Кинематическая задача из олимпиады «Росатом» за 2020/21 учебный год

Не вдаваясь в обсуждение методики олимпиадной подготовки школьников и школьного преподавания физики, приведем решение этой задачи с помощью регулярных методов.

Введем систему координат , где — точка крепления нити к потолку, а ось проходит через точку отрыва нити от диска. Эту точку мы обозначим через .

Скорость точки диска, которая совпадает в данный момент времени с точкой , равна сумме относительной (относительно системы ) и переносной скоростей:

$\boldsymbol{v}_A = \boldsymbol{v}_A^r + \boldsymbol{v}_A^e.$

Относительная скорость точки диска равна нулю, поскольку в системе диск катится по оси без проскальзывания: $\boldsymbol{v}_A^r = 0$ . Поскольку система поворачивается вокруг точки , переносная скорость $\boldsymbol{v}_A^e$ перпендикулярна оси .

Таким образом, скорость точки диска направлена вдоль радиуса, соединяющего центр диска с точкой . Аналогично, скорость точки направлена вдоль радиуса, соединяющего центр диска с точкой . Соответственно мгновенный центр скоростей (МЦС) диска лежит в точке пересечения прямых, содержащих отрезки нитей.

Однако мы не будем использовать МЦС, а решим задачу с помощью формулы Эйлера. Мотивация такого выбора чисто методическая: общие теоремы важнее их частных случаев.

Введем систему координат , где — центр диска, ось проходит через точку , а ось направлена перпендикулярно плоскости рисунка на зрителя.

В силу сделанных замечаний, скорости точек диска и имеют вид:

$\boldsymbol{v}_A = u \boldsymbol{e}_x, \quad \boldsymbol{v}_C = w (\cos \alpha \boldsymbol{e}_x + \sin \alpha \boldsymbol{e}_y).\qquad (1)$

Здесь — параметры, подлежащие определению.

Угловая скорость диска известна: $\boldsymbol{\omega} = \omega \boldsymbol{e}_z$ .

Отметим, что

$\boldsymbol{OC}=R(\cos \alpha \boldsymbol{e}_x + \sin \alpha \boldsymbol{e}_y)$

$\boldsymbol{AC} = \boldsymbol{OC} - \boldsymbol{OA} = R(\cos\alpha - 1)\boldsymbol{e}_x + R\sin\alpha\boldsymbol{e}_y. \qquad (2)$

Подставляя равенства (1) и (2) в формулу Эйлера

$\boldsymbol{v}_C = \boldsymbol{v}_A + [\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{AC}]$

и приравнивая коэффициенты при базисных векторах, найдем:

$w \cos \alpha = u - \omega R \sin \alpha, \quad w \sin \alpha = \omega R (\cos \alpha - 1).$

Из этих двух равенств нам понадобится только второе:

$w = \frac{\omega R (\cos \alpha - 1)}{\sin \alpha}.$

Подставляя эту формулу в (1), мы находим $\boldsymbol v_C.$

Скорость центра диска определяется по формуле Эйлера:

$\boldsymbol{v}_O = \boldsymbol{v}_C - [\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{OC}].$

Подставляя в эту формулу полученные выше результаты, находим:

$\boldsymbol{v}_O = \frac{\omega R (1 - \cos \alpha)}{\sin \alpha} \boldsymbol{e}_x - \omega R \boldsymbol{e}_y.$

ссылка на оригинал статьи https://habr.com/ru/articles/1027268/