APL: математика на стероидах, о которой никто не говорит

A Programming Language

На рубеже 20 века, канадский учёный и программист Кеннет Айверсон, искал удобный способ для записи и обьяснения алгоритмов для своих студентов. В результате этого появился язык известный как APL, изначально представляющий собой графо-символьную нотацию для записи алгоритмов, а затем — как полноценный язык программирования. Его синтаксис стал продолжением математической мысли:

• Никакого компромисса с машинной логикой — только чистые абстракции

• Символы = операции, как в математике: ⍴ (форма), ⌈ (максимум), ⍳ (индексы)

• Векторы и матрицы — базовые типы данных, а не библиотечные надстройки

⍝ Широко известный пример, короткой, но полной программы:  ⍝ вывод всех простых чисел до R (~T∊T∘.×T)/T←1↓⍳R

Позже появились «упрощённые» версии APL с ASCII-синтаксисом (J, K). Но это уже другие языки — они жертвуют математической элегантностью ради удобства ввода. Настоящий APL — это:

• Идеальный мост между формулой на бумаге и исполняемым кодом

• Язык-манифест, где красота решения важнее «понятности» новичкам

• Язык для тех, кто мыслит математическими абстракциями, а не синтаксисом

• Не инструмент, а стиль мышления

⍝ Original APL (математическая нотация) vs ASCII-версии:
APL: V ← ⍋M ⍝ Сортировка матрицы
J/K: v =: /: m ⍝ Теряет визуальную связь с математикой

«APL — это алгебра для компьютеров. Если вы думаете, как математик, он станет вашим родным языком».

Хронология:

• 1957-1962: Разработка нотации в Гарварде (ещё до появления BASIC и широкого распространения Фортрана)

• 1966: Первая реализация APL на IBM 360 — уже как полноценного языка

• 1970-е: Пик популярности в науке и финансах (например, в Bell Labs для анализа данных)

• 1980-1990-е: Закат

Пик популярности (1970-е)

APL переживал расцвет там, где требовалась математическая плотность и интерактивность:

1. Научные исследования и инженерия

   

   • Bell Labs: анализ телекоммуникационных данных

   • NASA: расчёты орбит (до появления MATLAB)

   • Финансы: алгоритмическая торговля в банках (например, Morgan Stanley)

2. Уникальные преимущества

   

   • Интерактивность: REPL появился в APL на 20 лет раньше, чем в Python

   • Графика: Встроенные возможности визуализации — прообраз современных Jupyter Notebooks

   • Производительность: Оптимизированные операции с массивами (как современный NumPy, но без накладных расходов)

3. Культовое железо

   

   • APL-машина стала драйвером развития персональных компьютеров (IBM 5100)

   • Легендарная APL\360 — первая коммерческая реализация от IBM

«В 1973 году 80% задач анализа данных в Wall Street решались на APL»

APL — это не язык, а «сжатый алгоритм»

Сегодня все говорят о DSL (Domain-Specific Languages). APL — это DSL для математики, созданный в 1960-х.

APL — это плотная символьная упаковка математики. Он создавался не как способ реализации алгоритмов, а как способ их описания.

• В Python вы пишете как что-то сделать

• В APL вы описываете что нужно сделать

Примеры

⍝ Умножение матриц A +.× B

То же в Python:

np.dot(A, B)

Пояснение: +.× — это «внутреннее произведение» (как в линейной алгебре), а не циклы.

⍝ Факториал числа !5

То же в Python:

math.factorial(5)

Пояснение: ! в APL — это математический символ факториала, а не вызов функции.

⍝ Поиск простых чисел (2=+⌿0=T∘.|T)/T←⍳100

Тоже на Python:

[n for n in range(1, 101) if all(n % d != 0 for d in range(2, n))]

Пояснение: APL выражает фильтрацию через операции сравнения и редукции.

⍝ Перевернуть строку ⌽'Hello'

Тоже на Python:

"Hello"[::-1]

Пояснение: ⌽ — это символ «перевернуть», а не срезы с шагом -1.

⍝ Среднее значение (+/X) ÷ ⍴X

То же на Python:

sum(X) / len(X)

Пояснение: ⍴ — это «форма» (размер), а ÷ — математическое деление.

⍝ Решето Эратосфена (~T∊T∘.×T)/T←1↓⍳100

То же на Python:

[n for n in range(2, 101) if not any(n % d == 0 for d in range(2, n))]

Пояснение: APL выражает алгоритм через операции с множествами.

⍝ Генерация последовательности Фибонначи {⍵,+/¯2↑⍵}⍣10 ⊢1 1

Тоже на Python:

a, b = 1, 1 for _ in range(10):     a, b = b, a + b

Пояснение: ⍣ — это оператор «повторить», а ¯2↑ берёт последние 2 элемента.

⍝ Проверка на палиндром (⌽≡⊢)'racecar'

То же на Python:

s == s[::-1]

Пояснение: ⌽≡⊢ означает «перевёрнутое равно оригиналу».

⍝ Норма вектора (квадратный корень из суммы квадратов) (+/X*2)*0.5

То же на Python:

math.sqrt(sum(x**2 for x in X))

Пояснение: думаю и так поняли?

⍝ Найти все уникальные элементы, встречающиеся больше 2 раз {(∪⍵)/⍨2<{≢ ⍵}⌸⍵} arr

Тоже на Python:

from collections import Counter arr = [3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 8] result = [x for x, cnt in Counter(arr).items() if cnt > 2]  

1. APL:

   • Операторы ∪, ⌸, /⍨ — это математические абстракции.

   • Код отражает логику преобразования данных, а не алгоритм.

   • Пример: (∪⍵)/⍨2<... читается как «уникальные элементы, где частота >2».

2. Python:

   • Требует явного создания объектов (Counter).

   • Использует императивные конструкции (циклы в виде list comprehension).

   • Пример: [x for x, cnt in ... if cnt>2] — это инструкция по обработке.

⍝ Сортировка матрицы по сумме строк M[⍋+/M;]  ⍝ +/M — сумма каждой строки (+ свертка по / для строк) ⍝ ⍋ — индексы для сортировки ⍝ M[...;] — индексирование строк в нужном порядке

То же на Python:

import numpy as np sorted_M = M[np.argsort(np.sum(M, axis=1))] # без numpy, может быть так:  sorted_M = sorted(M, key=lambda row: sum(row))

1. APL:

   • Описывает действие («отсортируй по суммам») в одном символе ⍋

   • Не требует явного указания осей (axis=1) или лямбд

   • Работает для любого числа измерений без изменения кода

2. Python:

   • Требует понимания, что axis=1 — это «по строкам»

   • Нужна внешняя функция (np.argsort)

   • Лямбда или numpy — это уже «как», а не «что»

⍝ Найти обратную матрицу ковариации для данных X ⌹ M +.× ⍉M

APL читается как: Обратная матрица (⌹) от произведения X и Xᵀ.

inv_cov = np.linalg.inv(X.T @ X)

Читается как: Вызови функцию inv из модуля linalg для результата умножения X.T на X.

1. APL:
   Символы ⌹, +.×, ⍉ — это прямые математические операции, как в учебнике.
   Нет упоминания «функций» или «методов» — только глаголы (действия).

2. Python:
   Даже с numpy вы вызываете методы (.T, @) и функции (np.linalg.inv), что требует знания API.

Матрицы, векторы и тензоры — родной язык APL

APL изначально заточен под операции с многомерными данными:

• Матричные преобразования — одна строка вместо циклов

• Агрегация, свёртки, редукции — без boilerplate-кода

• Статистика, линейная алгебра — как на бумаге

Пример:

⍝ Умножение матриц в APL: A +.× B

В NumPy это np.dot(A, B), но APL делает это естественнее и без библиотек.

Пример:

⍝ Количество положительных чисел в столбце {+/⍵>0}⍤1⊢mat

⍝ Редукция высших рангов (тензоры) tensor ← 2 3 3⍴⍳18  ⍝ 3D-массив  +/tensor  ⍝ Сумма по последней оси (внутри матриц)  +⌿tensor ⍝ Сумма по первой оси (сложение матриц)

На python можете повторить сами.

Прототипирование быстрее, чем ChatGPT

APL позволяет:

• Проверить идею за минуты, а не часы

• Сократить 100 строк Python до 5 символов

• Думать на уровне математики, а не синтаксиса

⍝ Кластеризация k-средних (упрощённо): k←3 ⋄ centroids←points[?⍨k] ⋄ {⍵⌷⍨⊂⍋↑⍵}⌺k ⊢ points

Попробуйте сделать это в Python так же быстро и непринуждённо алгебраично.

Так почему APL в тени?

Причины заката (1980–1990-е)

1. Проблемы маркетинга

   • Dyalog и IBM продвигали APL только для нишевых экспертов

   • Никакой работы над массовым образованием (язык остался «сектой для избранных»)

2. Технические барьеры

   • Символы: До эпохи Unicode ввод ⍋⍎⌈ требовал специальных терминалов и прочих извращений

   • Нет полноценных open-source сред

3. Конкуренция

   • MATLAB (1984): Украл научную нишу с более привычным синтаксисом

   • Python + NumPy (1995): Даже при меньшей эффективности выиграл за счёт сообщества

   • Excel: Подкупил бизнес-пользователей «понятностью»

4. Когнитивное сопротивление

   • Миф: «APL — это только для гениев»

   • Реальность: Язык просто требовал переключения мышления с процедурного на математическое

APL проиграл не потому, что был «плох», а из-за:

• Отсутствия экосистемы (не было своего PyPI)

• Когнитивного искажения («Это для избранных»)

• Иннертности технологий (Unicode появился лишь в 2000-х)

• Отсутствия толкового маркетинга и образовательных программ

И всё таки главная проблема в маркетинге

• Dyalog (главный разработчик) не продвигает APL как современный инструмент (на самом деле уже продвигает, но всё ещё недостаточно)

• IBM вовсе утратил интерес к APL и закрыл свой проект

• Образовательных курсов по прежнему не хватает

• Акцент на языке, как способе записи алгоритмов, утерян

• Символьный синтаксис отпугивает новичков (хотя он логичнее, чем кажется — вспомните первое впечатление об математике или матанализе)

• Не используется хайп вокруг «AI/ML», хотя APL идеален для быстрой проверки гипотез

«APL — это «как если бы математика стала языком программирования». Его трагедия в том, что мир выбрал «как если бы бухгалтерия стала языком программирования»» 

APL должен быть в mainstream

Этот язык идеален для:

• Обучения Computer Science (алгоритмы без синтаксического шума)

• Инженерных расчётов (финансы, биоинформатика, физика)

• Быстрого прототипирования (превью модели за час, а не за неделю)

APL — это суперсила, которую незаслуженно игнорируют. Если вы устали от многословных языков — попробуйте APL. Возможно, это ваш новый любимый инструмент.

Сейчас понемногу назревает ренесанс APL, благодаря усилиям Dyalog:

• Бесплатная версия без ограничений, для некоммерческого использования

• Co-dfns — компилятор подмножества APL для CPU и GPU, частично поддерживается сотрудниками Dyalog

• Dyalog проводит локальные конференции, которым конечно не хватает размаха

• Началась поддержка и продвижение opensource инициатив со стороных Dyalog

• APL Challenge и APL Forge — слегка запоздалый, но всё же отличный способ мотивации. Кстати первый победитель APL Forge, парень написавший «Систему приёма радиолакационных сигналов»

• В Dyalog есть Adám, который является «Head of Language Design» — он всегда отвечает на stackoverflow на вопросы с тегом «dyalog», даже если вопрос примитивный

• Появился менеджер пакетов Tatin, начиная с Dyalog APL 19.0 он включён в базовую установку

Где APL и APL-мышление дадут явные преимущества в 2025 году

1. Быстрое прототипирование в AI/ML

Проблема 2025:

• Время на проверку гипотез в ML сокращается (конкуренция в generative AI, small models)

• Python-стек (PyTorch + Pandas) требует 100+ строк для базовых экспериментов

Решение APL:

• Сжатые реализации алгоритмов:

  ⍝ KNN классификация: для каждой точки берём наиболее частый класс среди k ближайших   knn←{k⊢↑⊃⍒↑+/¨(⍵∘.-⍺)*2}  

• Преимущество:

  • Проверить идею за 1 час вместо недели на Python

  • Легко адаптировать под новые математические методы

Сферы:

• Биоинформатика: Анализ CRISPR-данных (требует работы с разреженными матрицами)

• Quant-трейдинг: Быстрая проверка рыночных аномалий

2. Edge Computing и IoT

Проблема 2025:

• Устройства с ограниченными ресурсами (датчики, дроны) требуют лаконичного кода

• Rust/Go/Zig хороши для продакшена, но медленны для прототипирования

Решение APL:

• Крошечные прошивки: APL-код компилируется в нативный код через Co-dfns (аналог Zig, но с математическим синтаксисом)

• Пример для датчика:

  ⍝ Фильтрация шумов (фильтр Калмана): ⎕IO←0  ⍝ Индексация с нуля  KalmanFilter ← {     ⍝ Параметры: F (динамика системы), Q (шум процесса), R (шум измерений)     (F Q R) ← ⍺⍺     measurements ← ⍵          ⍝ Инициализация состояния и ковариации     x ← measurements[0]  ⍝ Начальная оценка состояния     P ← Q               ⍝ Начальная ковариация          ⍝ Вспомогательная функция для обработки шагов     Step ← {         ⍝ 1. Прогноз         x_pred ← F × x         P_pred ← (F×P×F) + Q                  ⍝ 2. Коррекция         K ← P_pred ÷ (P_pred + R)  ⍝ Коэффициент Калмана         x ← x_pred + K × (⍵ - x_pred)         P ← (1 - K) × P_pred                  x  ⍝ Возвращаем новое состояние     }          ⍝ Применяем ко всем измерениям     x, Step¨ 1↓measurements }

  • В 10 раз меньше кода, чем на С

Сферы:

• Медицинские импланты: Алгоритмы обработки сигналов ЭЭГ/ЭКГ

• Автономные дроны: Реал-тайм обработка сенсоров

3. Наука о данных (Beyond Pandas)

Проблема 2025:

• Pandas не справляется с данными >100 ГБ (медленный, требует кластера)

• Современные аналоги (Polars, Arrow) — всё ещё сложны для ad-hoc анализа

Решение APL:

• Встроенные оптимизации:

  • Столбцовые операции без копирования данных (как в Apache Arrow, но без накладных расходов)

  • Пример агрегации 1 млрд строк:

    stats←{(⍴⍵),⌈/⍵,⌊/⍵,+⌿⍵}  

    • Выполняется за секунды даже на ноутбуке.

Сферы:

• Геномика: Анализ SNP (single nucleotide polymorphisms)

• Финансы: Обработка тиковых данных без Spark

4. Образование (Computer Science 2.0)

Проблема 2025:

• Современные курсы учат синтаксису, а не мышлению.

• Студенты тратят 80% времени на борьбу с типами данных, а не на алгоритмы

Решение APL:

• Курсы нового типа:

  • Линейная алгебра через +.× (матричное умножение = 3 символа)

  • Теория графов:

    ⍝ Проверка связности (матрица смежности → компоненты): connected ← {∧/, 1=∨.∧⍨⍣≡⍵}  ⍝ Вычисление достижимости (∨.∧⍨⍣≡): ⍝ - ∨.∧ - это операция "логического матричного умножения": ⍝ -- Вместо умножения используется И (∧) ⍝ -- Вместо сложения используется ИЛИ (∨) ⍝ - ⍨ означает применение операции к матрице с самой собой (A ∨.∧ A) ⍝ - ⍣≡ - повторение до достижения фиксированной точки (когда результат перестаёт меняться) ⍝ Проверка условий (1=): ⍝ - Сравнивает каждый элемент результата с 1 ⍝ - Получаем матрицу из 1 (истина) и 0 (ложь) ⍝ Проверка связности (∧/,): ⍝ - , - преобразует матрицу в вектор ⍝ - ∧/ - логическое И по всем элементам ⍝ - Если все элементы равны 1 → граф связный (возвращает 1) ⍝ - Если есть хотя бы один 0 → граф несвязный (возвращает 0)

• Преимущество:

  • Фокус на математической сути, а не языке

Плохие инструменты требуют, чтобы вы думали о них. Хорошие — позволяют думать о задаче.

Как попробовать APL?

В данный момент есть 3 основных реализации APL:

• Dyalog APL (закрытый исходный код, бесплатна для некомерческого использования)

• GNU APL (opensource, но сильно уступает Dyalog)

• NARS2000 (представляет больше академический интерес)

Рекомендую начать знакомство с онлайн-интерпретатора Dyalog: https://www.tryapl.com. Там есть и большое количество примеров и краткий туториал.

Дополнительно можно отметить:

• Экспериментальный компилятор Co-dfns: https://github.com/Co-dfns/Co-dfns

Для более глубоко знакомства с внутрянкой APL можно ознакомиться с:

• Проект по написанию APL интерпретатора на Haskell: https://scharenbroch.dev/projects/apl-interpreter/

В качестве учебных материалов могу посоветовать:

• Книгу от Dyalog: https://mastering.dyalog.com/README.html (доступна онлайн)

• Мини-гайд APL Way: https://xpqz.github.io/learnapl/aplway.html

• Для поиска примеров: https://aplcart.info

• Для лучшего понимания самого смысла APL, Notation as a Tool of Thought, от создателя языка: https://www.jsoftware.com/papers/tot.htm

Русскоязычных материалов к сожалению не встречал, но планирую восполнить этот пробел, занявшись переводом основных материалов, а так же по тегу APL на хабре. Чтобы следить за новостями, можете подписаться на мой тг-канал.

P.S. Лично я использую APL для быстрого прототипирования и проверки идей, а потом переношу алгоритм в код для продакшена на Go/Rust/Zig или SQL.

P.P.S. А вы пробовали APL? Какой ваш любимый пример его использования?