Наблюдатель как конечная структура различения

В формальных науках — математике, логике, теоретической физике, теории информации — наблюдатель часто появляется либо как нечто заранее данное, либо растворяется в формализме как набор переменных или граничных условий. Но что такое наблюдатель структурно? Какие минимальные требования должна удовлетворить модель, чтобы то, что она описывает, можно было читать как акт наблюдения?

Я предлагаю три рабочих требования.

Первое — позиционное. Различение и различаемое не должны совпадать. Если то, что различает, и то, что различается, слиты в одну точку, акт различения теряет содержание: нет двух позиций, между которыми можно провести границу. Это не значит, что наблюдатель обязан быть отдельным физическим субъектом или находиться вне сцены. Речь о том, что в самой структуре должно быть различие между ролью «то, относительно чего проводится различение» и ролью «то, что различается».

Второе — след. Если состояние системы после наблюдения совпадает с состоянием до него, наблюдение неотличимо от отсутствия наблюдения. Значит должно быть фиксируемое различие между «до» и «после». Условие минимальное: достаточно, чтобы это различие можно было распознать.

Третье — самозамкнутость. Если критерий различения опирается только на что-то внешнее, вопрос возвращается на шаг назад: что делает суждение внешнего арбитра актом различения? Если наблюдатель полностью вынесен за пределы сцены, которую наблюдает, возникает регресс: каждый наблюдатель требует следующего наблюдателя, наблюдающего за ним.

Ниже — попытка построить минимальную конечную toy-модель и посмотреть, какие комбинаторные формы появляются, если требовать позиционный зазор, след и самозамкнутость. Параллели с октаэдром, цветовым кубом и делителями стоит читать как совпадения внутри одной модели, а не как доказательства её универсальности.

Граница и первая структура различения

Сжатый разбор того, как из акта различения возникает структура, дал Джордж Спенсер-Браун в Laws of Form: провести различие, отделить одну сторону от другой. Одна возможная формальная тень этой операции — оператор отрицания NOT.

В двухэлементной системе NOT указывает единственную противоположную точку. Если атомарных состояний больше двух, «не-» уже не выбирает одну точку, а задаёт область дополнения. Поэтому чистая точечная противоположность впервые полностью реализуется именно в двоичной сцене: множество, на которое NOT действует как «точка в точку», разбивается границей ровно надвое.

Это даёт первый формальный объект — пару $P = \{a, -a\}$ и оператор инверсии между её сторонами.

Когда мы говорим о паре « и не-», мы видим две стороны. Но сама пара как структура содержит три элемента: две стороны и границу между ними. Граница не сводится ни к одной из сторон: она отделяет их и одновременно делает их сторонами одного целого. При переходе через неё сохраняется некоторый инвариант целого — то, что обе стороны проявляют как разные стороны одного. Меняется только знак.

Получается двойной образ. На уровне объекта различение двоично: две стороны, оператор NOT, инверсия знака. На уровне описания оно тройственно: две стороны и медиатор.

Удобный образ для такой связи — кольца Борромео: три кольца, попарно не зацепленные, но в тройке образующие связку, которая распадается при удалении любого одного. То же отношение видно сразу на двух уровнях: между тремя условиями наблюдателя и между двумя сторонами и границей в минимальной структуре различения.

Минимальный носитель

К этому моменту есть три связанных понятия.

Инвариант — то, что сохраняется как общее на обеих сторонах границы.
Двоичность — уровень самого акта разделения: пара $\{a, -a\}$ .
Троичность — структурный уровень описания этого разделения: две стороны и медиатор.

Один акт различения двоичен на уровне результата и тройствен на уровне собственной структуры. Но при минимальной двоичной структуре тройственная остаётся неявной: на самом носителе видна только пара. Чтобы тройственность стала наблюдаемой на уровне носителя, нужно большее число различений.

Если в системе независимых бинарных различений, конфигурация записывается как двоичная строка длины , а множество всех конфигураций — $\{0,1\}^n$ . Число назовём рангом сцены: это количество одновременно удерживаемых независимых актов различения.

В этой модели два состояния выделены отдельно. — конфигурация, в которой ни одно различение не активно: пограничный случай, где нечего различать. — конфигурация, в которой все различения активны одновременно: пограничный случай, где они слиты в одно сплошное состояние. Я буду трактовать эти состояния как предельные точки и определять активную сцену как носитель без них:

$X_n \;=\; \{0,1\}^n \setminus \{0^n,\ 1^n\}.$

При : носитель из двух точек, обе — полюса (0 и 1). После удаления активная сцена пуста.

При : четыре точки, две полюсные (00 и 11) и две внутренние (01 и 10). После удаления остаётся одна комплементарная пара.

При : восемь точек, две полюсные (000 и 111) и шесть внутренних:

$001,\ 010,\ 011,\ 100,\ 101,\ 110.$

Это первое количество вершин, на котором тройственность становится видна на самом носителе: появляются три независимые комплементарные пары и цикл, связывающий их между собой.

Шесть точек и три отношения

На шести точках расстояние Хэмминга принимает три ненулевых значения. Это даёт три естественных отношения.

соединяет точки, отличающиеся ровно на один бит. На это даёт цикл длины шесть:

$100 \to 110 \to 010 \to 011 \to 001 \to 101 \to 100.$

Это — первый цикл, в котором последовательность одношаговых переходов возвращается в исходную точку.

соединяет точки, отличающиеся на два бита. Шесть точек распадаются на две тройки: $\{100, 010, 001\}$ , где активна одна координата, и $\{110, 101, 011\}$ , где активны две. Внутри каждой тройки все точки связаны, между тройками связей этого типа нет. Это $K_3 \sqcup K_3$ — два непересекающихся треугольника.

соединяет точки, отличающиеся на все три бита. Каждая точка сцеплена со своим полным дополнением:

$\{100, 011\},\ \{010, 101\},\ \{001, 110\}.$

Это — три комплементарные пары.

Получается, что одна и та же сцена несёт три параллельных чтения: точки, комплементарные пары и треугольники, а сверх них — составные формы и $K_{2,2,2}$ . Эти три отношения исчерпывают все возможные пары различных точек шеститочечного носителя: каждая пара принадлежит ровно одному из них.

Различение здесь — не одно отношение, а согласованное многоканальное чтение одной конечной сцены.

Октаэдр

Объединение двух отношений, $R_1 \cup R_2$ , соединяет всё, кроме комплементарных пар. Структурно это полный трёхдольный граф $K_{2,2,2}$ : три доли по две точки, и любые две точки из разных долей соединены.

$K_{2,2,2}$ — это одномерный скелет октаэдра. Шесть точек , наделённые объединённым отношением $R_1 \cup R_2$ , становятся вершинами октаэдра.

При выбранном кодировании — двоичные координаты и отсечение двух полюсов — минимальная сцена с явной тройной связностью возникает при и имеет октаэдральное чтение. Октаэдр давно известен в комбинаторике, кристаллографии, теории Ли, теории кодов и других областях. Здесь интересен путь к нему: внутри одной toy-модели его скелет появляется естественно, без подгонки именно под этот объект.

Цветовая проекция

Та же структура отношений естественно проецируется на стандартный цветовой куб.

Если рассматривать RGB-куб в координатах , то 000 соответствует чёрному, а 111 — белому. Между ними проходит ахроматическая ось яркости. На ней нет цвета, но она задаёт диапазон яркости, в котором живут хроматические отношения.

Шесть оставшихся вершин куба — это три первичных цвета $\{R, G, B\}$ и три производных $\{C, M, Y\}$ . Тройка одиночных и тройка парных — это слои . Цикл становится стандартным циклом тонов:

красный → жёлтый → зелёный → циан → синий → маджента → красный.

Комплементарные пары — это оптические комплементы: красный и циан, зелёный и маджента, синий и жёлтый.

Если интересует насыщенная хроматическая сцена, чёрный и белый естественно вынести в статус пределов: 000 и 111 — состояния, в которых хроматическая информация исчезает. То, что остаётся после их удаления, — чисто хроматическое тело с тремя осями противоположностей и циклом тонов.

Есть и биологическая близость. Один из распространённых способов цветового зрения — трихроматия. У человека она реализована через три типа колбочек; в процессе обработки сигналы перекодируются в оппонентную схему — пары противоположных цветов плюс ахроматическая ось чёрный/белый.

Если процесс различения в своей минимальной устойчивой форме действительно имеет троичную сторону, то трёхкомпонентное цветовое зрение можно читать как естественную реализацию того же принципа: восприятие берёт линейный, непрерывный спектральный диапазон, выделяет в нём три частично перекрывающиеся области чувствительности и собирает из них цветовую сцену, где исходные каналы становятся устойчивыми противоположностями и циклом тонов.

Арифметическая проекция

Та же шеститочечная сцена возникает и в арифметике.

Возьмём три различных простых числа и образуем их произведение:

$N = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3.$

Собственные делители такого — исключая и само — это все произведения непустых и неполных подмножеств $\{p_1, p_2, p_3\}$ . Их ровно шесть: три одиночных простых и три парных произведения. Это та же шестёрка, что и .

Минимальный пример — число $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ с собственными делителями:

$\{2, 3, 5, 6, 10, 15\}.$

Тройка одиночных простых $\{2, 3, 5\}$ соответствует состояниям веса 1, тройка парных произведений $\{6, 10, 15\}$ — состояниям веса 2.

Отношение «отличаются на один простой множитель» даёт цикл:

$2 \to 6 \to 3 \to 15 \to 5 \to 10 \to 2.$

Отношение даёт два треугольника: одиночные простые против парных произведений. Отношение даёт три комплементарные пары вида $\{d, N/d\}$ :

$\{2, 15\},\ \{3, 10\},\ \{5, 6\}.$

Объединение $R_1 \cup R_2$ снова даёт $K_{2,2,2}$ — тот же октаэдр.

Это работает для любой тройки различных простых, не только для $\{2,3,5\}$ . Число 30 — наименьшее натуральное число, в котором структура реализуется, но сама структура — общее свойство бесквадратных произведений трёх простых.

Что получилось

В этой toy-модели наблюдатель можно понимать как способность конечной сцены удерживать инварианты различения: то, что остаётся распознаваемым при переходе между несколькими чтениями одной и той же структуры.

На шеститочечной сцене такими инвариантами становятся не только отдельные позиции, но и отношения между ними. Есть бинарный уровень — три комплементарные пары . Есть троичный уровень — две тройки . Есть циклический уровень — , который связывает две тройки чередованием веса. Есть октаэдральный уровень — $K_{2,2,2}$ , возникающий из объединения $R_1 \cup R_2$ .

Поэтому наблюдатель здесь — структура сохранения: сцена, в которой различия не только появляются, но остаются узнаваемыми как позиции, пары, тройки, циклы и более крупные формы.

Меня интересует, насколько такой ход кажется содержательным: действительно ли три исходных требования фиксируют нетривиальную конечную структуру различения, или это только переупаковка стандартной комбинаторики? И если первое, то насколько интересно проследить, что меняется на больших рангах: какие инварианты появляются при , как ведут себя отношения, какие ещё проекции подключаются?

Любая критика по делу — и по самому ходу, и по предполагаемому продолжению — будет полезной.

ссылка на оригинал статьи https://habr.com/ru/articles/1058448/