Давайте объединим линейную и геометрическую алгебры. Часть 2. Матрица Якоби

Привет Хабр!

В этот раз воздержусь от обработки статьи нейросетями, для приукрашивания оборотов речи, напишу просто про следующую идею: Матрица Якоби определяет векторную функцию в малой области, линейным способом, за счет чего может обрабатываться методами и линейной и геометрической алгебры.

Можно видеть, что «x» в окрестности «x0» может быть любым. При известных матрице Якоби и значении функции в «x0», для любого «x» можно вычислить в этой окрестности значение функции «u».

Так как «x» любой, можно составить матрицу из двух состояний системы относительно точки «x0».

Умножение любой матрицы Х на матрицу J, дает матрицу, составленную из столбцов X, преобразованных умножением на J.

Такое матричное приращение функции кодирует одновременно изменение функции вдоль Δx, и вдоль Δx`. То есть мы работаем с двумя состояниями одновременно. Индексы матрицы по строкам означают номера координат, индексы по столбцам означают состояния.

Матрица двух состояний функции тогда:

Предположим теперь, что мы каким то образом знаем значение функции в трех не совпадающих точках. Тогда нахождение матрицы Якоби из задачи математического анализа, становится задачей линейной алгебры.

Это дает нам возможность вычисления матрицы Якоби по любой паре значений координат аргумента и функции, без вычисления производных. Любым способом определяем в паре точек значения функции, и таким методом можем пересчитать значения функции в любых точках окрестности для любой сетки известных значений и искомых значений. Вычислив матрицу Якоби, мы можем задать значения функции во всех любых других точках области.

Если же задать производные матрицы Якоби по классике и приращения аргумента дифференциалами, получим и результат по классике.

Что касается смысла разложения произвольной матрицы на кватернион и вектор Паули, то писал об этом тут Давайте объединим линейную и геометрическую алгебры. На простом примере. Часть 1. Это дает возможность интерпретировать происходящее хоть и более абстрактным способом, но и более гибким вычислительно.

Кому интересно, так проще разобраться. Мне лично не попадалось литература, где хотя бы попытку делали такой интерпретации. Если знаете и поделитесь, буду признателен.

Спасибо за внимание!