Вычисление числа 𝜋 методом деления квадрата

Число пи в самых элементарных случаях встречается в двух формулах: вычисление длины окружности по её радиусу и вычисление площади круга по его радиусу. Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса, длина окружности пропорциональна просто радиусу. Добавляется коэффициент пи, и для длины добавляется коэффициент два, ведь длина единичной окружности ближе к шести, чем к трём.

Если бы я подробнее объяснял что это за число пи, то для длины окружности можно было бы рассказать про колесо, что на земле отпечаток повторяется через равные промежутки времени, рассчитываемые через умножение на два пи величины радиуса. А про площадь бы объяснил собеседнику так:

Если тебе нужно закрасить квадрат размером три на три метра, сколько ты возьмёшь краски? Ты возьмёшь столько чтоб хватило на девять квадратных метров. Площадь квадрата это квадрат длины стороны. А если от квадрата надо оставить только вписанный в него круг, то количество краски можно рассчитать, уменьшив площадь квадрата в отношении пи к четырём. Именно для таких расчётов пи и нужно. А если рассчитывать в зависимости от радиуса окружности, который меньше ширины квадрата в два раза, то тогда просто пи, без деления на четыре. Для квадрата шириной в два метра радиус будет единица, а площадь вписанного круга ровно пи.

Простейшее объяснение числа завершено. Но я бы добавил, что существует способ поделить квадрат линиями на части так чтобы площадь ограничивалась не плавными кривыми, а ровными — вертикальными и горизонтальными, и составляла точно так же пи квадратных метров. Число пи без кругов! И этот способ можно использовать в обратную сторону, для вычисления числа пи. Это проще чем подсчёт площади многоугольников и не так бесполезно как бросание иголок.

Эта статья на день числа пи, я переписал свою статью 𝛾-повар и 𝜋-торт, убрав упоминание ножей и тортов.

Метод деления простой, я бы его описывал так: три баночки, одна с краской, которой хватит на квадрат, во вторую будем отливать краски для круга, в третью будем сливать остаток.

На первом шаге отливаем половину краски в баночку для круга. На втором шаге отливам в баночку для остатков, но не половину, а одну третью. Потом половину оставшейся в первой банке краски снова отливаем во вторую банку, которая для круга. Потом в третью банку отливаем уже одну пятую. В общем, алгоритм прост: попеременно надо отделять то во вторую то в третью банку, во вторую всегда половину, а в третью сначала 1/3 , затем 1/5 , затем 1/7 и так далее, увеличивая делитель этой дроби на два.

Если у вас при таком распределении пошли объёмы, которыми можно пренебречь, то во второй банке будет доля краски $\pi/4$ .

А почему это я это называю делением квадрата? Потому что подобное распределение площади можно изобразить наглядно: рисуется квадрат, первое деление происходит ровно пополам, второе деление — от одной из половин отделяется треть. Нечётные отделения происходят с разделением остающегося прямоугольника вертикальным линиями, а нечётные отделения горизонтальными линиями.

А теперь самое интересное: доказательство. С чего бы вдруг такое деление квадрата приводило бы ровно к числу пи? Может, приводит к другому похожему? Что ж, надо доказать.

Сначала получим ряд Лейбница — бесконечную сумму, которая число пи хоть и приближает, но делает это как-то неохотно, не торопясь. Обычно ряд разъясняется через «арктангенсы», но я расскажу наглядней.

Давайте привяжем кошку верёвкой длиной в метр, она не сможет выйти за рамки круга. И теперь представим, что вдоль стены, касающейся этой окружности бежит мышка. Кошка, при этом мы будем считать, всегда находится так близко к мышке как может. В начальном моменте мышь хотя и была у стены, но она была в лапах кошки, (окружность же касается стены) но потом, похоже, сбежала.

Если мышка пробежала метр, то кошка пробежала четверть окружности, и мы можем получить это расстояние в числовом виде, если сможем соотнести скорость мыши и скорость кошки, а потом сделать математическую операцию вычисления точного положения исходя из знаний о скорости — интеграл.

Мышка бежит равномерно, скорость 1. А кошка бежит со скоростью, к которой относительно скорости мыши применено два уменьшающих множителя. Один множитель уменьшает скорость потому что углы под которым бежит мышь и под которым перемещается кошка не совпадают. Угол перемещения (выраженный в радианах) у кошки совпадает с длиной её пути, а мышь бежит прямо. Множитель — это косинус угла.

Второй множитель возникает от того что мышь удаляется, и если она в два раза дальше, то её перемещение влияет на перемещение кошки в два раза меньше. Этот коэффициент тоже оказывается равен косинусу угла.

Ведь косинус ещё и равен отношению отдаления кошки от центра привязи к отдалению от этого центра мыши. Отдаление мыши можно подсчитать сложив по Пифагору радиус окружности в один метр и расстояние которое мышь пробежала, будет

$R_m=\sqrt{1+x^2}$

И тогда косинус будет равен

$\cos(s) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

Здесь — расстояние которое пробежала мышь, — расстояние которое пробежала кошка.

Значит, скорость кошки будет зависеть от её положения так:

$v(s)=\cos^2(s)=\frac{1}{1+x^2}$

Из такой дроби можно вынести единицу

$\frac{1}{1+x^2}=\frac{1+x^2-x^2}{1+x^2}=1-\frac{x^2}{1+x^2}$

А из этой дроби можно вынести x^2 и повторить вынос единицы, и сделать это любое количество раз.

$1-x^2\frac{1}{1+x^2}=1-x^2\left(\frac{1}{1+x^2}\right)=1-x^2\left(1-x^2\left(\frac{1}{1+x^2}\right)\right)=\\=1-x^2+x^4-x^6+\ldots$

И пока меньше единицы величину 1/(1+x^2) можно представить в виде бесконечного ряда, который сходится.

Теперь мы должны получить положение кошки в зависимости от положения мышки, имея данные только о скорости кошки. Для это используется интеграл.

Интеграл от x^n будет $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ . И значит, положение кошки может быть рассчитано так:

$s=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+\frac{x^{13}}{13}-\dots$

Для числа x=1 этот ряд хоть и медленно, но сходится к числу $\pi/4$ .

И у нас теперь есть ряд Лейбница.

$\frac{\pi}{4}=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\dots$

Мы видим, что этот ряд знакочередующийся. Суммируя мы то прибавляем некоторую величину, то убавляем. В общем, промежуточная сумма шатается вокруг конечного значения. Можно поставить задачу изменить этот ряд так чтобы он больше не шатался.

Для этого можно попробовать сделать следующее: каждый член рядя разделить на два вдвое меньших, а соединить обратно их уже в другом порядке. По идее, так как стоящие рядом члены имеют различный знак, то их сумма хотя бы приблизятся к нулю и не будут так мотаться при суммировании.

При этом первой половинке первого члена не найдётся пары, и она останется неизменной. Второй член получившегося ряда будет положительный, а остальные всё так же будут чередовать знак, у нас получилось выровнять знак только у первых двух членов ряда.

$\frac{\pi}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3\cdot5}+\frac{1}{5\cdot7}-\frac{1}{7\cdot9}+\frac{1}{9\cdot11}-\frac{1}{11\cdot13}+\frac{1}{13\cdot15}-\dots$

Но такую операцию можно проводить ещё и ещё, только начиная не с самого начала, а оставляя уже выровненные члены неизменными.

Получится вот что:

$\frac{\pi}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1\cdot1}{2\cdot3}+\frac{1\cdot1\cdot2}{2\cdot3\cdot5}+\frac{1\cdot1\cdot2\cdot3}{2\cdot3\cdot5\cdot7}+\frac{1\cdot1\cdot2\cdot3\cdot4}{2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot9}+\frac{1\cdot1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}{2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot9\cdot11}+\dots$

Теперь можно расставить скобки:

$\frac{\pi}{4}=\frac12+\frac{1}{3}\left(\frac12+\frac{2}{5}\left(\frac12+\frac{3}{7}\left(\frac12+\frac{4}{9}\left(\frac12+\frac{5}{11}\left(\frac12+\dots\right)\right)\right)\right)\right)$

Если из множителей перед скобками выделить одну вторую, то получится:

$\frac{\pi}{4}=\frac12+\frac12\cdot\frac{2}{3}\left(\frac12+\frac12\cdot\frac{4}{5}\left(\frac12+\frac12\cdot\frac{6}{7}\left(\frac12+\frac12\cdot\frac{8}{9}\left(\frac12+\dots\right)\right)\right)\right)$

Дроби перед скобкой можно преобразовать по принципу

$\frac{n-1}{n}=1-\frac{1}{n}$

Получится:

$\frac{\pi}{4}=\frac12+\frac12\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(\frac12+\frac12\left(1-\frac{1}{5}\right)\left(\frac12+\frac12\left(1-\frac{1}{7}\right)\left(\frac12+\dots\right)\right)\right)$

И вот здесь уже ясно видно последовательное деление квадрата.

Вот и всё. В целом, число пи может быть вычислено по медленному и по быстрому ряду:

$\pi=4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n!}{(2n+1)!!}$

В формуле встречается двойной факториал, в отличие от простого факториала это перемножение чисел только определённой чётности. Именно эта формула была применена в статье «Сто-пятьсот цифр числа пи на коленке»

С днём числа 𝜋!

С отличным весенним днём!

ссылка на оригинал статьи https://habr.com/ru/articles/890708/

Вычисление числа 𝜋 методом деления квадрата

Комментарии

Добавить комментарий Отменить ответ