Лёд, слёзы и парадокс Борда: почему серебро ЧМ-1995 было отвергнуто фигуристкой?

Спортивные события середины 1990-х годов порой поражали своей неожиданностью и парадоксальностью. Одним из таких примеров является чемпионат мира по фигурному катанию 1995 года, который проходил в Солихалле (пригороде Бирмингема). Это место проведения уже само по себе является любопытной деталью, но в данной статье внимание будет сосредоточено на самом соревновании и математическом анализе возникшего парадокса.

Нарушение принципа независимости от посторонних альтернатив

Чемпионат мира по фигурному катанию 1995 года часто приводят в качестве примера провала принципа независимости от посторонних альтернатив (Independence of Irrelevant Alternatives, IIA). Этот принцип предполагает, что появление третьего варианта не должно менять предпочтения между двумя исходными вариантами.

Четыре фигуристки и одна загадка

Ключевыми персонажами этой истории стали четыре фигуристки:

• Лу Чэнь из Китая,

• Сурия Бонали из Франции,

• Николь Бобек из США,

• Мишель Кван, также представлявшая США.

К моменту выступления Кван лидировала Чэнь, за ней следовала Бобек, а на третьем месте была Бонали. Кван выступила достойно, но недостаточно хорошо, чтобы претендовать на медаль, заняв четвёртое место. Однако её результат неожиданно привёл к тому, что Бонали опередила Бобек и заняла второе место. Возникает вопрос: как подобное могло произойти, если обе фигуристки уже выступили?

Соревнование состояло из трёх программ:

1. Квалификационная произвольная программа — не имела значения для рассматриваемого случая.

2. Короткая программа.

3. Произвольная программа.

Победитель короткой программы (Бобек) получал пол-очка, второе место — одно очко, третье (Чэнь) — полтора очка, четвёртое (Бонали) — два очка и так далее.

Произвольная программа имела двойной вес: победитель получал одно очко, второе место — два очка, третье — три и так далее. Общий итог определялся суммой очков — чем меньше, тем лучше.

Перед выступлением Кван ситуация была следующей:

• Чэнь: 1,5 очка за короткую программу + 1 очко за первое место в произвольной = 2,5 очка.

• Бобек: 0,5 очка за короткую программу + 3 очка за третье место в произвольной = 3,5 очка.

• Бонали: 2 очка за короткую программу + 2 очка за второе место в произвольной = 4 очка.

Что изменило выступление Кван ?

Кван своим выступлением заняла третье место в произвольной программе, сместив Бобек на четвёртую позицию. Это привело к следующим изменениям:

• Чэнь: 1,5 очка (короткая) + 1 очко (первое место в произвольной) = 2,5 очка (без изменений)

• Бобек: 0,5 очка (короткая) + 4 очка (четвертое место в произвольной) = 4,5 очка (+1)

• Бонали: 2 очка (короткая) + 2 очка (второе место в произвольной) = 4 очка (без изменений)

• Кван: 4 очка (короткая) + 3 очка (третье место в произвольной) = 7 очков

Таким образом, итоговое ранжирование:

1. Чэнь (2,5 очка)

2. Бонали (4 очка)

3. Бобек (4,5 очка)

4. Кван (7 очков)

Теория голосования и её парадоксы

Принцип независимости от посторонних альтернатив формально может быть определен следующим образом:

Для любых наборов участников A и B, где A является подмножеством B, и любых двух участников x, y, принадлежащих A:

Описывая случай чемпионата 1995 года получаем, что:

• A = {Чэнь, Бобек, Бонали}.

• B = {Чэнь, Бобек, Бонали, Кван}.

При этом в наборе A имеем R_A(Бобек) < R_A(Бонали) (т.е. Бобек заняла более высокое место, чем Бонали), но в наборе B получаем R_B(Бонали) < R_B(Бобек) (т.е. Бонали заняла более высокое место, чем Бобек). Это прямое нарушение принципа IIA.

Графы Борда

Метод Борда — это система подсчета очков в голосовании, при которой каждый участник получает определенное количество очков в зависимости от места, которое ему присваивает каждый судья. Граф Борда позволяет визуализировать и анализировать результаты такого голосования.

Для набора участников V = {v₁, v₂, …, v_n} и множества судей J = {j₁, j₂, …, j_m} граф Борда
G = (V, E) определяется следующим образом:

• Вершины графа V соответствуют участникам.

• Ребро (v_i, v_j) с весом w_{ij} существует, если количество судей, предпочитающих v_i участнику v_j, больше количества судей, предпочитающих v_j участнику v_i.

Математически вес ребра можно выразить как

Рассмотрим граф Борда до выступления Кван:

Чэнь ← Бобек ← Бонали

После выступления Кван граф меняется:

Чэнь ← Бонали ← Бобек ← Кван

Формально, добавление Кван изменило соотношение между Бобек и Бонали:

• До: w_{{Бобек,Бонали}} > 0 (Бобек предпочтительнее Бонали).

• После: w_{{Бонали,Бобек}} > 0 (Бонали предпочтительнее Бобек).

В общем случае, граф Борда может содержать циклы, что является проявлением парадокса Кондорсе. Формально цикл образуется, когда существует последовательность участников
v₁, v₂, …, v_k, v₁ такая, что:

Наличие таких циклов указывает на нетранзитивность предпочтений, что является одним из фундаментальных ограничений систем голосования, указанных в теореме Эрроу, которая утверждает, что не существует системы голосования для трех и более кандидатов, которая одновременно удовлетворяла бы всем следующим «разумным» условиям:

• Универсальность. Система должна работать для любых возможных предпочтений избирателей

• Слабый критерий Парето. Если все избиратели предпочитают кандидата A кандидату B, то и общество должно предпочесть A кандидату B

• Независимость от посторонних альтернатив. Если добавление или удаление кандидата C не меняет относительных предпочтений избирателей между A и B, то относительное ранжирование A и B в итоговом результате также не должно меняться

• Отсутствие диктатора. Результат не определяется предпочтениями одного конкретного избирателя

Таким образом, система оценивания в фигурном катании нарушает принцип IIA, как было показано выше. Это не является уникальным недостатком данной системы, а скорее неизбежным следствием теоремы Эрроу — любая система, удовлетворяющая другим «разумным» условиям, неизбежно нарушит какое-то из этих условий.

Что делать?

В 2004 году Международный союз конькобежцев (ISU) ввел новую систему судейства — Code of Points (CoP), также известную как система ISU. Математически она значительно отличается от предыдущей:

где:

• TES (Technical Elements Score) — сумма баллов за технические элементы, которая зависит базовой сложности и оценки исполнения элемента.

• PCS (Program Components Score) — оценка за общую сложность программы.

• D — вычеты за падения и прочие нарушения.

Эта система минимизирует, но не устраняет полностью проблему IIA, поскольку ранжирование производится напрямую по набранным баллам, а не по местам.

Заключение

Случай чемпионата мира по фигурному катанию 1995 года является классическим примером проявления фундаментальных ограничений систем агрегирования предпочтений, описанных теоремой Эрроу. Анализ показывает, что парадокс не является результатом ошибки или недочета в системе судейства, а скорее неизбежным следствием использования ранговой системы оценки.

Современные системы судейства, такие как Code of Points, значительно снижают вероятность подобных парадоксов, но полностью устранить их невозможно без нарушения других важных принципов справедливого голосования.

• Всё это и много другое — ТГ «Математика не для всех»