В 25 лет Курт Гёдель доказал, что математической «теории всего» никогда не будет. Обозреватель Натали Волчовер исследует последствия этого открытия.
В 1931 году, обратив логику против самой себя, Курт Гёдель доказал пару теорем, которые изменили представление о знании и истине. Эти «теоремы о неполноте» установили, что ни одна формальная система математики — ни одно конечное множество правил или аксиом, из которых, как предполагается, вытекает всё остальное, — не может быть полной. Всегда будут существовать истинные математические утверждения, которые логически не вытекают из этих аксиом.
Первые недели пандемии Covid я провела, изучая, как 25-летний австрийский логик и математик сумел этого добиться, а затем написала краткое изложение его доказательства объёмом менее 2000 слов.
Но даже после того, как я разобралась в этапах доказательства Гёделя, я не была уверена, как именно следует трактовать его теоремы, которые обычно понимаются как исключающие возможность существования математической «теории всего». И я такая не одна. В книге «Доказательство Гёделя» (классическом труде 1958 года, на который я в значительной степени опиралась при написании своей статьи) философ Эрнест Нагель и математик Джеймс Р. Ньюман писали, что смысл теорем Гёделя «до конца не постигнут».
Возможно, это и так, но с тех пор прошло шесть десятилетий. На каком этапе мы находимся сегодня с этими идеями? Недавно я попросила логиков, математиков, философов и одного физика обсудить смысл теорем о неполноте. У них было много чего сказать о последствиях этого странного интеллектуального достижения Гёделя и о том, как оно изменило ход бесконечного поиска истины человечеством.
ПАНУ РААТИКАЙНЕН, философ из Университета Тампере и автор статьи о теоремах о неполноте Гёделя в «Стэнфордской энциклопедии философии»
Ещё со времён древних греков аксиоматический метод повсеместно считался идеальным способом систематизации научных знаний. Цель состоит в том, чтобы иметь небольшое количество «самоочевидных» базовых утверждений — аксиом, принципов или законов — таких, чтобы все истины рассматриваемой области можно было логически вывести из них.
Теоремы о неполноте Гёделя с математической точностью показывают, что этот идеал неизбежно не сбывается в отношении значительной части математики. Совокупность математических истин, касающихся даже только положительных целых чисел (1, 2, 3…), настолько озадачивающе сложна, что не вытекает из какого-либо конечного набора аксиом.
Это означает, что некоторые математические задачи в принципе не поддаются решению с помощью наших современных математических методов. Для достижения прогресса могут потребоваться творческие концептуальные инновации. В результате математические истины не составляют единого целого, собранного из одинаково несомненных истин; напротив, их статус как знания плавно варьируется от несомненных фактов до всё менее определённых гипотез.
Раатикайнен справедливо отмечает, что теоремы Гёделя стирают грань между тем, где заканчивается объективная истина и начинается вымышленная математика. Одним из исторических способов, с помощью которых люди пытались преодолеть ограничения теорем Гёделя, было предложение дополнительных аксиом, выходящих за рамки общепринятых. Допустим, вы хотите доказать утверждение с помощью традиционных аксиом, но обнаруживаете, что не можете этого сделать — что оно неразрешимо. Если вы добавите новую аксиому к исходному набору, то, возможно, сможете доказать истинность этого утверждения. Однако если добавить другую аксиому, вы, возможно, сможете доказать, что оно ложно. Таким образом, истинность или ложность утверждения зависит от сделанного вами выбора. Внезапно «истина» становится в большей степени зависимой от личных предпочтений или допущений.
РЕБЕККА ГОЛЬДШТЕЙН, философ и автор книги «Неполнота: доказательство и парадокс Курта Гёделя»
Интуиция всегда играла важную роль в математике. В конце концов, мы не можем доказать всё; нам приходится принимать некоторые истины (то есть аксиомы) без доказательств, чтобы наши доказательства вообще могли начаться. Но на протяжении веков мы узнали, что иногда интуиция оказывается ненадёжной — настолько ненадёжной, что порождает настоящие парадоксы, — а это означает, что мы вынуждены постулировать откровенные противоречия.
В начале XX века Бертран Рассел и Альфред Норт Уайтхед работали над книгой «Принципы математики», в которой предпринималась попытка свести арифметику к логике. [Точка зрения, согласно которой математика — не что иное, как логика, известна как «логицизм».] Эта работа привела Рассела к открытию того, что впоследствии стало называться «парадоксом Рассела». Он касается множества всех множеств, которые не являются элементами самих себя. Парадокс проявляется, когда задаёшь вопрос: является ли это множество элементом самого себя? Противоречие заключается в следующем: если да, то нет; а если нет, то да. (Георг Кантор, считающийся основателем теории множеств, осознал это противоречие ещё в 1890-х годах.)
Ответ математиков — и прежде всего Дэвида Гильберта, ведущего математика того времени — заключался в том, чтобы избавить математику от сомнительных интуиций путём формальной аксиоматизации, превратив её в согласованное и полное множество алгоритмических рекурсивных правил, что, по сути, сводило математику к механической игре с символами. Эта цель формализации получила название «Программа Гильберта».
Гёдель доказал, что Программа Гильберта нереализуема. Его первая теорема о неполноте гласит, что в любой формальной системе математики, достаточно богатой для выражения арифметики, будут существовать утверждения, которые одновременно являются истинными и недоказуемыми. Таким образом, хотя формальные системы, состоящие из механических правил манипулирования символами, успешно устраняют все интуиции, они также не способны охватить всё то, что мы считаем математически истинным — знание, обогащённое интуициями, касающимися бесконечных структур, которые мы называем числами.
Удивительно, что наши интуитивные представления о числах могут выходить за пределы того, что мы можем доказать.
Лично у меня нет никаких интуитивных представлений о том математическом утверждении, которое в годы после доказательства Гёделя придало понятию «неполноты» реальный смысл. Оно называется гипотезой континуума и гласит, что множество всех действительных чисел (континуум) является вторым по величине бесконечным множеством после множества натуральных чисел (1, 2, 3 …). Было установлено, что с помощью стандартных аксиом математики её невозможно доказать. Можно сформулировать дополнительные аксиомы, чтобы доказать её истинность или ложность, но логики расходятся во мнениях относительно того, какой путь выбрать.
Один физик, с которым я беседовал, предупреждает, что неразрешимость гипотезы континуума имеет последствия для его области: физикам, возможно, придётся вообще избегать понятия континуума.
КЛАУС КИФЕР, физик из Кёльнского университета, автор статьи 2024 года о значении теоремы о неполноте Гёделя для фундаментальной физики
Доказательство Курта Гёделя имеет далеко идущие и неожиданные последствия для математики. Учитывая, что законы физики формулируются на математическом языке, имеет ли это значение и для физики? Я думаю, что да.
Одним из важнейших неразрешимых утверждений является гипотеза континуума, неразрешимость которой в гёделевском смысле доказал Пол Коэн в 1963 году. Название «континуум» происходит от постулата, согласно которому точки на прямой отображаются на множество действительных чисел. Но сколько же существует действительных чисел? Их количество составляет несчётное бесконечное множество — но можно ли точно определить эту несчётность? Гипотеза континуума гласит, что действительные числа образуют второе по величине бесконечное множество после бесконечного множества натуральных чисел, которое является счётным.
Теперь вспомним, что известные фундаментальные взаимодействия в физике определяются на пространственно-временном континууме. Несчётное количество точек, связанных с этим континуумом, является причиной различных проблем в физике. Например, в теории общей относительности Эйнштейна — нашей современной теории гравитации — это приводит к появлению сингулярностей, которые делают невозможным математическое описание происхождения Вселенной и внутренней структуры чёрных дыр. В Стандартной модели физики элементарных частиц, описываемой квантовой теорией поля, прямые вычисления дают бесконечные результаты для энергий и других физических величин, которые приходится устранять с помощью сложной и неинтуитивной математической процедуры.
Ситуация усугубляется при попытке создать окончательную единую теорию всех взаимодействий. Единая теория должна характеризоваться согласованным и полным математическим языком. Однако если единая теория будет описывать пространство-время как континуум, то неразрешимость гипотезы континуума (CH) может сделать эту теорию неполной. Физики уже показали, что CH приводит к неразрешимым вопросам в квантовой теории поля, например, к вопросу о том, имеют ли определённые атомные системы «энергетическую щель», позволяющую им переходить в стабильные основные состояния. Эта неразрешимость вытекает из того факта, что в расчётах предполагается, что атомы находятся в пространственно-временном континууме. Можно возразить, что более фундаментальная теория (с более полными аксиомами) могла бы решить этот вопрос, но окончательная теория не должна содержать недоказуемых утверждений. Следовательно, она не должна предполагать существование континуума.
На мой взгляд, этой ситуации неразрешимости можно избежать только в том случае, если структура пространства и времени является дискретной — то есть характеризуется лишь счётной бесконечностью точек. В некоторых подходах к квантовой гравитации, например в теории струн или петлевой квантовой гравитации, есть намёки на дискретность, но ситуация далеко не ясна.
Стоит отметить, что помимо этих проблем с гипотезой континуума у физиков высоких энергий есть много других причин полагать, что непрерывное пространство-время не является фундаментальным для реальности, а представляет собой лишь иллюзию на больших расстояниях, возникающую из других составляющих.
ЙОУКО ВЯЯНЕН, математик и логик из Хельсинкского и Амстердамского университетов
Неполнота — это неприятный, но неизбежный факт в математике, подобно иррациональным и трансцендентным числам в теории чисел или принципу неопределённости Гейзенберга в физике.
Существует своего рода «барьер Гёделя», который формальный язык не может обойти: чем сильнее выразительная мощь логики (то есть чем больше вещей можно выразить в этой логике), тем слабее её эффективность (то есть наша способность доказывать истинность или ложность утверждений в этой логике), и чем сильнее эффективность, тем слабее выразительная мощь.
Например, одной из простейших логических систем является пропозициональная логика, которая позволяет комбинировать утверждения с помощью операций, таких как «и», «или» и «не». Она очень эффективна, но её выразительная способность слаба. На другом конце спектра находится логика второго порядка, которая позволяет формулировать утверждения об объектах, свойствах, множествах и отношениях. Она обладает огромной выразительной способностью, но очень слабой эффективностью. Это похоже на то, как будто «произведение» эффективности и выразительной силы является постоянной величиной, точно так же, как в принципе неопределённости Гейзенберга, который гласит, что существует предел точности, с которой можно одновременно определить определённые «комплементарные» пары физических свойств, таких как положение и импульс; другими словами, чем точнее измеряется одно свойство, тем менее точно можно определить другое. В логике, по удивительной аналогии, эффективность и выразительность являются такими «комплементарными» свойствами. В этом заключается истинное содержание теорем о неполноте Гёделя.
Мы продвигаемся в математике, не имея никакой уверенности в её согласованности или полноте. Так уж всё устроено.
Поразительно, что математика, являющаяся основой точных наук, лишена фундамента, согласованность и полнота которого можно было бы доказать. Гильберта можно простить за то, что он полагал: такого не может быть. Однако это так, так же несомненно, как и то, что квадратный корень из двух — иррациональное число. В математике существует загадочный мешочек неполноты, который можно перемещать с места на место, но он никогда не исчезнет.
Удивительно, но сам Гёдель был немного более оптимистичен. Здесь Рэйчел Альвир объясняет, что Гёдель не терял надежды на создание формально-логической системы, способной разрешить гипотезу континуума и все остальные вопросы о множествах — строительных блоках современной математики. Его теоремы о неполноте говорят нам, что любая такая система, если она состоит из конечного списка аксиом, порождает новые утверждения, которые в рамках этой системы не поддаются доказательству. Но он задумывался о возможности существования бесконечной последовательности всё более обширных аксиоматических систем, способных решить любой вопрос.
РЭЧЕЛ АЛВИР, логик и преподаватель Университета Ватерлоо
Все мы слышали об общепринятом мнении, что Гёдель похоронил «Программу Гильберта» по полной формализации математики. Это распространённая интерпретация, поэтому я была потрясена, когда впервые прочитала оригинальные работы Гёделя. В своей статье 1931 года, в которой впервые были доказаны теоремы о неполноте, Гёдель прямо заявляет обратное: «Следует особо отметить, что предложение XI (и соответствующие результаты для M и A) не противоречат формалистической точке зрения Гильберта». В сноске он повторно подчёркивает, что неразрешимые теоремы из статьи 1931 года являются неразрешимыми лишь относительно одной системы. Истинность или ложность неразрешимых утверждений любой данной логической системы может быть математически доказана в более широкой логической системе.
Гёдель не имел никаких возражений против утверждения, что математика может доказать или опровергнуть любое правильно сформулированное утверждение. Скорее, Гёдель не соглашался с ограничительными методами Гильберта. Почему мы должны верить, что существует единственное, конечное множество аксиом, из которых любая истина вытекает за конечное число логических шагов? Гёдель считал, что можно переосмыслить понятие формальной математической системы или допустить существование альтернативных систем. Он часто говорил о бесконечной последовательности допустимых логических систем, каждая из которых мощнее предыдущей. На каждый правильно сформулированный математический вопрос можно было бы ответить в рамках одной из них.
Часто люди говорят так, будто проблема гипотезы континуума (CH) — это «неопровержимое доказательство», свидетельствующее о том, что иногда математические вопросы остаются без ответа. Однако, на мой взгляд, эта ситуация даёт весьма скудные основания полагать, что существуют «абсолютно неразрешимые» математические задачи в рамках любой допустимой системы. Это просто один из примеров утверждения, по которому на данный момент не принято окончательного решения, и само по себе оно не даёт никаких оснований предполагать, что его нельзя будет решить в будущем с помощью новых методов. По этому поводу ведутся обширные и непрекращающиеся дискуссии в самых глубинах математики и философии.
Самый важный аргумент, который я хочу выдвинуть, заключается в том, что математические результаты сами по себе не могут решить этот вопрос. Совсем не очевидно, что существуют математические вопросы, не имеющие ответа. Для меня теоремы Гёделя не доказывают, что математика ограничена, а скорее показывают, что математика гораздо шире и мощнее, чем финитистская точка зрения Гильберта.
Альвир далее пояснила, что существует несколько способов воплощения старой мечты о математической истине. Один из подходов мог бы заключаться в том, чтобы добавить к общепринятым аксиомам новую, которая бы подтверждала гипотезу континуума и при этом не приводила к каким-либо противоречиям. Другой подход — найти схему бесконечного множества аксиом, которая бы подтверждала гипотезу континуума и решала другие вопросы. Или мы могли бы перейти на логическую систему, отличную от стандартной, и в этой альтернативной логике решить проблему гипотезы континуума. («Моя личная любимая [логическая система] называется L-омега-1-омега», — сказала мне Альвир для тех, кто хочет изучить этот вопрос подробнее.) Или, возможно, ответ заключается в «чём-то совершенно новом», — добавила она, — «в поистине новаторском порыве творческого гения. … Мы постоянно придумываем радикально новые математические методы для решения задач. Почему же думать, что мы не сможем сделать то же самое для CH?»
Конечно, доказательство истинности или ложности CH не устранит всю неразрешимость.
Последнее слово я предоставлю коллеге (и супруге) Вяянянена.
ДЖУЛЬЕТТ КЕННЕДИ, философ математики и математический логик из Хельсинкского университета, редактор сборника «Интерпретируя Гёделя: критические эссе»
Легко утратить чувство удивления перед тем фактом, что столь очевидный набор аксиом — аксиомы Пеано для арифметики (набор правил, касающихся натуральных чисел 0, 1, 2, 3… и тесно связанных с системой, которую Гёдель использовал в своём доказательстве, например, правило: «У каждого числа есть преемник») — по сути неполон и неразрешим, а это означает, что все аксиоматизируемые согласованные расширения являются неполными и неразрешимыми. Сохраните это чувство удивления! Теоремы о неполноте учат нас, что когда речь заходит о нашей попытке овладеть концептуальным порядком — будь то в математике или, если на то пошло, в любой другой области, — мы всегда потерпим неудачу; и действительно, в данном случае больше, чем в любом другом, мы должны радоваться этой неудаче, ибо неудача явно оказалась более интересным и более глубоким результатом.
ссылка на оригинал статьи https://habr.com/ru/articles/1053594/