Когда пространство закручивается: как математики раскрыли тайну 126-мерного мира

Можно предположить, что трёхмерное пространство ведёт себя так же, как пространства более высоких размерностей. Добавление измерения лишь создаёт новое направление для движения, не меняя фундаментальных свойств пространства: его бесконечности и однородности. Однако каждое измерение обладает уникальным характером. Например, в размерностях 8 и 24 шары можно упаковать особенно плотно, в некоторых измерениях существуют «экзотические» сферы, которые кажутся смятыми, а в третьем измерении возможны узлы, которые в более высоких размерностях всегда можно развязать.

Математики завершили 65-летнюю работу над загадкой странных форм, доказав, в каких измерениях существуют особо искривлённые многообразия, которые невозможно преобразовать в сферу с помощью хирургии — метода упрощения форм. Эти формы связаны с фундаментальными вопросами топологии о взаимодействии сфер разных размерностей.

Ранее математики установили, что такие искривлённые формы существуют в размерностях 2, 6, 14, 30 и 62, а в других измерениях их быть не может, за исключением одного — размерности 126, статус которой оставался неясным. В декабре 2024 года Вэйнань Линь и Гочжэнь Ван из Фуданьского университета в Шанхае вместе с Чжоули Сюем из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе опубликовали статью, доказывающую, что размерность 126 действительно содержит эти необычные формы.

«Это завершение долгой программы исследований», — отметила Ульрика Тилльманн, математик из Оксфордского университета и директор Института математических наук имени Исаака Ньютона. Доказательство, сочетающее компьютерные вычисления и теоретические подходы, сравнимо с «грандиозным инженерным проектом», по словам Майкла Хопкинса из Гарвардского университета.

Гипотеза Судного дня

В 1950-х годах Джон Милнор шокировал математический мир, открыв «экзотические» сферы в размерности 7. Эти сферы топологически идентичны обычным, но отличаются определением гладкости: кривая, гладкая на обычной сфере, может не быть таковой на экзотической. Милнор разработал метод, названный «хирургией», для упрощения многообразий и их преобразования в сферы, который стал ключевым инструментом в изучении топологии.

Хирургия предполагает вырезание части многообразия и вшивание новых частей вдоль границы разреза без создания острых углов. Для примера рассмотрим тор (двумерную поверхность пончика). Его можно хирургически преобразовать в обычную сферу, так как двумерных экзотических сфер не существует. Однако в некоторых измерениях хирургия создаёт экзотические сферы, а иногда многообразия, которые вообще нельзя превратить в сферу.

В 1960 году Мишель Кервер ввёл инвариант — число, равное нулю, если многообразие можно преобразовать в сферу, и единице, если это невозможно. Например, обычный тор имеет инвариант Кервера 0, а особо скрученный тор — 1. Кервер использовал свой инвариант для анализа многообразий, обнаружив, что в размерности 10 существуют многообразия, у которых инвариант не равен ни 0, ни 1, что указывает на их крайнюю искривлённость.

Математики доказали, что скрученные многообразия с инвариантом Кервера 1 существуют в размерностях 2, 6, 14, 30 и 62. Эти числа следуют закономерности: они на 2 меньше степеней двойки (например, 30 = 2⁵ − 2). В 1969 году Уильям Браудер показал, что такие многообразия возможны только в этих размерностях и, возможно, в 126, 254 и выше. Это породило гипотезу Судного дня, предполагавшую, что такие формы существуют во всех этих размерностях, но её ложность могла опровергнуть многие другие гипотезы.

В 1984 году было доказано существование таких многообразий в размерности 62, но размерность 126 оставалась загадкой. В 2009 году Виктор Снайт написал книгу, исследующую последствия существования этих форм, но предупредил, что они могут быть «несуществующими». В 2010 году Хопкинс и его коллеги доказали, что в размерностях 254 и выше такие многообразия невозможны, оставив размерность 126 последним нерешённым случаем.

Будущие перспективы

Новое доказательство не описывает, как построить эти искривлённые формы в размерности 126. Такие формы известны в размерностях 2, 6, 14 и 30, но в 62 и 126 их пока не удалось явно построить, хотя они составляют половину всех возможных форм в этих измерениях. Поиск таких конструкций может раскрыть, почему именно эти шесть размерностей особенные.

Проблема Кервера — лишь часть загадок, скрытых в спектральной последовательности Адамса. Недавно Сюй и Роберт Бёрклунд обнаружили странное поведение в других размерностях, связанное с третьим рядом атласа. Математики надеются, что дальнейшие исследования раскроют новые тайны топологии.

«Нас ждёт ещё много интересного», — отметил Сюй.

• Всё это и много другое — ТГ «Математика не для всех»

• Взгляд на философию со стороны разочарованного технаря ТГ «Философия не для всех»