Выпрямление векторных полей и коммутирование потоков: честный координатный анализ

В этой статье подробно разбираются и доказываются две классические теоремы теории динамических систем: теорема о локальном выпрямлении векторного поля и критерий коммутирования фазовых потоков.

Эти утверждения стандартны; они входят в университетские программы и содержатся во многих учебниках по обыкновенным дифференциальным уравнениям и дифференциальной геометрии. Однако на практике полное формальное доказательство критерия коммутирования встречается редко. В продвинутой литературе (например, в учебниках В. И. Арнольда) авторы обычно используют геометрический подход через производную Ли, что требует привлечения аппарата дифференциальной геометрии, при этом аналитические детали зачастую оставляются за кадром. В более простых же курсах это доказательство часто и вовсе опускают.

Методическая особенность предлагаемого текста заключается в том, что оба утверждения доказываются строго аналитически — в компонентах и без привлечения геометрических образов. Все выкладки опираются исключительно на базовый математический анализ и классическую теорему существования и единственности решения задачи Коши.

Теорема о выпрямлении векторного поля

Рассмотрим гладкую систему дифференциальных уравнений

$\dot x^i=v^i(x),\quad v=(v^1,\ldots,v^m),\quad i=1,\ldots,m$

в области $D\subset\mathbb{R}^m$ , где $x=(x^1,\ldots,x^m)\in D.$

Теорема 1. Предположим, что $v(\tilde x)\ne 0$ . Тогда в окрестности точки $\tilde x$ существуют координаты $y=(y^1,\ldots,y^m)$ , в которых $v=(1,0,\ldots,0)$ .

Заметим, что теорема о выпрямлении векторного поля является геометрической формулировкой теоремы существования и единственности Коши.

Доказательство теоремы 1

Без потери общности можно считать, что $\tilde x=0$ и $v^1(0)\ne 0$ .

В дальнейшем во всех формулах по повторяющимся индексам подразумевается суммирование.

При замене координат векторное поле преобразуется по следующему закону (согласно определению векторного поля):

$w^i(y)\frac{\partial x^k}{\partial y^i}=v^k(x(y)),$

где $w=(w^1,\ldots,w^m)$ — компоненты поля в координатах $y=(y^1,\ldots,y^m).$

Мы ищем такую замену координат, для которой $w=(1,0,\ldots,0).$ Соответственно, получаем систему:

$\frac{\partial x^k}{\partial y^1}=v^k(x(y)). \qquad (1)$

Система (1) представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой роль времени играет переменная .

Снабдим систему (1) начальными условиями:

$\left. x^k \right|_{y^1=0}=y^k \quad (k=2,\ldots,m), \quad \left. x^1 \right|_{y^1=0}=0. \qquad (2)$

По теореме существования и единственности задача Коши (1), (2) имеет единственное решение при достаточно малых . Это решение и задает искомую замену координат:

$\det \frac{\partial x}{\partial y}\bigg|_{y=0}=v^1(0)\ne 0.$

Следовательно, по теореме об обратном отображении, преобразование $x\mapsto y$ является локальным диффеоморфизмом.

Теорема доказана.

Теорема о коммутировании фазовых потоков

Предположим, что в области $D\subset\mathbb{R}^m$ заданы гладкие векторные поля и .

Через и обозначим их фазовые потоки:

$\frac{dg^t_u(x)}{dt} = u(g^t_u(x)), \quad g^0_u(x)=x,$ $\frac{dg^s_v(x)}{ds} = v(g^s_v(x)), \quad g^0_v(x)=x.$

Отображения $g^t_u, g^s_v: U \to D$ определены на некотором открытом множестве $U\subset D$ при достаточно малых и и являются локальными диффеоморфизмами.

Напомним, что коммутатором векторных полей и называется векторное поле с компонентами

$[u,v]^k = u^i\frac{\partial v^k}{\partial x^i} - v^i\frac{\partial u^k}{\partial x^i}.$

Непосредственной — хотя и занудной — проверкой можно убедиться в том, что эти компоненты действительно преобразуются при заменах координат как компоненты векторного поля.

Теорема 2. $(g^t_u\circ g^s_v = g^s_v\circ g^t_u\quad\forall t,s) \Longleftrightarrow [u,v]=0.$

Доказательство

Импликация $\Longrightarrow$ тривиальна и проверяется непосредственным дифференцированием по и . Проверим импликацию $\Longleftarrow$ .

Если некоторая точка $\tilde x\in U$ является положением равновесия для обоих векторных полей, то есть $u(\tilde x)=v(\tilde x)=0$ , то равенство

$g^t_u\circ g^s_v(\tilde x) = g^s_v\circ g^t_u(\tilde x) = \tilde x$

очевидно. Докажем утверждение в случае, когда одно из векторных полей, скажем , не обращается в ноль в точке $x'\in U:\quad u(x')\ne 0$ .

Тогда в окрестности точки существуют локальные координаты, в которых $u=(1,0,\ldots,0)$ . Будем считать, что эти координаты уже введены и обозначены через $x=(x^1,\ldots,x^m)$ .