Ускорение падающей цепочки

Привет всем любителям физики и физических экспериментов! Рады видеть вас в блоге нашего некоммерческого образовательного проекта GetAClass. В этой статье ведущий наших видеороликов Андрей Щетников расскажет про ускорение падающей цепочки. А в конце материала, как всегда, будет вопрос «на подумать».

Наш проект полностью некоммерческий и живет только за счет донатов неравнодушных людей. Мы будем рады и вашей поддержке! Каждый донат помогает нам выпускать контент и выкладывать его в открытом доступе.

Цепочка и шарик: кто упадёт быстрее?

Проделаем эксперимент, о котором нам напомнил один из наших подписчиков. Состоит он в следующем: здесь у нас подвешена цепочка, а вместе с её свободным концом мы держим в руке стальной шарик. Мы одновременно отпускаем шарик и конец цепочки — и они падают вниз. Всё это происходит очень быстро, поэтому лучше посмотреть на опыт в замедленной съёмке.

Мы отпускаем цепочку и шарик: сначала конец цепочки и шарик падают рядом — но потом конец цепочки уходит вперёд. А это значит, что он движется с ускорением, бо́льшим ускорения свободного падения.

Посмотрим на кадры в момент полного распрямления цепочки. Если обозначить длину цепочки L, то шарик в этот момент прошёл расстояние 0,73L. Запомним это число.

В эксперименте мы отпускали шарик и конец цепочки рукой. Для исключения человеческого фактора мы сделали контрольный опыт в программе Algodoo.

Шарик и цепочка падают вниз, сначала идут вместе, потом конец цепочки уходит вперёд

На стоп-кадре мы видим, что путь, пройденный шариком, снова составляет 0,73 от длины распрямившейся цепочки.

Таким образом, результаты компьютерной симуляции совпадают с результатами натурного эксперимента — мы можем им вполне доверять.

И теперь нам надо объяснить: почему конец цепочки обгоняет шарик? Откуда берётся это дополнительное ускорение?

Откуда же берётся дополнительное ускорение?

Некоторые могут сказать, что конец цепочки движется вниз с ускорением больше g, потому что на него действует вес всех звеньев, которые находятся под ним. Но давайте сделаем контрольный эксперимент: возьмём цепочку покороче вместе с шариком и отпустим одновременно. На скоростной съёмке мы видим, что верхний конец цепочки и шарик движутся рядом — никто никого не обгоняет.

Как говорил ещё Галилей: все тела в отсутствие заметного сопротивления воздуха падают одинаково, с одним и тем же ускорением g. А следовательно, если конец цепочки приобретает при падении дополнительное ускорение, то это связано не напрямую с силой тяжести, а с какой-то дополнительной силой, которая сообщает ему это ускорение.

И эта сила связана с нижней частью цепочки и с тем, что в ней останавливаются звенья, которые раньше падали вниз. А чтобы найти величину этой силы, нам будет удобно сделать следующий трюк: представим себе, что с цепочкой опускается невесомый блок — обычный подвижный блок. Если конец цепочки движется вниз со скоростью v, то сам блок движется вниз с половиной скорости, v/2.

А теперь делаем следующую часть этого трюка: будем описывать всё с точки зрения наблюдателя, опускающегося вместе с блоком. Для него блок неподвижен, правая часть цепочки прокручивается и уходит вниз, а левая часть, наоборот, уходит вверх. И всё это происходит со скоростью v/2.

А теперь найдём силу, с которой цепочка действует на блок: по третьему закону Ньютона, блок действует на цепочку с такой же силой — она равна изменению импульса цепочки за единицу времени.

Во-первых, нам надо знать массу, которая прокручивается через блок — массовый расход ṁ. Он равен линейной плотности цепочки ρ, умноженной на скорость цепочки v/2.

$\dot {m}= \rho \cdot \frac{v}{2}$

Как мы уже писали: правая часть цепочки идет вниз со скоростью v/2, а левая идёт вверх со скоростью v/2. Изменение скорости звеньев при развороте на блоке равно v.

Значит, сила, действующая на блок со стороны цепочки и на цепочку на стороны блока, равна:

$F_{\text{блока}} = \dot {m} \cdot \Delta v = \rho \frac{v}{2} \cdot v = \frac{\rho v^2}{2}$

Эта сила распределяется на обе части цепочки. А если мы хотим найти силу, действующую только на падающую половинку цепочки, то должны разделить ее ещё раз пополам. Сила найдена:

$F=\frac{F_{\text{блока}}}{2}=\frac{\rho v^{2}}{4}$

А теперь вопрос: какую массу разгоняет эта сила?

Вернёмся в лабораторную систему: правая часть цепочки движется вниз, её масса равна линейной плотности ρ, умноженной на z/2:

$m=\rho \cdot \frac{z}{2}$

Буквой z мы обозначили расстояние от конца цепочки до точки, где цепочка полностью выпрямляется:

Напомним, что нас интересовало дополнительное ускорение, которое приобретает правая часть цепочки, помимо ускорения g. Обозначим это дополнительное ускорение буквой a — и оно равно найденной нами силе, поделённой на массу движущейся части цепочки.

$a =\frac{F}{m}=\frac{\frac{\rho v^{2}}{4}}{\frac{\rho z}{2}}=\frac{v^{2}}{2z}$

Уравнения движения и проверка теории

С физикой мы разобрались, а дальше начинается сплошная математика, которую здесь подробно разбирать не будем. После некоторых не слишком сложных, но утомительных преобразований мы получили следующие дифференциальные уравнения движения.

Посмотрим на второе дифференциальное уравнение, а точнее — на второе слагаемое.

В знаменателе стоит z, то есть насколько длинный конец цепочки ещё падает вниз. И чем меньше z, тем больше это слагаемое — ускорение при распрямлении цепочки стремится к бесконечности.
Более того, здесь ещё стоит v², и если мы проинтегрируем эти уравнения, получим выражение (написано красным) для v² — оно тоже содержит член L/z, который также стремится к бесконечности, и v² тоже стремится к бесконечности.

Значит, поворот цепочки движется всё быстрее и быстрее, а масса движущейся части становится всё меньше и меньше. Отсюда и возникает этот финальный хлёст цепочки, когда она распрямляется очень быстро. Именно на последнем этапе движения она и уходит от шарика.

После очередных интегрирований мы получаем, что время, за которое цепочка полностью распрямится, равняется:

За это же время τ свободно падающий шарик, двигаясь исключительно с ускорением g, успевает пролететь расстояние S:

$S=\frac{g\tau ^{2}}{2}=\frac{g}{2}\cdot \left(1,198\cdot \sqrt{\frac{L}{g}}\right)^{2}=\frac{1,198^{2}}{2}\cdot L\approx 0,718L\approx 0,72L$

Получили 0,72L. В эксперименте, как мы помним, получалось 0,73L — и тем самым мы получили прекрасное согласие теории с экспериментом.

Вопрос от Андрея Щетникова

А теперь мы сделаем еще один опыт: на конце цепочки мы подвесил шайбу массой 2,5 г на капроновой нити.

А эта капроновая нить выдерживает груз массой 2,5 кг, убедитесь сами:

А теперь мы устанавливаем цепочку в стартовое положение и отпускаем — и шайба оторвалась, перервав ниточку, стало быть там было развито ускорение в 1000g. Откуда же берется такое большое ускорение? Пишите в комментариях!

К сожалению, Андрей Иванович физически не успевает отвечать на комментарии на всех площадках GetAClass. Поэтому под этой статьей предлагаем вам обсудить парадокс изогнутой трубы друг с другом, а если вам хочется поговорить напрямую с Андреем Ивановичем, тогда милости просим в наше сообщество на YouTube!

Видео, на основе которого подготовлен этот материал:

ссылка на оригинал статьи https://habr.com/ru/articles/1059020/