Философия комплексной плоскости: почему и зачем i2 = -1

Комплексные числа — замечательный объект изучения и незаменимый инструмент. До конца XVIII века им отказывали в праве на существование, называя «воображаемыми» или даже «невозможными», но признавали их пользу для расчетов (уравнения степени 3 и выше). Затем появилась геометрическая интерпретация, позволившая представить комплексное число. Наконец, они нашли отображение в физических процессах (цепи переменного тока, электродинамика, теория относительности и др.), и вопрос о том, реальны ли мнимые числа, получил утвердительный ответ.

Однако принятое введение комплексных чисел кажется неполноценным. Как правило, постулируется существование как числа, квадрат которого равен и с которым можно работать, как с обычной числовой переменной. Совершенно неясно, с чего вдруг нам приспичило извлекать корни из отрицательных чисел (решение кубических уравнений — это классно, но не столь сногсшибательно, чтобы выстраивать целую теорию), и тем более непонятно, почему сама вселенная недвусмысленно намекает на необходимость такой операции ее физическими проявлениями и математической красотой.

В статье покажу, почему введение той мнимой единицы, которая знакома нам, было единственно верным шагом в развитии числового множества.

Памятка обозначений

$\mathbb{N}$ — натуральные числа
$\mathbb{Z}$ — целые числа
$\mathbb{Q}$ — рациональный числа
$\mathbb{R}$ — действительные числа
$\mathbb{C}$ — комплексные числа

Что не так в принятом подходе

Как обыкновенно преподносятся мнимые числа? Учебники дают краткую историю их появления. В математических дуэлях рождается метод решения кубических уравнений — формула Кардано‑Тартальи. Иногда она требует взятия квадратного корня из отрицательного числа, который далее сокращается, и формула дает вещественный результат.

Решение, содержащее, на первый взгляд, бессмысленную операцию, приводит к верному ответу. Резонный вопрос: «А может, не такая уж она и бессмысленная?» заставляет математиков начать ее изучение, дополнив $\mathbb{R}$ новыми элементами.

Волшебным образом обнаруживается, что новое числовое множество обладает громадным потенциалом. Геометрическое изящество, алгебраическая стройность, непосредственная связь с физическим миром — все это присуще структуре, возникшей из непонятной идеи. Может быть, стоит разрешить деление на ноль и ожидать подобных успехов? Или определить $\arcsin(67)$ ? Чем фантомный корень из отличается от других, несуществующих на действительной оси значений?

Учебник Зорича сравнивает появление $\sqrt-1$ при переходе от вещественных чисел к комплексным с появлением $\sqrt2$ при переходе от рациональных к вещественным. Мол, такие расширения позволяют решать более сложные уравнения, в данном случае вида $\mathbb{R}$ позволили решать его для всех положительных а $\mathbb{C}$ — для всех действительных (и не только). Эта аналогия делает нововведение более логичным, особенно если совместить ее с основной теоремой алгебры.

Но и это сравнение не обосновывает комплексную природу. Почему при таком переходе от числовой прямой к числовой плоскости сохраняются все основные свойства (кроме, разве что, упорядоченности)? Это просто удачное совпадение? Тогда можно ли построить принципиально другую структуру, также сохраняющую их?

Оказывается, нельзя. Вашему вниманию представляю доказательство.

Путь числа

Почему множество чисел расширялось? Бытовая необходимость в счете предметов привела к натуральным числам. Рациональные числа позволили работать с частями целого, отрицательные — вычитать, а действительные описали вообще все ощутимые величины. Так или иначе, появление новой структуры имело прикладное значение.

Но давайте посмотрим на развитие чисел с другого, геометрического ракурса. $\mathbb{N}$ — точки на прямой, расположенные на одинаковом расстоянии друг от друга и ограниченные с одной стороны. $\mathbb{Z}$ убирают это ограничение, распределив числа в обоих направлениях. $\mathbb{Q}$ делают множество чисел всюду плотным: в нем нельзя увидеть дыр между элементами. $\mathbb{R}$ же заполняют «невидимые» пробелы, отождествляя числовое множество с прямой.

Стоп, снято. Прямая раскрашена полностью, появление новых чисел в ее рамках попросту невозможно. Но подобно самураю, у числа нет цели, только путь. Логично предположить, что дальнейшее расширение числового множества откроет новые возможности, так же, как и каждый шаг в заполнении числами прямой. А наиболее простое и закономерное продолжение одномерного пространства, когда его потенциал исчерпан, — это плоскость.

Ключевая идея заключается в том, чтобы видеть в комплексной плоскости не одну из возможных интерпретаций $\mathbb{C}$ и не следствие их алгебры, а благодатную почву для их развития.

Рождение

Итак, наша цель — описать структуру, представляемую в виде плоскости. Кроме того, нужно наделить ее чертами гордого числового множества. Начнем с первого пункта.

В оформлении плоскости как математической структуры нам поможет аналитическая геометрия. Проще всего представить точку на плоскости — наше будущее число — в виде двумерного вектора с действительными координатами. Обозначим соответствующие им базисные векторы как и Базис, разумеется, здорового человека, то бишь ортогональный.

Вспомним о некоторых правилах построения новых числовых структур. Каждая следующая структура всегда включает предыдущую, причем в неискаженном виде, и новые числа не должны стать исключением. Следовательно, на плоскости должна найтись прямая, соответствующая множеству $\mathbb{R}$ . Лучше всего подойдет одна из координатных осей, например, A‑ось. Такой выбор, во‑первых, сделает весьма простым обозначение всех действительных чисел — , а во‑вторых, отождествит (действительное число) с началом координат

Таким образом, новое число по сути является сочетанием (лат. complexus) двух компонент. Первая компонента — координата по действительной А‑оси. Назовем ее действительной. Вторая компонента — нечто, не существующее в рамках вещественных чисел, ортогональное им. Назовем ее мнимой. А изобретаемые числа, как нетрудно догадаться, назовем комплексными.

Чтобы не путаться, я буду обозначать действительные числа буквами а иные комплексные —

С обозначением новых чисел разобрались. Впереди самое интересное — арифметика!

Становление

Алгебра чисел опирается на две операции: сложение и умножение. Они определены для всех числовых множеств, начиная с $\mathbb{N}.$ Однако права натуральных чисел жестко ограничены: уравнения вида имеют решения только при Это означает, что структура позволяет вычитать — то есть находить одно слагаемое при известных сумме и другом слагаемом — далеко не всегда.

Эту проблему решают $\mathbb{Z}.$ В них уравнение вида гарантированно имеет решение, то есть для любых целых и число также является целым.

Аналогично $\mathbb{Q}$ решают проблему деления в $\mathbb{Z}.$ В $\mathbb{R}$ и сложение, и умножение обратимы, то есть операции вычитания и деления всегда доступны (исключение — деление на ноль). Такие структуры называются полями, а описывающие их утверждения — аксиомами поля.

Чтобы наделить числовой сущностью двумерные векторы, нужно сделать их полем, а значит, правильно определить сложение и умножение.

Сложение

Здесь все просто. Стандартное сложение векторов, при котором складываются их соответствующие координаты, прекрасно удовлетворяет аксиомам сложения, а именно:

Коммутативность: Следует из коммутативности сложения в R.
Ассоциативность: Следует из ассоциативности сложения в R.
Наличие :
Наличие противоположного элемента : Для каждого вектора таковым является противонаправленный вектор такой же длины. Именно это свойство позволяет вычитать.

Помимо прочего, такое сложение корректно работает для действительного подмножества $\mathbb{C}$ :

Умножение

А здесь становится веселее. Что мы знаем об умножении векторов? На ум приходят две операции: скалярное произведение и векторное произведение.

Проблема скалярного произведения кроется в названии: его результат — число, а не вектор $(\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}).$ Умножение же должно быть замкнутым, то есть отображать два двумерных вектора в третий двумерный вектор $(\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2).$ Векторное произведение тоже не подойдет, так как дает трехмерный вектор $(\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3).$

Стало быть, нам придется изобрести свое умножение , обладающее всеми «полевыми» свойствами:

Коммутативность:
Ассоциативность:
Наличие :
Наличие обратного элемента $\frac{1}{u} \; (u \ne 0)$ : $u*\frac{1}{u} = 1.$ Позволяет делить.
Дистрибутивность: Это требование связывает умножение со сложением и одновременно разделяет их, лишая полной симметрии.

Первые два свойства часто применяются в дальнейших выкладках.

Вообще говоря, некоторые комплексные числа уже можно перемножать. Умножение вектора на скаляр определено: это растяжение/сжатие (и разворот, если множитель отрицательный). А скаляр — это элемент $\mathbb{C}$ вида Умея складывать и умножать на скаляр, можем разложить комплексное число по базису:

Вспомним, что лежит на $\mathbb{R}$ ‑оси, а значит, является действительным числом. Формально, мы вольны присвоить ему любое действительное значение, кроме нуля — векторы и останутся линейно независимыми. Однако единственный адекватный вариант — единица, иначе вектор не будет обозначать число что бессмысленно. Потому положим

Теперь можно вообще упразднить, потому что

Алхимия

Попробуем разработать механизм умножения произвольных и Пусть известны:

$\begin{aligned} u = a + bi \\ v = c + di \end{aligned}$

Мы не знаем в точности, как работает , однако оно гарантированно дистрибутивно. Поэтому:

$\begin{aligned} u*v &= u*(c + di) \\&= u*c + u*di \\&= (a + bi)*c + (a + bi)*di \\&= ac + bci + adi + bdi^2 \\&= ac + (ad + bc)i + bdi^2 \end{aligned}$

Изучим получившееся выражение. Первое слагаемое — это произведение действительных чисел. Его результат — известный вектор на действительной оси.

Второе слагаемое — это произведение скаляра и базисного вектора. Его результат — известный вектор на мнимой оси.

Третье слагаемое туманно. Что такое (оно же )? Мы пока не умеем перемножать мнимые векторы. Известно лишь, что это некое комплексное число (потому что замкнуто в $\mathbb{C}$ ):

Если бы мы знали, чему равно , то было бы определено как сумма трех известных векторов. Получается, нам остается задать и , чтобы определить . Магия дистрибутивности!

Что есть i2?

Отвечая на этот вопрос, вновь обратимся к аксиомам поля. В самом деле, для произвольного ненулевого уравнение должно иметь таки одно решение. Что это может сказать об Да практически все!

Имеем:

$\begin{cases} u = a + bi \\ x = c + di \end{cases} \implies u*x = ac + (ad+bc)i + bdi^2$

Так как :

$\begin{align} u*x &= ac + (ad + bc)i + bd(p + qi) \\&= (ac + bdp) + (ad + bc + bdq)i \end{align}$

Тогда уравнение принимает вид:

Векторы равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты, поэтому:

$\begin{cases} ac + bdp = 1 \\ ad + bc + bdq = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} ac + bpd = 1 \\ bc + (a+bq)d = 0 \end{cases}$

Шустрыми преобразованиями мы перешли к полностью действительной системе, безо всякой «мнимости» и звездочек. Задача: найти и , при которых система имеет ровно одно решение вне зависимости от и . То есть ее определитель никогда не равен нулю:

$a(a + bq) - b^2p \ne 0 \iff a2 + qba - pb^2 \ne 0$

Для неравенство выполнено всегда, так как равенство нулю одновременно и невозможно по условию $(u \ne 0)$ .

Для остальных :

$(\frac{a}{b})^2 + q\frac{a}{b} - p \ne 0$

Квадратный трехчлен относительно $\frac{a}{b}$ не имеет корней, когда дискриминант отрицателен:

Вот оно, итоговое ограничение на

Область, ограниченная параболой: q2 + 4p < 0. — Область, ограниченная параболой: q²+ 4p < 0.

Любое значение из выделенной области обеспечит существование и единственность для любого $u \ne 0$ . Дистрибутивное умножение станет еще и обратимым, и формирование $\mathbb{C}$ как поля завершится. Однако теперь выбор кажется очевидным:

Область допустимых значений симметрична относительно $\mathbb{R}$ ‑оси. Если выбрать, скажем, , то возникнет вопрос: а почему не ? Если же вектор лежит на оси, у него нет такой пары.
может быть любым действительным числом, простейший вариант может быть любым отрицательным числом, простейший вариант

Постфактум правильность выбора подтверждается уникальными геометрическими свойствами, которые получает умножение:

$\begin{align} &|u*v| = |u||v| \\&arg(u*v) = arg(u) + arg(v) \end{align}$

При умножение комлпексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Можно показать, что свойство модулей вообще не выполняется при иных значениях (возможно, этому будет посвящена следующая статья). Хотим удобное и эстетичное произведение — берем

На самом деле, использование другого вектора из ОДЗ в качестве не внесет принципиальных изменений. Во всех конфигурациях найдется элемент, квадрат которого равен (доказательство оставляем читателю в качестве несложного упражнения:). Просто он не будет базисным вектором. Усложнятся расчеты и восприятие $\mathbb{C}$ , но перед нами будет та же комплексная плоскость с точностью до одного линейного преобразования.

Итог

Я хотел продемонстрировать, что корень из — не только не случайное дополнение действительных чисел, но и логичный эволюционный шаг. Числовая плоскость требует ровно такой элемент на роль базисного вектора, а не просто некую невозможную в $\mathbb{R}$ операцию. В некотором смысле, богатство комплексного мира и его сопряженность с физикой объясняется именно тем, что это единственная полноценно числовая двумерная структура. Нам кажется естественной способность действительных чисел объяснять реальный мир. Так почему же нас должны удивлять возможности их комплексных потомков?

Предлагаю вам альтернативный взгляд на само сакральное тождество Воспринимайте его не как определение , а как определение умножения в комплексных числах. Вместе с дистрибутивностью оно играет именно эту роль. А — просто базисный вектор.

ссылка на оригинал статьи https://habr.com/ru/articles/1064912/