Гармония чисел: как математика настроила музыку

Введение: Звучащие кувалды

Представьте, что вы часто ходите мимо кузницы. Кузнецы бьют молотами по наковальне, и вдруг вы замечаете странную вещь: одни молоты звучат вместе красиво, слитно, а другие — противно, вразнобой. Так, согласно легенде, Пифагор пришёл к открытию, которое положило начало теории музыки . Он принёс молоты в лабораторию и взвесил их. Оказалось, что веса молотов, дающих красивое сочетание (консонанс), соотносятся как простые числа 2:1, 3:2 и 4:3 . Так родилась главная идея западной музыки: «Красивое звучание — это простое математическое отношение».

Связь музыки и математики оказалась на удивление прочной. На протяжении всей истории она вдохновляла не только теоретиков, но и практиков. Чешский математик Эразм Горицкий применял геометрию для деления музыкальных интервалов. Иоганн Себастьян Бах своей музыкой и самим названием сборника «Хорошо темперированный клавир» закрепил победу нового строя. А в XX веке композитор и архитектор Янис Ксенакис переносил в музыку теорию множеств и случайных процессов. Даже великий оперный певец Джером Хайнс публиковал математические работы.

Исследования в этой области продолжаются и сегодня, в том числе в России. Например, современные российские исследователи разрабатывают комплексные математические модели музыки, используя теорию множеств, теорию вероятностей и теорию групп для анализа и моделирования музыкального творчества.

Проследим эту историю шаг за шагом и посмотрим, как математика постепенно формировала то, что мы сегодня называем музыкальной гармонией.

1. Пифагорова гамма: рождение 12 звуков

Пифагор взял струну и стал экспериментировать. Он заметил: если взять половину струны (1/2), звук становится ровно вдвое выше. Он назвал это октавой.

Если взять 2/3 струны, звук становится выше. Он назвал это квинтой. Если взять 3/4 струны, это кварта. Все эти интервалы выражаются простыми дробями.

Затем Пифагор решил построить весь музыкальный ряд, двигаясь от одной ноты к другой по квинтам. От исходной ноты он брал квинту вверх, получал новую ноту. От неё — снова квинту вверх. И так далее.

Сделав 12 таких шагов, он обнаружил удивительную вещь: 12-я нота почти совпала с исходной, но взятой на 7 октав выше. Почти, но не точно. Это совпадение (пусть и неидеальное) подсказало идею: октаву можно разделить на 12 шагов — по числу квинт в квинтовом круге.

Каждый из этих 12 шагов назвали полутоном. Им присвоили имена: До, До-диез, Ре, Ми-бемоль, Ми, Фа, Фа-диез, Соль, Соль-диез, Ля, Си-бемоль, Си. Так появились 12 звуков, которые легли в основу всей западной музыки. (Для справки: индийская октава делится на 22 шрути — там использовались другие принципы).

Но здесь возникла проблема.

2. Математическая невозможность: Пифагорова комма

Пифагор заметил удивительную вещь. С одной стороны, если 7 раз подряд подняться на октаву (каждый раз удваивая частоту), мы получим соотношение:

2⁷ = 128

С другой стороны, если 12 раз подряд подняться на квинту (каждый раз умножая частоту на 3/2), мы получим соотношение:

(3/2)¹² = 531441 / 4096 ≈ 129,75

Эти два числа должны были бы совпадать, чтобы музыкальный строй замкнулся сам на себя. В идеальном мире 12 чистых квинт должны были бы равняться 7 чистым октавам. Но они не равны.

129,75 ≠ 128

Это расхождение — математический факт. Оно означает, что невозможно построить замкнутую музыкальную систему, в которой все интервалы были бы одновременно чистыми и выраженными простыми дробями. Этот «зазор» музыканты называют пифагоровой коммой.

3. В поисках компромисса: от чистого строя к темперации

Две тысячи лет эта нестыковка мешала музыкантам. Идеального строя не существовало. Приходилось выбирать: либо играть чисто, но только в одной тональности, либо терпеть фальшь ради универсальности.

В эпоху Возрождения появился чистый строй. В него добавили ещё одно простое число — 5. Это позволило получить интервал, который называется большой терцией (например, от ноты До до ноты Ми). Его отношение — 5:4. Этот интервал делает аккорды мажорными и придаёт им яркое, радостное звучание… Но это сделало проблему ещё хуже: инструмент, настроенный в До-мажоре, в Ре-мажоре звучал ужасно. Модуляции (смена тональности) были практически невозможны.

Нужен был компромисс. И он появился в эпоху барокко. Немецкий органист и теоретик Андреас Веркмейстер в конце XVII века предложил гениально простое и «варварское» решение: «Давайте просто подстроим (темперируем) квинты». Так появился современный темперированный строй.

4. Равномерно темперированный строй: не вся математика дискретна.

Идея оказалась проста и гениальна одновременно. Если 12 чистых квинт не могут точно влезть в 7 октав, давайте просто подстроим их. Октаву оставили неприкосновенной (2:1). А все 12 полутонов внутри октавы сделали строго одинаковыми.

Что это значит? Представьте себе пианино. Вы нажимаете клавишу Ми. Её частота — 329,6 Гц. Затем вы нажимаете следующую клавишу — Фа. Это один полутон.

В равномерно темперированном строе Фа звучит ровно во столько же раз выше Ми, во сколько Ми-бемоль выше Ре, и так далее. Обозначим это число — отношение частот между двумя соседними полутонами — буквой x.

Попробуем вычислить x.

Через 12 таких шагов мы вернёмся к ноте Ми, но на октаву выше. А частота через октаву, как мы знаем, ровно в 2 раза больше исходной: частота Ми (на октаву выше) = 329,6 × 2 = 659,2 Гц.

Значит, x, умноженный сам на себя 12 раз, должен равняться 2:

x¹² = 2

Отсюда: x = ¹²√2 ≈ 1,059463

Это число — множитель, показывающий, во сколько раз частота следующего полутона выше предыдущего.

Тогда:

• Частота Фа = частота Ми (329,6 Гц) × x = 329,6 × 1,059463 ≈ 349,2 Гц

• Частота Фа-диез = частота Фа (349,2 Гц) × x = 329,6 × x² ≈ 369,9 Гц

И так далее. В этом равномерно темперированном строе нет ни одной чистой квинты (3:2) и ни одной чистой терции (5:4). Квинты стали чуть-чуть уже, терции — чуть шире. Но эта фальшь настолько мала, что ухо её почти не замечает. Зато исчезла главная проблема: на таком инструменте можно играть в любой тональности, и всё будет звучать приемлемо.

5. Триумф темперации

Иоганн Себастьян Бах был в восторге от этой идеи. В 1722 году он написал свой легендарный сборник«Das Wohltemperierte Klavier» (в оригинале — «Das Wohltemperirte Clavier») — 48 прелюдий и фуг, чтобы доказать: на инструменте с равномерной темперацией можно играть в любой из 24 тональностей (12 мажорных и 12 минорных), и всё будет звучать божественно . Современный равномерно темперированный строй — это великий компромисс.

• С математической точки зрения: это не натуральные интервалы 3:2 или 5:4, а иррациональные числа (корень 12-й степени из двух). Чистая квинта (3:2) превратилась в 2⁷⁄¹² ≈ 1,4983, а чистая большая терция (5:4) — в 2⁴⁄¹² ≈ 1,2599.

• С философско-практической точки зрения: это победа гармонии над дискретностью. Мы можем играть джаз, рок, классику, модулировать куда угодно, использовать все 12 нот.

Современная музыка (в частности джаз с его блюзовыми нотами и хроматизмами) стала возможна именно благодаря темперированному строю. Математики и музыканты признали: идеальной системы не существует, но можно создать такую, которая будет работать всегда и звучать гармонично.