плотно уместить одинаковые прямоугольные коробки со сторонами и ?

Ответ: сторона квадрата  должна быть кратной как числу  так и числу . Наименьшее такое значение — это .

Задача 2. Какого размера должны быть одинаковые квадратные коробки, которые можно было бы плотно разместить в ящике со сторонами и ?

Ответ: искомая сторона квадрата x должна делить на цело и  и . Наибольшее такое значение — это .

От достаточно невнятных «квадратных ящиков» можно потом перейти к более реалистичным кубическим, а коробки сделать параллелепипедами со сторонами , , и . Тогда можно выяснить, что операции НОД и НОК ассоциативны и могут быть применены к трём и более аргументам.

Эти две немудрящие задачки мне очень и очень нравятся, во-первых, лаконичностью, а во-вторых, своей внутренней симметрией. Смотрите: в первой задаче мы для прямоугольных коробок отыскивали наименьший квадратный ящик, а во второй задаче — для прямоугольного ящика отыскивали наибольшие квадратные коробки.

Эти задачи превращаются друг в друга, если поменять в них всё, что можно на противоположное: квадратное ⟷ прямоугольное, наибольшее ⟷ наименьшее, искомое ⟷ известное, НОД ⟷ НОК. В таких случаях говорят, что операции и  двойственны друг другу. Двойственность, как своеобразная разновидность симметрии, встречается в самых разных разделах математики, чрезвычайно их собой украшая. Приведу несколько примеров.

Булева алгебра и логика. Операции И и ИЛИ двойственны и любое верное утверждение (теорема, формула) останется верным при одновременном преобразовании: И ⟷ ИЛИ, ИСТИНА ⟷ ЛОЖЬ, A ⟷ НЕ A для всех переменных A. Например, эти два поисковых запроса одинаковы:

(НЕ "кот") И (НЕ "собака") = НЕ ("кот" ИЛИ "собака")

Двойственными также являются кванторы общности и существования:

НЕ (ВСЕ числа простые) = СУЩЕСТВУЮТ числа (НЕ простые).

Двойственны друг другу и задачи на распределение ресурсов. Одна задача переходит в другую, эквивалентную, при одновременной замене последовательно ⟷ параллельно, производительность ⟷ темп, мгновенно ⟷ никогда. В школе мы встречаемся с такими задачами, возясь с землекопами, роющими канавы, изучая электрические цепи или соединения пружин.

Например, при последовательном соединении нагрузок складываются сопротивления (), при параллельном соединении складываются проводимости — величины обратные сопротивлениям (). Соединяя две пружинки параллельно, мы складываем их жёсткости, а если последовательно, то величины, обратные жёсткости, и т. д.

Точки и прямые в проективной геометрии двойственны относительно отношений пересекаться и соединять. Это значит, что при одновременной замене в любой теореме: пересечение ⟷ соединение, точка ⟷ прямая, мы получим новую верную теорему. Например, утверждения: две точки можно соединить одной прямой двойственно утверждению: две прямые пересекаются в одной точке.

Удивительно, но в проективной геометрии дуальность универсально распространяется на все теоремы! Скажем, теорема Менелая двойственна теореме Чевы, так что доказывать достаточно только одну из них, вторая верна автоматически. Внимательно посмотрите на построения теоремы Менелая и теоремы Чевы, и убедитесь в их двойственности:

Замените в любом из чертежей строчные буквы, обозначающие прямые заглавными, обозначающими точки, и вы увидите, как пересекающиеся прямые превращаются в точки, лежащие на одной прямой на другом чертеже.

В стереометрии и теории графов тоже есть понятие двойственности, состоящее в замене вершины ⟷ грани, соединять ⟷ быть границей. Скажем куб двойственен октаэдру, а икосаэдр — додекаэдру, а триангуляция Делоне двойственна диаграмме Вороного.

Но давайте вернёмся к тому, с чего начали и посмотрим в чём же состоит и как проявляется двойственность НОД и НОК для чисел. Любое тождество остаётся верным при одновременной замене НОД ⟷ НОК, делит ⟷ делится, максимум ⟷ минимум. Посмотрим на некоторые общие формулы, в которых проявляется принцип двойственности:

Здесь индексом обозначается степень вхождения простого числа в число или .

Наконец, существует алгоритм нахождения , двойственный алгоритму Евклида для нахождения :

Схемы работы этих алгоритмов можно показать геометрически, при этом мы получим иллюстрацию упаковки квадратных коробок в прямоугольный ящик с помощью НОД и прямоугольных коробок в квадратный ящик с помощью НОК.

Так же как непохожи друг на друга чертежи к теоремам Менелая и Чевы, так же и алгоритмы вычисления НОД и НОК имеют отличия. Двойственный, не значит эквивалентный, противоположный или обратный. Этот принцип относится не к объектам, а теориям, строящимся на этих объектах, то есть, к связанными с ними утверждениями или отношениями.

Великий Анри Пуанкаре написал: «Математика — это искусство называть разные вещи одинаковыми именами.» Конечно, школьникам для понимания наименьших/наибольших общих делителей/кратных вовсе не обязательно знать принцип двойственности. Это знание необязательно, но как показывает опыт, приятно, и очень помогает в искусстве, о котором написал Пуанкаре.