Почему окружность и гипербола — это почти одно и то же? Кривые второго порядка и немного космоса

Привет, меня зовут Диана, я математик, а еще пишу для хабраблога МТС. В прошлый раз публиковала задачу про адвент-календарь — спасибо всем, кто решал и комментировал! А сегодня хочу немного рассказать про милый моему сердцу кусочек математики — часть аналитической геометрии, которая повествует о кривых второго порядка.

Кривые второго порядка — это не просто красивые абстракции. Они прочно вплетены в вашу повседневность: параболы помогают сфокусировать сигнал вашего Wi-Fi, гиперболы — определить ваше местоположение, а эллипсы — это орбиты спутников.

В посте обсудим, что такое кривые второго порядка с точки зрения математики и какие у них есть родственники. Найдем связь графиков из школьной математики и современных технологий — для этого даже сгоняем в космос! А еще узнаем, по какой траектории полетит брошенный мячик, если вы ну очень сильны. Предупреждаю: будет много ссылок. Надеюсь, получилось собрать их воедино и дать жизненного контекста, не погружаясь в тяжелые формулы. Поехали!

Тянем окружность

Я очень люблю эпатировать учеников, говоря им, что окружность, парабола и гипербола — это почти одно и то же. Будем считать, что это такой кликбейт, а теперь давайте разбираться.

Представим фантастическую ситуацию. Одной рукой вы статично держите окружность за правый «бок», а другой рукой оттягиваете ее в сторону за левый «бок». Ожидаемо, что сначала окружность превратится в эллипс.

Но если бы вы могли оттягивать бесконечно, то в какой-то момент левый «бок» оторвался бы и скрылся из виду. То, что осталось перед вашими глазами, — это парабола. Правда, не совсем такая, как мы привыкли, а повернутая на 90°, но это мелочи жизни.

Если продолжать двигать оторванный кусок влево, в какой-то момент ваша длиннющая рука обогнет земной шар и как бы приедет с правой стороны. И перед вами предстанут два кусочка, образующие гиперболу! Она тоже повернута относительно «обычной» версии на 45°, но нас такое уже не удивляет.

Это, конечно, очень упрощенное описание, зато оно помогает почувствовать «родственность» этих кривых. На самом деле в этом семействе аж девять человек кривых!

Подсказки о том, что все эти линии как-то связаны, можно найти и на школьных уроках математики. Посмотрим на их простейшие уравнения: окружность парабола гипербола

У первых двух отлично видно, что уравнения имеют вторую степень, она старшая. У гиперболы это тоже станет очевидно, если перезаписать равенство в виде

Еще уравнение второй степени может получиться, если перемножить два уравнения первой степени, то есть две линии. Считайте это спойлером, такие случаи тоже есть!

Давайте разбираться, кто есть кто.

Общая формула

Кривой второго порядка называют график уравнения вида

в котором хотя бы один из коэффициентов A, B или C не равен нулю. То есть обязательно должен быть хотя бы один одночлен второй степени (и это старшая степень). Здесь становится видно, что указанные выше уравнения можно считать частными случаями этого большого.

Коэффициентов тут шесть, но для однозначного задания кривой достаточно пять точек. Это очень похоже на ситуацию с линейным уравнением у которого три коэффициента, но достаточно двух точек, чтобы однозначно восстановить их все. Если никогда не пробовали, рекомендую проделать такое упражнение и убедиться, что двух точек действительно хватит.

Но как выглядит график нашего большого уравнения? Это, конечно же, зависит от коэффициентов, но не вполне тривиальным образом.

Приглашаю вас сходить вот сюда. Там можно двигать ползунки коэффициентов и получать разные линии или даже пустоту! И все варианты — это кривые второго порядка.

Более частные формы записи

Людей можно отличать по разным признакам: росту, цвету глаз, длине волос, тембру голоса. Так и для кривых второго порядка можно брать разные критерии для классификации. Чаще всего выделяют девять частных случаев, которые дают вот такие варианты графиков:

Первые пять случаев имеют ненулевые коэффициенты перед и вот тут можно подвигать ползунки и посмотреть, как меняется график.

Последние четыре случая имеют нулевой коэффициент при их можно посмотреть, двигая ползунки вот тут. Если же нулевой коэффициент стоит при то графики будут такого же типа, но ориентированы вертикально.

Моя любимая кривая — под номером три, пара мнимых пересекающихся прямых. Видимая часть этого графика — всего лишь одна точка, а сколько пафоса! Мне еще нравится представлять ее как окружность (или эллипс) нулевого радиуса.

Подробнее о том, как еще можно по коэффициентам предугадывать вид графика, можно почитать на «Вики», интересные способы — через инварианты и через эксцентриситет. На них я не буду останавливаться подробно, но отмечу, что эксцентриситет — это такая прикольная числовая характеристика, которая показывает, насколько сильно кривая не похожа на окружность. Что снова намекает, что они все родственники!

Еще полезно посмотреть, что такое фокус. Определение эллипса чаще всего дают через него. А еще именно отодвигание одного из фокусов превращает эллипс сначала в параболу, а потом в гиперболу.

При чем тут конус

В англоязычной математике у этих кривых прижилось другое название — Conic sections. И оно, конечно же, не случайное! Дело в том, что если нарисовать так называемый двойной конус и посечь его разными плоскостями, будут получаться как раз они — наши кривые второго порядка.

Примечательно, что первые упоминания изучений наших кривых были еще до нашей эры, и как раз в контексте сечений конуса плоскостями. Древние греки любили геометрию, что тут скажешь! Полюбуемся и мы.

А вот эту картинку можно крутить с компьютера и получать разные сечения.

Но тут есть одна неприятность: как конус ни рассекай — некоторые из девяти вариантов получить невозможно! Например, пару параллельных прямых. В этом случае математики говорят, что такой случай получается, когда рассекают вырожденный конус, то есть цилиндр. Выкрутились, однако.

В общем, кривые второго порядка и конические сечения — это почти одно и то же, но не совсем, поэтому лучше данные термины отличать.

Здесь не могу не поделиться двумя классными видео про эллипс. В первом доказывается, что определение эллипса как замкнутой плоской фигуры, у которой сумма расстояний от каждой точки до двух точек a и b равна постоянной величине, и определение эллипса как одного из конических сечений — эквивалентны. Там же эксцентриситет ласково называют словом squishification. Точнее описания ну просто не придумать! Ну и это в принципе один из лучших математических YouTube-каналов ever.

Второе видео больше юмористическое и вообще не относится к сегодняшней теме напрямую, но не могу им не поделиться! В нем предпринята попытка вывести приблизительную формулу для периметра эллипса, так как точной формулы, внезапно, не существует.

При чем тут космос

Понятно, что отдельно каждая из упомянутых кривых второго порядка где-то да встречается в жизни, этим никого не удивить. Но хотелось бы каких-то примеров, где они собираются все вместе, ну или хотя бы основные представители. И за самым ярким примером надо сгонять в космос!

На уроках физики нам рассказывали, что тело, подброшенное вверх под каким-то углом, летит по параболической траектории. Но оказалось, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли. При увеличении этой скорости — по эллипсу. При достижении второй космической скорости — по параболе. А при скорости, большей второй космической, — по гиперболе.

Тут же надо отметить, что орбиты планет нашей (да и любой другой) солнечной системы — это тоже эллипсы разной степени сплюснутости. У комет обычно тоже эллиптические орбиты, но это ооочень длинные эллипсы, поэтому увидеть одну и ту же комету у Земли можно нечасто. Для контекста: если период обращения меньше 200 лет, то он считается коротким.

Но это в идеале. Часто на движение комет влияют разные другие факторы: чужая гравитация, активность собственного ядра и прочее, и тогда орбита может разомкнуться и стать параболой или гиперболой. Возможно, вы играли в великолепную игру 2009 года под названием Osmos — там один из режимов был как раз в полете вокруг звезды, и можно было влиять на траекторию тела.

Также формы эллипса, параболы и гиперболы активно используются, когда нужно сфокусировать или, наоборот, расфокусировать звуковые или световые волны. Линзы, телескопы, антенны, микрофоны и динамики — это все сюда. Вот замечательное видео про практические применения этих кривых, там еще хорошо видно, что у каждой из них есть фокус. Ну и не могу не упомянуть видео про эллиптический бильярд.

На этом у меня все, спасибо! Если тема будет вам интересна, как-нибудь расскажу про поверхности второго порядка и связанные с ними архитектурные красивости.

Что еще почитать:

• А посчитать? Задачка для тех, кто влюблен в математику

• А посчитать? Показываю, как решить задачу про адвент-календарь