Как математика превращает пространство-время в кристалл, а затем в чёрную дыру

Вода при температуре ровно ноль градусов не знает, чем ей быть. Добавьте к ней крошечный импульс энергии, и она останется в жидком состоянии; отнимите столько же, и она превратится в лёд, а молекулы зафиксируются в идеальной повторяющейся решётке. Сам переломный момент, этот тонкий момент нерешительности, представляет собой особое состояние объекта. На протяжении десятилетий физики подозревали, что нечто подобное может произойти и с пространством-временем. Не с молекулами воды, а с самой структурой Вселенной, организующейся в кристаллическую структуру прямо на пороге превращения в чёрную дыру. Теперь, впервые, команда из Вены и Франкфурта записала точное математическое описание того, как выглядит этот объект, используя не более чем бумагу и карандаш.

Результат, опубликованный в Physical Review Letters, решает задачу, которая оставалась открытой с 1993 года. Он также раскрывает нечто действительно странное о том, как могут образовываться чёрные дыры, и даёт намёк на то, как могла выглядеть самая ранняя Вселенная.

История начинается с физика по имени Мэтью Чоптуик, который в 1993 году проводил компьютерное моделирование коллапса материи. Он обнаружил, что если настроить энергию падающей оболочки частиц на критический порог — границу между «коллапсом в чёрную дыру» и «безопасным рассеиванием» — то получившееся пространство-время не просто остаётся в покое. Оно пульсирует. Оно колеблется с точным повторяющимся ритмом, с дискретной самоподобностью, как будто само пространство-время представляет собой кристалл с регулярной решётчатой структурой. Физики назвали это состояние критическим коллапсом и почти сразу поняли, что оно имеет признаки фазового перехода, что-то вроде момента, когда вода превращается в лёд. Аналогия была убедительной; математика, как оказалось, была чрезвычайно сложной.

В течение 33 лет критическое решение Чоптуика существовало только в численной форме — это было то, что компьютеры могли приближённо описывать, но никакая формула, созданная человеком, не могла его описать. «Иногда крошечной, казалось бы, незначительной причины достаточно, чтобы вызвать огромное и кардинальное изменение», — говорит профессор Даниэль Грумиллер из Венского технического университета, один из авторов новой работы. Его аналогия со льдом уместна. Но в то время как физику замерзания воды можно записать в виде довольно понятных уравнений, уравнения, описывающие пространство-время вблизи порога чёрной дыры, простыми назвать нельзя.

Уловка, которую применила команда из Вены и Франкфурта, чтобы решить эту задачу, на первый взгляд кажется абсурдной. Наша вселенная имеет четыре измерения: три пространственных и одно временное. Уравнения общей теории относительности в четырёх измерениях не поддаются упрощению; здесь нет небольшого числа, вокруг которого можно было бы провести разложение, нет очевидной схемы приближения, которую можно было бы использовать. Но что, если увеличить количество измерений? Не до пяти или сорока двух, а сразу до бесконечности. Как отмечает Кристиан Эккер из Франкфуртского университета имени Гёте, в принципе ничто не мешает записать уравнения для любого числа измерений — пяти, сорока двух или бесконечного множества. Уравнения в этом пределе, как ни странно, сводятся к чему-то гораздо более управляемому. Четырёхмерная задача, переформулированная как предел в бесконечном измерении более общей теории, поддаётся аналитическим методам, которые раньше просто не были доступны.

В этом пределе они обнаружили целое семейство точных решений — бесконечный каталог конфигураций пространственно-временных кристаллов, каждая из которых характеризуется одной функцией времени, кодирующей повторяющийся ритм структуры. По меркам общей теории относительности эти решения отличаются удивительной лаконичностью. «Наша методика оказалась удивительно стабильной, — говорит Флориан Экер из Венского технического университета. — В зависимости от требуемой точности мы можем систематически улучшать наши формулы, используя дополнительные методы аппроксимации. Это даёт нам новый метод для изучения явлений, связанных с чёрными дырами, которые ранее не получалось проанализировать аналитически».

Термин «кристалл» — это больше, чем метафора. В обычном кристалле атомы располагаются в пространстве в точках, расположенных на равном расстоянии друг от друга; если побеспокоить решётку, она либо удержится в текущем состоянии, либо разрушится. Кристалл пространства-времени Чоптуика имеет аналогичную двойственную природу. «Это своего рода промежуточное состояние, нестабильная точка, которая может развиваться в двух разных направлениях», — объясняет Грумиллер. «Он может просто снова распасться, оставив после себя обычное пространство-время, заполненное свободно движущимися частицами. Но если добавить крошечное количество энергии, эволюция пойдёт по совершенно иному пути: незаметный кристалл пространства-времени превратится в чёрную дыру». В этом смысле кристалл — это вселенная, балансирующая на острие булавки.

Чтобы получить решение в бесконечном измерении, позволяющее сделать полезные выводы о нашей явно четырёхмерной Вселенной, необходимо постепенно «свести» его к более низким порядкам с помощью последовательных поправок. Команда проработала решение в ведущем порядке (чистое, но неточное), затем в следующем по значимости порядке, а затем и в более высоком. Каждая поправка отражает всё большее количество структур, наблюдаемых в исходных численных симуляциях Чоптуика, включая кривизну определённых геометрических элементов, называемых линиями нулевого энергетического условия, которые упорно оставались неверными до тех пор, пока не была включена вторая поправка. В этом подходе есть нечто почти извращённое: вселенная, которая вас действительно интересует, находится дальше всего от предела, вокруг которого вы раскладываете. Но математика, похоже, не обращает внимания на эту извращённость. Она сходится, по крайней мере вблизи центра кристалла пространства-времени, быстрее, чем кто-либо ожидал.

Эти решения также накладывают ограничения, которые не были предусмотрены. В предпоследнем порядке команда обнаружила, что не все возможные повторяющиеся ритмы кристалла математически согласуются; большинство из них исключается условием, определяющим поведение самоподобного горизонта структуры (своего рода внутренней границы). Это потенциально важно. В конечных измерениях численные исследования уже давно указывают на то, что существует, по сути, только одно критическое решение такого рода. Новая аналитическая структура, если её довести до всё более высоких порядков, может определить эту уникальность на основе первых принципов, а не просто наблюдать её в симуляциях.

В этом есть и космологический аспект, и он имеет большее значение, чем может показаться на первый взгляд. В самой ранней Вселенной, через доли секунды после Большого взрыва, условия были настолько хаотичными, что критический коллапс, в принципе, мог произойти спонтанно в небольших областях. В результате могли бы образоваться первичные чёрные дыры — микроскопические остатки младенческого периода Вселенной. Такие объекты предлагались в качестве кандидатов на роль тёмной материи, и их реальное существование зависит от того, насколько легко происходил критический коллапс и как именно вели себя образовавшиеся чёрные дыры. Новые аналитические решения дают теоретикам точную основу для рассмотрения этого вопроса, а не просто численные оценки.

Команда уже наметила дальнейшие задачи: распространение решения за пределы внутренней части кристалла на область за его самоподобным горизонтом, переход к более высоким порядкам разложения в ряд теории возмущений и, в конечном итоге, изучение показателя Чоптуика — величины, характеризующей чувствительность процесса образования чёрных дыр к начальным условиям вблизи порогового значения. Численные измерения зафиксировали его значение примерно на уровне 0,374 в четырёх измерениях; остаётся открытым вопрос, сможет ли расширение в больших измерениях воспроизвести это значение аналитически, и, вероятно, это самый сложный вопрос из всего списка. Но на данный момент 33-летний пробел в математике чёрных дыр наконец был восполнен с помощью всего лишь ручки, бумаги и готовности представить себе вселенную с бесконечным количеством измерений.

Часто задаваемые вопросы

Могут ли микроскопические чёрные дыры из ранней Вселенной существовать сегодня?

Возможно. Первичные чёрные дыры, которые, возможно, образовались в результате критического коллапса в хаотических условиях вскоре после Большого взрыва, являются кандидатом на реальные объекты в космологии. Сохранились ли они до наших дней, зависит от их массы и того, как они взаимодействовали с излучением; самые маленькие из них, вероятно, испарились в результате излучения Хокинга, в то время как более крупные, возможно, всё ещё существуют. Новая аналитическая модель даёт теоретикам более точные инструменты для моделирования того, насколько легко эти объекты могли образоваться.

Почему физики не могли сформулировать формулу для этого раньше?

Уравнения общей теории относительности, как известно, крайне трудно поддаются точному решению, а проблема критического коллапса добавляет к этому ещё одну сложность: пространство-время вблизи порогового значения обладает самоподобностью в виде дискретных колебаний, что исключает применение большинства стандартных аналитических приёмов. Без небольшого безразмерного параметра, вокруг которого можно было бы проводить преобразования, не было очевидной отправной точки. Прорывом стало признание того, что число пространственных измерений может служить таким параметром, открывая режим, в котором уравнения упрощаются настолько, что их можно решить.

Что на самом деле означает, что пространство-время образует «кристалл»?

В обычном кристалле атомы повторяются через равные промежутки в пространстве. Кристалл пространства-времени Чоптуика аналогичен: геометрия пространства и времени повторяется через равные промежутки времени, циклически повторяя один и тот же паттерн. Это нестабильная конфигурация, которая находится точно на границе между двумя исходами: коллапсом в чёрную дыру или рассеиванием обратно в обычное пространство. Кристалл не сохраняется; он склоняется в ту или иную сторону в зависимости от мельчайших флуктуаций энергии.

Является ли трюк с бесконечными измерениями реальным физическим открытием или просто математическим удобством?

В основном второе, но это не совсем так однозначно, как может показаться. Предел в бесконечном измерении — это не реальное место, а математический режим, в котором уравнения становятся разрешимыми. Важно то, сохраняют ли решения в этом пределе свою информативную ценность при возвращении к четырём измерениям, и последовательные поправки, внесённые командой, показывают, что это действительно так. Данный подход заимствован из других областей теоретической физики, где этот же приём оказался плодотворным, в том числе при изучении больших чёрных дыр.