Заметки на полях: изоморфизм геометрических алгебр

Пролог

Скитаясь по лесистым равнинам геометрической алгебры, нашёл классный изоморфизм. Возможно, кому-то будет интересно — попытаюсь изложить по-русски и попроще.

Изоморфизм алгебр

В работе Garret Sobczyk “Spinors in Spacetime Algebra and Euclidean 4-Space” явно используется алгебраический изоморфизм между геометрической алгеброй евклидова четырёхмерного пространства $Cl_{(4,0)}$ и алгеброй пространства-времени $Cl_{(1,3)}$ .
У Sobczyk соответствие записано как

$e_0\equiv\gamma_0,\qquad e_k\equiv\gamma_k\gamma_0,$

откуда следует

$\gamma_0=e_0,\qquad \gamma_k=e_ke_0.$

Далее я буду использовать именно это соглашение. То есть наблюдаемые пространственные генераторы $Cl_{(1,3)}$ представляются в $Cl_{(4,0)}$ как произведения евклидова генератора на опору справа:

$\gamma_i=e_ie_0.$

Если в обычной евклидовой $Cl_{(4,0)}$ выбрать 1-вектор , будем далее называть его опорой, и построить относительно него базис $(e^{}_0,e_1e_0,e_2e_0,e_3e_0)$ , то элементы этого базиса удовлетворяют определяющим соотношениям генераторов $Cl_{(1,3)}$ :

$\gamma_0^2=+1,\qquad \gamma_i^2=-1,\\\gamma_\mu\gamma_\nu+\gamma_\nu\gamma_\mu=2\eta_{\mu\nu},\qquad\eta=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1).$

При этом реверсия и грейд-инволюция в наблюдаемой $Cl_{(1,3)}$ , конечно, не совпадают с исходными операциями реверсии и грейд-инволюции в $Cl_{(4,0)}$ , и должны быть переопределены.
Удобно будет ввести одну операцию опорного отражения:

На векторах эта операция имеет простой смысл. Если $v=v_\parallel+v_\perp$ , где $v_\parallel$ — компонента вдоль , а $v_\perp$ — ортогональное дополнение, то $M(v)=v_\parallel-v_\perp$ . То есть опорная компонента сохраняется, а всё ортогональное ей меняет знак.
Кстати, это похоже на механизм лоренцизации метрики вида

$g(u,v)=\delta(Mu,v),$

где отражение относительно выбранной опоры меняет знак ортогонального дополнения в Reddy-Sharma-Sivaramakrishnan “Lorentzian metric induced from a background Riemannian metric”.
Тогда наблюдаемая реверсия задаётся как опорное отражение исходной реверсии

$A^\ddagger=e_0\widetilde A e_0 = M(\widetilde A),$

и наблюдаемая грейд-инволюция — аналогично:

$\alpha_\gamma(A)=e_0\alpha_\delta(A)e_0 = M(\alpha_\delta(A)).$

То есть наблюдаемая реверсия и наблюдаемая грейд-инволюция получаются из соответствующих операций $Cl_{(4,0)}$ через то же опорное отражение. Само геометрическое произведение при этом остаётся обычным произведением внутри $Cl_{(4,0)}$ .
Наконец, на бивекторном секторе та же идея даёт комплексную структуру. Если

$\star_\delta B:=BI_4$

это евклидова дуальность, то сама по себе она имеет квадрат +1. Но композиция дуальности с опорным отражением

$J_{e_0}:=\star_\delta \circ M$

уже даёт

$J_{e_0}^2=-1.$

Поэтому $J_{e_0}$ можно использовать как мнимую единицу на пространстве пар $(\gamma_i,\Gamma_i)$ , где

$\Gamma_i:=-I_4\gamma_i.$

Покажем это подробнее.

Работаем в евклидовой $Cl_{(4,0)}$ с ортонормированными генераторами

$e_0,e_1,e_2,e_3,\qquad {e_a}^2=1,$

и псевдоскаляром

В $Cl_{(4,0)}$

Пусть $B^{}_{}$ — произвольный бивектор. Введём две операции на бивекторном секторе.

Первая — отражение относительно выбранной опоры $e^{}_0$ :

Вторая — евклидова дуальность:

$\star_\delta B:=BI_4.$

Обе операции сами по себе являются инволюциями.

Для отражения:

Значит,

Для евклидовой дуальности на бивекторах:

${\star_\delta}^2(B)=(BI_4)I_4=B {I_4}^2=B.$

Значит,

${\star_\delta}^2=1.$

Однако эти две операции антикоммутируют. Действительно,

$(\star_\delta M)(B)=(e_0Be_0)I_4.$

А в обратном порядке:

$(M\star_\delta)(B)=e_0(BI_4)e_0=e_0BI_4e_0.$

Так как

получаем

Следовательно,

$M\star_\delta=-\star_\delta M.$

Теперь определим

$J_{e_0}:=\star_\delta\circ M.$

То есть

$J_{e_0}(B)=(e_0Be_0)I_4.$

Тогда

$J_{e_0}^2=(\star_\delta M)(\star_\delta M).$

Используя антикоммутацию,

$M\star_\delta=-\star_\delta M,$

получаем:

$J_{e_0}^2=\star_\delta(M\star_\delta)M=-\star_\delta\star_\delta MM=-1.$

Итак, $J_{e_0}^2=-1$ .

То есть мнимая единица здесь появляется как композиция двух инволюций: евклидова дуальность + отражение относительно опоры.

Проверим действие $J_{e_0}$ на выбранной бивекторной тройке. Пусть теперь, в соглашении Sobczyk,

$\gamma_i=e_ie_0.$

Дуальные партнёры удобно определить как

$\Gamma_i:=-I_4\gamma_i.$

Тогда

$\Gamma_1=-e_2e_3,\qquad\Gamma_2=-e_3e_1,\qquad\Gamma_3=-e_1e_2.$

Для $\gamma_i$ :

$J_{e_0}(\gamma_i)=(e_0\gamma_i e_0)I_4.$

Так как

$e_0(e_ie_0)e_0=e_0e_i=-e_ie_0=-\gamma_i,$

то

$J_{e_0}(\gamma_i)=-\gamma_i I_4=-I_4\gamma_i=\Gamma_i.$

Для $\Gamma_i$ , поскольку $\Gamma_i$ не содержит ,

$e_0\Gamma_i e_0=\Gamma_i.$

Значит,

$J_{e_0}(\Gamma_i)=\Gamma_i I_4.$

Но

$\Gamma_i=-I_4 \gamma_i,$

поэтому

$\Gamma_i I_4=-\gamma_i.$

Итак,

$J_{e_0}(\gamma_i)=\Gamma_i,\qquad J_{e_0}(\Gamma_i)=-\gamma_i.$

Это ровно действие умножения на мнимую единицу в каждой паре

$(\gamma_i,\Gamma_i).$

Таким образом, одно и то же опорное отражение

участвует сразу в нескольких конструкциях: в лоренцизации метрики, в переопределении наблюдаемой реверсии и грейд-инволюции, а в композиции с евклидовой дуальностью — в появлении комплексной структуры на бивекторном секторе.

Ниже приведена обзорная таблица сопоставления элементов двух алгебр:

Элемент $Cl_{(1,3)}$	Образ в $Cl_{(4,0)}$
$1^{}_{}$	$1^{}_{}$
$\gamma^{}_0$	$e^{}_0$
$\gamma^{}_1$	$e^{}_1e^{}_0$
$\gamma^{}_2$	$e^{}_2e^{}_0$
$\gamma^{}_3$	$e^{}_3e^{}_0$
$\gamma^{}_{01}$	$-e^{}_1$
$\gamma^{}_{02}$	$-e^{}_2$
$\gamma^{}_{03}$	$-e^{}_3$
$\gamma^{}_{12}$	$-e^{}_1e_2$
$\gamma^{}_{13}$	$-e^{}_1e_3$
$\gamma^{}_{23}$	$-e^{}_2e_3$
$\gamma^{}_{012}$	$-e^{}_0e_1e_2$
$\gamma^{}_{013}$	$-e^{}_0e_1e_3$
$\gamma^{}_{023}$	$-e^{}_0e_2e_3$
$\gamma^{}_{123}$	$e^{}_0e_1e_2e_3$
$\gamma^{}_{0123}$	$e^{}_1e_2e_3$

Например,

Таким образом, любую алгебраическую операцию STA (space-time algebra, $Cl_{(1,3)}$ ) можно переписать в терминах элементов евклидовой $Cl_{(4,0)}$ , если заранее зафиксирован опорный генератор и выбран соответствующий образ базиса.

Электромагнитное поле в смещённой алгебре Клиффорда

В свете такой роскоши стоит хотя бы бегло взглянуть на формулу электромагнитного поля в STA: оно записывается не парой векторов $\mathbf{E},\mathbf{B}$ , а единым бивектором $F^{}_{}$ . В натуральных единицах, опуская коэффициенты $c^{},\varepsilon_0,\mu_0$ , уравнения Максвелла сворачиваются в одну формулу:

$\nabla F=J,$

где $\nabla=\gamma^\mu\partial_\mu$ — пространственно-временной градиент, $F^{}_{}$ — электромагнитный бивектор, а $J^{}_{}$ — 4-ток.
Поскольку геометрическое произведение вектора $\nabla$ на бивектор $F^{}_{}$ содержит две части,

$\nabla F=\nabla\cdot F+\nabla\wedge F,$

это одно уравнение сразу распадается на две группы:

$\nabla\cdot F=J,\\\nabla\wedge F=0.$

Первая строка даёт неоднородные уравнения Максвелла:

$\nabla\cdot\mathbf{E}_\gamma = \rho,\\\nabla\times\mathbf{B}_\gamma -\partial_t\mathbf{E}_\gamma = \mathbf j.$

Вторая строка даёт однородные:

$\nabla\cdot\mathbf{B}_\gamma = 0,\\\nabla\times\mathbf{E}_\gamma + \partial_t\mathbf{B}_\gamma = 0.$

То есть в STA электрическая и магнитная части не являются двумя независимыми сущностями. Они являются двумя наблюдательными разложениями одного пространственно-временного бивектора $F^{}_{}$ .
Для выбранной временной опоры $\gamma_0$ это поле обычно раскладывается как

$F=\mathbf{E}_\gamma+I\mathbf{B}_\gamma,$

где $I=\gamma_0\gamma_1\gamma_2\gamma_3$ — псевдоскаляр STA, а $\mathbf{E}_\gamma$ и $\mathbf{B}_\gamma$ — пространственные векторы относительно выбранного наблюдателя.

Применим соглашение Sobczyk: $\gamma_0=e_0,\gamma_i=e_ie_0:$

$F=\mathbf E+I\mathbf B = E^i(\gamma_i\gamma_0)+B^i I(\gamma_i\gamma_0) \in Cl^2_{(1,3)} \\\downarrow{ \\ \gamma_0=e_0,\ \gamma_i=e_ie_0 : \\ I = \gamma_0\gamma_1\gamma_2\gamma_3 = I_3=e_1e_2e_3 }\ \\\mathbf F_\delta = E^i e_i + B^i I_3 e_i = \mathbf E_\delta + I_3\mathbf B_\delta \in Cl^1_{(4,0)}\oplus Cl^2_{(4,0)}.$

Тогда временно-пространственные бивекторы STA переходят в обычные векторы $Cl_{(4,0)}$ , следовательно, электромагнитный бивектор $F^{}_{}$ после переноса в $Cl_{(4,0)}$ уже не является однородным бивектором исходной алгебры — электрическая часть становится векторной, тогда как магнитная остаётся бивекторной. Коэффициенты при этом остаются те же, поэтому далее мы просто будем обозначать $\mathbf{E},\mathbf{B}$ , подразумевая их евклидовые образы, если не указано иное.
Это показывает, что единый бивектор $F^{}_{}$ в STA как бы “скрывает” сдвинутую структуру. Лоренцев градиент и 4-ток при том же соответствии принимают вид

$\nabla=\gamma^\mu\partial_\mu =e_0\partial_0-e_ie_0\partial_i =e_0(\partial_0+e_i\partial_i)=e_0(\partial_0+\nabla_3),\\J = \rho\gamma_0 + j^i\gamma_i = \rho e_0 + j^i e_ie_0=e_0(\rho-j^ie_i).$

Поэтому уравнение Максвелла можно читать как уравнение между сдвинутыми уровнями:

$(\partial_0+\nabla_3)(\mathbf E+I_3\mathbf B)=\rho-\mathbf j.$

Раскроем левую часть по грейдам:

$(\partial_0+\nabla_3)(\mathbf E+I_3\mathbf B)=\partial_0\mathbf E+\partial_0(I_3\mathbf B)+\nabla_3\mathbf E+\nabla_3(I_3\mathbf B).$

где
(1) $\nabla_3\mathbf{E}=\nabla_3\cdot\mathbf{E}+\nabla_3\wedge\mathbf{E}$ ,
(2) $\nabla_3(I_3\mathbf{B})=I_3(\nabla_3\cdot\mathbf{B})-(\nabla_3\times\mathbf{B})$ ,
(3) $\nabla_3\wedge\mathbf{E}=I_3(\nabla_3\times\mathbf{E})$ ,
поэтому полное уравнение

$\nabla_3\cdot\mathbf E+\left(\partial_0\mathbf E-\nabla_3\times\mathbf B\right)+I_3\left(\partial_0\mathbf B+\nabla_3\times\mathbf E\right)+I_3(\nabla_3\cdot\mathbf B)=\rho-\mathbf j$

распадается по грейдам:

$Cl^0:\qquad \nabla_3\cdot\mathbf E=\rho,\\Cl^1:\qquad \partial_0\mathbf E-(\nabla_3\times\mathbf B)=-\mathbf j,\\Cl^2:\qquad \partial_0(I_3\mathbf B)+I_3(\nabla_3\times\mathbf E)=0,\\Cl^3:\qquad I_3(\nabla_3\cdot\mathbf B)=0.$

Давая те же уравнения Максвелла с точностью до выбранного знака пространственного градиента.
Но теперь видно, что эти четыре строки возникают не просто как две тензорные группы $\nabla\cdot F=J$ и $\nabla\wedge F=0$ , а как четыре грейдовые проекции одного уравнения в смещённой алгебре: