Модель транспортного полета пчелы

Исходные данные:

масса незагруженной пчелы: 100 мг
масса пчелы с максимальной нагрузкой: 150 мг
длина тела: 14 мм
диаметр: 4 мм
площадь поперечного сечения (миделя): 13 мм²
площадь проекции (нижней части «фюзеляжа»): 56 мм²
длина переднего крыла: 10 мм

Мощность висения

Для отрыва от земли пчеле нужно преодолеть силу тяжести:

$F_w = m \cdot g\tag{1}$

При мг и м/с², получаем мН. Для того, чтобы не упасть — просто висеть в воздухе — пчеле нужно постоянно махать крыльями, с мощностью “висения” по формуле Вельнера-Жуковского:

$P_w~=\frac{F_w^{3/2}}{0.75\eta D}\tag{2}$

где $\eta$ — КПД; D — диаметр винта вертолёта, в нашем случае положим — суммарная длина передних крыльев.

Получается для того, чтобы парить на одном месте пчеле надо махать крыльями с мощностью $P_{w0} = 2~мВт$ при КПД=1. Однако реальный КПД такого махания не высок — всего $4.4\%$ [1]. Тогда затрачиваемая мощность (требуемая скорость метаболизма) составит:

$P~=~P_{w0}/\eta \tag{3}$

. Разница идёт на нагрев тела пчелы и рассеивается в виде тепла.

Казалось бы, что это очень нерациональное соотношение. Как вообще в природе могли выжить столь энергетически неэффективные существа? Но не будем торопиться с выводами: пчела пойкилотермное (холоднокровное) животное, и это тепло не теряется понапрасну. Можно сказать, что пчела имеет внутренний обогреватель с КПД более 95%, и она им умело пользуется (более подробно о термогенезе пчелы — в следующей статье).

Горизонтальный полет

Дальше — собственно полёт. Пчела работает, как конвертоплан — крылья выступают в качестве движителя и для набора высоты, и для набора и поддержания скорости, а тело — в качестве крыла в горизонтальном полёте. Для такого “летательного аппарата”, как известно, существует крейсерская скорость, при которой тратится наименьшее количество топлива и, соответственно, мощности. На такой скорости создаваемая крылом подъёмная сила равна силе тяжести. Подъёмная сила:

$F_y=c_y\frac{\rho v^2}{2}s_п \tag{4}$

где $\rho=1.25~кг/м^3$ — плотность воздуха, — площадь “крыла”, — аэродинамический коэффициент подъёмной силы. В учебнике [2] приведены средние значения скорости пчелы при полёте к кормушке и от кормушки, соответственно, 28.7 и 24.3 км/час (по И. А. Левченко, 1962):

Доверимся пчёлам и будем считать их крейсерскими. Тогда из формулы (4) при равенстве подъёмной силы силе тяжести можно определить коэффициент при полёте “туда” и при полёте “обратно”: $c_{y1}=0.44,~c_{y2}=0.92$ .

Коэффициент подъёмной силы меняется в полёте из-за изменения угла атаки. Точка “опоры” движителя или точка приложения силы тяги, развиваемой крыльями находится в районе торакса, а зобик и центр тяжести в районе передней части брюшка. Поэтому при загрузке брюшко тянет вниз и угол атаки возрастает. Положим, что “пустая” пчела имеет массу 100 мг, а “груженная” — 150 мг. Тогда можно связать с массой, исходя из уже вычисленных $c_{y1}$ и $c_{y2}$ :

$c_y=0.0094\cdot m - 0.51 \tag{5},$

где m — масса пчелы в миллиграммах. Второй аэродинамический коэффициент — коэффициент лобового сопротивления или коэффициент формы . Он определяет силу лобового сопротивления:

$F_x=c_x\frac{\rho v^2}{2}s_c \tag{6}~,$

где — площадь миделя. Для цилиндра с соотношением длины к диаметру 2:1 он равен 0.82. В нашем случае соотношение составляет 3.5:1 (14 мм : 4 мм), и форма не вполне цилиндр — каплевидности добавляет округлая голова и заострённый хвост (для вытянутого каплевидного тела ; для современных серийно выпускаемых автомобилей ). Имеются данные экспериментальных исследований пчелы в аэродинамической трубе. Это было многолетнее (с 1989 по 1998 год) исследование, посвященное полету медоносной пчелы, опубликованное в семи статьях. Одна (пятая) статья так и называлась: “Коэффициенты сопротивления и подъемной силы тела пчелы; влияние на динамику полета”[3]. Производился обдув в аэродинамической трубе на скоростях от 0.5 до 5 м/с и углах атаки от — 20° до +20°. “Измерения проводились на подготовленных телах… с ногами и без них… Из сил были рассчитаны коэффициенты сопротивления и подъёмной силы. Коэффициент сопротивления, измеренный при нулевом угле атаки, составил 0.45 при скорости от 3 до 5 м/с, 0.6 при 2 м/с, 0,9 при 1 м/с и 1.35 при 0.5 м/с”.

Построим график по этим данным:

Если экстраполировать кривую до скорости 8 м/с (28.8 км/час), что соответствует крейсерской скорости незагруженной пчелы в нашей модели, то значение Cx будет равно 0.25.

Кстати, в седьмой статье исследования “Зависимость метаболической мощности от скорости полета” [4] приведена формула: Pm = 49.2 — 8.9 v + 1.5 v². Точка v=0 соответствует парящему полету, для нее мощность метаболизма равна 49.2 мВт, что близко к полученному в модели значению 48 мВт.

Потому для полёта “туда” положим $c_{x1}=0.25$ . При полёте обратно, как мы уже выяснили, возрастает угол атаки, при этом возрастает площадь поперечного сечения и, соответственно, коэффициент . Положим $c_{x2} = 0.40$ . Аэродинамические коэффициенты для разных углов атаки связаны между собой, эта зависимость называется полярой. Для небольшого изменения угла атаки поляру можно аппроксимировать прямой линией. Для нашего случая получится:

$c_x=0.3125 \cdot c_y + 0.1125 \tag{7}$

На основании полученных соотношений можно проанализировать, как меняются аэродинамические силы и мощности в зависимости от скорости:

Подъёмной мощностью здесь названа мощность компенсации разности силы тяжести и подъёмной силы; при достижении крейсерской скорости она становится равной нулю.

Как видно на этих рисунках, действительно, при крейсерской скорости пчела расходует минимум мощности — лишь на преодоление силы лобового сопротивления, которая значительно меньше, чем сила тяжести, т.е. в “транспортном” полёте требуется меньше мощности, чем в “висячем”. Напомню, механическая мощность парения составляет 2 мВт, а мощность, расходуемая на горизонтальный полёт получилась около 1 мВт, т.е. примерно в два раза меньше, с учетом КПД — 23 мВт, из них 23 — 1 = 22 мВт идет на нагрев.

При скорости $25~км/час \approx 6.94~м/с$ один километр пчела пролетит за 144 секунды, затратив на это примерно 144 мДж механической энергии. При КПД 4.4% затраты метаболизма на горизонтальный полёт составят около 3.3 Дж/км. Т. Сили в своей книге [5] приводит оценку 6.5 Дж/км для общих затрат на транспортировку нектара. Разница объясняется тем, что в число 6.5 Дж/км входят не только затраты на горизонтальный полёт, но и на висение над цветами, взлёт, посадку, а также на терморегуляцию, которая, как будет показано в следующей статье, требует значительной энергии. Таким образом, наши расчёты затрат на горизонтальный полёт не противоречат данным Сили, а составляют их часть.

Особенностью полёта пчелы на крейсерской скорости оказалась слабая зависимость затрачиваемой мощности от величины груза. По-видимому, пчела не задумывается над тем, с какой скоростью ей лететь. Она выдаёт номинальную мощность (машет крыльями “как всегда” — двигатель работает в штатном режиме), а угол атаки и выставляются автоматически в соответствии с формулой (5). В результате горизонтальное перемещение практически всегда происходит с крейсерской скоростью, которая меняется с изменением массы груза — чем больше груз, тем больше угол атаки и меньше скорость. Пчела имеет возможность чуть подрегулировать , поджав или вытянув лапки — “Пчела, летящая с пустым зобиком, держит задние ноги вытянутыми назад, а с полным зобиком несет их согнутыми вперед, чтобы выравнивать центр тяжести” [6].

Максимальная скорость

С какой максимальной скоростью может лететь пчела? В литературе чаще всего можно встретить число 65 км/час, но без указания первоисточника. Не известно кто и когда намерил такую скорость. Но давайте посмотрим на графики мощности: максимальная механическая мощность, развиваемая загруженной пчелой при взлете составляет около 4 мВт ( $P_{w0}$ для мг). Если провести эту горизонтальную линию до пересечения с графиком, то точка пересечения будет соответствовать скорости 39.3 км/час, полностью загруженная пчела вряд ли сможет превысить эту скорость. А вот если такую же мощность разовьет незагруженная пчела (верхний график), то она может разогнаться до 45 км/час. В таблице с исходными данными (по И. А. Левченко, 1962) [2] есть значение от 43.2 до 50.4 км/час для 3% пчел. Из них, максимальное значение 50.4 км/час было, скорей всего в одном случае (он и определил границу интервала) — это на 5.4 км/час (1.5 м/с) больше, чем мы предположили. Но это мог быть случай незначительного порыва попутного ветра (5.4 км/час — это слабый ветер). Поэтому в безветренную погоду, видимо, обозначенный порог 45 км/час вряд ли будет преодолен, ну если только ненамного и какой-нибудь пчелой-чемпионкой. Может возникнуть вопрос, а как же груженая пчела (в направлении в улей) попала в этот интервал, где нижняя граница составляет 43.2 км/час? Для нее же максимальная расчетная скорость получилась всего 39.3 км/час. Ответ простой — не все пчелы летящие к улью имеют полную загрузку — это редкое исключение, а вовсе не правило. Для разгона до 65 км/час незагруженной пчеле потребовалась бы механическая мощность 11.6 мВт (крайняя правая точка на графике). С учетом КПД требуемая скорость метаболизма для этого составит 264 мВт или 2.64 кВт/кг, что недостижимо для биологических систем.

Выводы

Предложенная модель транспортного полёта пчелы позволяет объяснить наблюдаемые крейсерские скорости, оценить энергозатраты и показать, что миф о 65 км/ч не подтверждается расчётами. Сравнение с экспериментами Nachtigall и данными Левченко демонстрирует хорошее согласие.

Литература:

Timothy M. Casey, Michael L. May, Kenneth R. Morgan. Flight Energetics of Euglossine Bees in Relation to Morphology and Wing Stroke Frequency — Journal of Experimental Biology, vol. 116, issue 1, pp. 271-289, May 1985
Лебедев В. И., Билаш Н. Г. Биология медоносной пчелы. — М.: Агропромиздат, 1991. — 239 с: ил. — (Учебники и учеб. пособия для учащихся техникумов).
Nachtigall, W., Hanauer-Thieser, U. Flight of the honeybee. J Comp Physiol B 162, 267–277 (1992). https://doi.org/10.1007/BF00357534
Nachtigall, W., Hanauer-Thieser, U. & Mörz, M. Flight of the honey bee VII: metabolic power versus flight speed relation. J Comp Physiol B 165, 484–489 (1995). https://doi.org/10.1007/BF00261303
Сили Т. Жизнь пчёл. Нерассказанная история медоносной пчелы в дикой природе. /Перевод с англ. Яна Рыжова — М.: Ассоциация развития естественного пчеловодства, 2024. — 392 с. илл.
Кашковский В.Г. Советы пчеловодам. — Кемеровское книжное издательство, 1991. — 111 с. илл.

В следующей статье разберём, как пчела использует «лишнее» тепло для обогрева себя и гнезда. Нетерпеливые могут посмотреть в моем блоге по пчеломоделированию.

ссылка на оригинал статьи https://habr.com/ru/articles/1027254/