Секреты уравнения Эйнштейна

Всем привет. Добро пожаловать на подкаст Mindscape. Я ваш ведущий Шон Кэрролл. Возможно, когда вы слышите выражение «уравнение Эйнштейна», вы думаете о , но это не оно. Физики называют уравнением Эйнштейна совсем другое уравнение. Уравнение Эйнштейна в общей теории относительности связывает кривизну пространства-времени с количеством энергии и импульса во Вселенной. То есть это уравнение общей, а не специальной теории относительности. Оно говорит нам, как работает гравитация в искривленном пространстве-времени. А математика, необходимая для его понимания, уже немного более продвинутая — по математическим меркам она действительно считается довольно сложной. В подкасте я не могу показывать вам уравнения и даже рисовать схемы, поэтому мы не будем подробно разбирать, что означает каждый символ. Но я все равно постараюсь придерживаться общего замысла и действительно объяснить, что происходит. Хотя мы не станем выводить уравнения или подробно разбирать формулы, с помощью которых определяются все эти величины, я постараюсь как можно точнее объяснить словами, что именно они означают. Этим мы сегодня и займемся, а в конце доберемся до главного результата — поймем, почему мы считаем, что существуют черные дыры, и как решение уравнения Эйнштейна приводит нас к объектам, появления которых никто не ожидал, когда Эйнштейн и его коллеги впервые начали размышлять над этими вопросами.

Так что в конце нас действительно ждет содержательный результат, и я надеюсь, вы дослушаете выпуск до конца и все это станет хотя бы немного понятнее. Надеюсь, у вас появится более глубокое понимание, чем было бы без такого разбора. Ну что ж, приступим.

Уравнение Эйнштейна и

Наша сегодняшняя задача, которую мы сами себе поставили, — разобраться в секретах уравнения Эйнштейна. И, как я уже говорил, это не , а уравнение общей теории относительности. Если вам интересно, как оно выглядит: . И если вы дослушаете подкаст до конца, то будете понимать, что это означает, даже если сейчас эта запись кажется совершенно непонятной. Хотя «секреты уравнения Эйнштейна» — пожалуй, не самое точное название, потому что никакого секрета тут, конечно, нет. Уравнение Эйнштейна очень легко найти, никто не пытается от вас его скрыть. Но на практике оно действительно выглядит как нечто секретное, потому что, если вы не изучали достаточно много физики и математики, то слышите что-то вроде и думаете: «Это просто какая-то бессмыслица, я вообще не понимаю, что здесь написано». А вот с , уравнением, которое возникло из сформулированной Эйнштейном в 1905 году специальной теории относительности, все немного проще. По крайней мере можно спросить: «А что означают эти буквы?» И вам ответят: — энергия, — масса, — скорость света, а квадрат означает, что скорость света нужно умножить саму на себя.

Итак, энергия равна массе, умноженной на квадрат скорости света: . Но здесь есть важная тонкость. Физики, говоря об этом уравнении, понимают, что речь идет о конкретном виде энергии — энергии покоя. Это не кинетическая энергия. У объектов могут быть и другие виды энергии. Мы знаем, что движущийся объект обладает кинетической энергией, а в уравнении вообще ничего не говорится о движении. Смысл этого уравнения в том, что объект, находящийся в покое, то есть не движущийся, обладает определенной внутренней энергией. При этом речь также не идет о потенциальной энергии, связанной, например, с высотой над землей, электрическим зарядом объекта или чем-либо подобным. Но, несмотря на все эти оговорки, понять смысл уравнения вполне можно. В конце концов, здесь всего лишь несколько величин, которые перемножаются друг с другом — разве это может быть так сложно? Кстати, когда я говорю подобные вещи, я понимаю, что немного утрирую. Даже уравнения, состоящие только из величин, которые нужно перемножить, вполне могут оказаться сложными. Я это прекрасно понимаю. Я просто шучу над нашей условностью, к которой еще не раз буду возвращаться: мы делаем вид, будто эти уравнения простые, хотя на самом деле для их понимания все же требуется некоторое усилие.

Но я придерживаюсь той точки зрения, что для этого вовсе не требуется какое-то неограниченно большое количество усилий. В конце концов, это всего лишь уравнение. Есть уравнения, смысл которых совершенно прозрачен. Когда вы говорите , я не думаю, что у многих людей возникают серьезные трудности с пониманием того, что это означает. И моя позиция здесь такова: если вы способны понять , то способны понять и . И, если уж на то пошло, способны понять и .

Между ними нет принципиальной разницы — различие лишь в степени сложности, абстрактности и общности тех явлений, которые они описывают. Нет какого-то непреодолимого барьера, из-за которого одним людям якобы просто не дано понимать подобные уравнения. Я решительно отвергаю такую мысль, по крайней мере применительно к большинству людей. Конечно, если человек получил тяжелую травму или, скажем, находится в коме, тогда, возможно, это действительно невозможно. Но я думаю, что почти любой обычный человек, которого вы встречаете в повседневной жизни и с которым разговариваете, при желании способен понять, о чем говорит уравнение Эйнштейна. Именно эта идея лежит в основе всей серии книг «Самые большие идеи во Вселенной» (The Biggest Ideas in the Universe). В ней мы разбираем множество тем, предшествующих теории относительности: Ньютона, пространство, время, силу, энергию и все остальное, что в итоге приводит нас к общей теории относительности в конце книги. Итак, давайте разберемся, зачем нам вообще нужно это другое уравнение. Если относится к специальной теории относительности, которую Эйнштейн сформулировал в 1905 году, то относится к общей теории относительности, созданной им в 1915 году.

Различие между ними — и здесь иногда ошибаются даже профессиональные физики — состоит в том, что специальная теория относительности не включает гравитацию. Вот и все. Именно в этом разница. Иногда можно услышать, будто специальная теория относительности описывает только частицы, движущиеся без ускорения, а для ускоренных частиц уже необходима общая теория относительности. Это совершенно неверно. Общая теория относительности — это теория гравитации. Специальная теория относительности утверждает, что пространство и время являются частями единого четырехмерного пространства-времени, а скорость света представляет собой абсолютный предел скорости в этом пространстве-времени. Вот что такое специальная теория относительности. И в принципе в ее рамках можно описывать сколько угодно других взаимодействий. Электромагнетизм прекрасно согласуется со специальной теорией относительности и, более того, исторически послужил одним из главных источников вдохновения для ее создания. Электромагнетизм в современном виде сложился в середине XIX века благодаря Максвеллу, Фарадею и другим ученым. Тогда стало понятно, что электромагнетизм в формулировке Максвелла обладает набором симметрий, отличным от того, которого можно было бы ожидать на основе ньютоновской механики. Попытки понять природу этих симметрий и то, как они объединяют всю картину, в конечном счете привели ученых, в том числе Эйнштейна, к созданию специальной теории относительности.

На самом деле Эйнштейн лишь поставил завершающую точку в долгом процессе, который к этому привел, а было небольшим побочным результатом, своего рода бонусом. Затем следующие десять лет, с 1905 по 1915 год, Эйнштейн размышлял над тем, как включить гравитацию в рамки специальной теории относительности. Оказалось, что это гораздо сложнее, чем он ожидал, и именно эту историю мы сегодня и расскажем. Наверное, хорошей отправной точкой будет гравитация до Эйнштейна. Все вы слышали об Исааке Ньютоне: якобы с дерева упало яблоко, он заметил его, и это подтолкнуло его к открытию закона всемирного тяготения.

Но, конечно, о гравитации знали и до Ньютона. Исаак Ньютон не изобрел гравитацию, и представлять эту историю именно так не стоит. Более того, судя по всему, рассказ о падающем яблоке распространял сам Ньютон. Это было частью того, как он создавал и укреплял собственный образ, и ему было очень важно, чтобы окружающие признавали авторство его гениальных идей. А исторический контекст конца XVII века был таким: ученые пытались понять, почему планеты Солнечной системы движутся по эллипсам. Кеплер уже очень успешно описал движение планет с помощью эллиптических орбит, но по сути это оставалось эмпирической догадкой: «Хорошо, допустим, они движутся по эллипсам». Не было фундаментального механизма, объясняющего, почему это должно происходить. Многие уже понимали, что гравитация, вероятно, имеет к этому отношение. Более того, было известно, что можно предположить закон, согласно которому сила тяготения уменьшается с расстоянием как величина, обратно пропорциональная квадрату расстояния, то есть закон обратных квадратов. Эта идея тоже не принадлежала исключительно Ньютону. Ньютон сделал две ключевые вещи. Во-первых, он показал, что гравитацию можно понимать как универсальное взаимодействие. Именно в этом смысл истории с яблоком. Не в том, что «ага, существует сила, тянущая яблоки вниз» — это и так было известно.

Смысл заключался в том, что один и тот же физический закон, закон всемирного тяготения Ньютона, способен объяснить и падение яблок с дерева, и движение планет вокруг Солнца. Во-вторых, Ньютон не просто предположил, что закон обратных квадратов может объяснить движение планет, а строго это вывел и провел необходимые вычисления. Вот это уже совершенно однозначно было его собственным вкладом. И, конечно, он сделал еще одну вещь: создал классическую механику, без которой такой вывод был бы невозможен. Итак, вот наш контекст: XVII век, Исаак Ньютон. В своей книге «Математические начала натуральной философии» (Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica) он сформулировал закон всемирного тяготения и вывел законы движения планет в рамках своей теории классической механики. Эта теория оказалась настолько успешной, что начиная с XVII века люди фактически принимали как само собой разумеющееся, что она абсолютно верна и останется такой навсегда. Лишь в XIX веке, с появлением первых идей, ведущих к теории относительности, а затем в XX веке, с расцветом теории относительности и созданием квантовой механики, ньютоновская картина мира была по-настоящему пересмотрена.

Второй закон Ньютона

Классическая механика — отличная отправная точка, чтобы немного подготовиться к теории относительности и уравнению Эйнштейна. Классическая механика — довольно тонкая теория, о которой написано множество книг, но есть одно уравнение, которое знать важнее всего остальных. Преподаватели физики шутят, что если вы знаете , то перед экзаменом вам, в сущности, больше ничего знать не нужно — все остальное можно вывести из . Уравнение даже важнее, гораздо важнее, чем . — это второй закон Ньютона. Первый закон просто говорит: если на объект не действуют никакие силы, он будет двигаться по прямой. А второй закон отвечает на вопрос: что произойдет, если на объект все-таки действует сила? Ответ: он начнет двигаться с ускорением.

Это вполне логичная и разумная идея: если вы толкаете какой-то объект, то есть прикладываете к нему силу, его скорость начнет меняться — он будет ускоряться. И столь же естественно предположить, что ускорение зависит от массы объекта. Представьте две коробки, стоящие на полу, и вы толкаете их с одинаковой силой. Если одна коробка пустая и поэтому имеет сравнительно небольшую массу, та же самая сила разгонит ее гораздо быстрее, чем тяжелую коробку, набитую книгами или чем-нибудь подобным.

Я говорю это не только потому, что недавно переехал через всю страну и у меня было множество книг… множество коробок, набитых книгами. В последнее время мне довелось буквально на собственном опыте прочувствовать второй закон Ньютона. Итак, вполне имеет смысл: чем больше сила, тем больше ускорение, а коэффициент пропорциональности связан с массой. Именно поэтому это уравнение так замечательно: сила равна массе, умноженной на ускорение. Сила, приложенная к объекту, равна его массе, умноженной на его ускорение. Или, если вам удобнее, можно разделить обе части уравнения на массу и записать . Тогда ускорение, которое приобретает объект, равно приложенной к нему силе, деленной на его массу. И я хочу, чтобы вы обратили внимание на две вещи в уравнении , то есть во втором законе Ньютона. Это настоящее уравнение. Поэтому оно прекрасно подходит в качестве отправной точки, чтобы понять, почему уравнения настолько важны для физики. Это почти тот вопрос, который мы обычно даже не задаем, но давайте все-таки над ним задумаемся.

И первое важное свойство этого уравнения состоит в том, что оно точно. Казалось бы, это само собой разумеется. Но нельзя просто перевести в слова как что-то вроде: чем сильнее вы толкаете объект, тем быстрее он будет ускоряться. Да, уравнение действительно это утверждает, но оно говорит нечто гораздо более точное и количественное. Оно не просто говорит: больше сила — больше ускорение. Оно говорит, что если сила увеличивается в два раза, то ускорение увеличивается ровно в два раза. Именно это означает пропорциональность. можно считать одной переменной — это сила, которая может принимать разные значения в зависимости от того, насколько сильно вы толкаете объект. , ускорение, тоже будет меняться в зависимости от приложенной силы. А для наших нынешних целей давайте считать массу просто фиксированной величиной. Тогда говорит нам, что при изменении величина меняется вместе с ней в строгом соответствии. Они всегда связаны одной и той же величиной . Всегда выполняется . Именно в этом смысле сила и ускорение пропорциональны друг другу.

Второе важное свойство этого уравнения — его универсальность. Оно применяется снова и снова. Оно верно не только для конкретной коробки с книгами, а для любой коробки, с книгами или без них, где угодно во Вселенной. То есть оно не просто утверждает: я приложил к этой коробке определенную силу, и она получила определенное ускорение. Оно говорит: всякий раз, когда вы прикладываете силу к любому объекту, он начнет ускоряться, причем величину этого ускорения можно вычислить. Для этого нужно взять силу и разделить ее на массу: .

И это уже не столько свойство самого уравнения как математического выражения, сколько следствие того, что это уравнение является законом физики. Именно поэтому законы физики настолько могущественны: они представляют собой строгие количественные соотношения между различными физическими величинами во Вселенной, которые выполняются снова и снова. Легко увидеть, насколько это важно. Движение Сатурна вокруг Солнца можно объяснить так: на Сатурн действует сила — гравитационная сила со стороны Солнца, — и именно она объясняет, почему Сатурн не движется по прямой. Зная, как он ускоряется, мы можем определить его движение, и оказывается, что ускорение приводит его к движению по орбите, более или менее имеющей форму эллипса. То же самое верно для всех остальных планет и вообще для всех объектов Солнечной системы в той мере, в какой применима ньютоновская физика. Поэтому — прекрасное уравнение и одновременно прекрасный пример закона физики. Но в нем есть одна тонкость, которую легко было бы пропустить, если бы вы читали только научно-популярную книгу, состоящую в основном из слов.

Векторы и компоненты

Но раз уж мы здесь действительно работаем с уравнениями, эту тонкость нужно разобрать. Если записать правильно, то над буквой будет маленькая стрелка, и такая же стрелка будет над буквой . А над стрелки нет. То есть настоящее уравнение выглядит так: . Что это означает? Дело в том, что величины, входящие в это уравнение, устроены по-разному. , масса объекта, который вы толкаете, — это просто число, одна определенная величина. Например, килограмма или сколько там. А вот и , сила и ускорение, — это векторы. У них есть не только величина, то есть насколько велика сила или ускорение, но и направление.

Если погрузиться в довольно абстрактный мир серьезного математического мышления, то вектор вы будете воспринимать просто как вектор. Это звучит не слишком содержательно, но смысл в том, что вектор — самостоятельный геометрический объект со своей внутренней структурой. Вы не обязаны выражать его через что-то другое, а просто рассматриваете его как вектор сам по себе. Но сегодня мы с вами будем действовать как практичные физики и спрашивать: хорошо, а как этим пользоваться? Нам нужны числа, которые можно подставлять в вычисления, а не только абстрактное понятие. И тогда мы представляем вектор как набор его компонент. Это уже действительно тонкий шаг. До этого момента почти все, что я говорил, должно было казаться вполне очевидным и, возможно, даже немного скучным. Но идея компонент вектора — тонкая и важная, и совсем скоро мы ее обобщим.

Поэтому я хочу, чтобы эта идея хорошо уложилась в голове. Поскольку у вектора есть не только величина, но и направление, записать его не так просто, как массу, которая может быть просто равна, скажем, килограммам. Нужно каким-то образом указать и величину, и направление. Сделать это можно по-разному, но один из самых простых и удобных способов — ввести систему координат. И это тоже не совсем тривиальный шаг, поэтому я не хочу делать вид, будто здесь нет ничего особенного. Но, надеюсь, выражение «ввести систему координат» звучит достаточно понятно. Вы выбираете некоторую точку пространства и называете ее началом координат, а затем проводите координатные оси, например , и . Ось может идти слева направо, — вперед и назад, а — вверх и вниз. Это три взаимно перпендикулярных направления в пространстве. Тогда компоненты вектора позволяют сказать, что любой вектор, направленный куда угодно, можно представить как сумму некоторой величины, направленной вдоль оси , некоторой величины вдоль оси и некоторой величины вдоль оси .

Итак, это и есть компоненты. У вектора есть -компонента, -компонента и -компонента. Например, если вектор силы, с которой мы толкаем объект, направлен точно вдоль оси , то есть если параллелен оси , тогда -компонента и -компонента этого вектора будут равны нулю. Сами компоненты по-прежнему существуют, просто их значения равны нулю. А у вектора, направленного более произвольным образом, обычно будут ненулевые -, — и -компоненты. Поэтому уравнение — это не просто равенство между одним числом слева и одним числом справа. Оно связывает вектор слева, силу, с другим вектором справа, ускорением, умноженным на массу. Если говорить в терминах компонент, то в трехмерном пространстве вектор задается тремя числами: -компонентой, -компонентой и -компонентой.

Поэтому вместо одного уравнения между двумя числами, и , у нас фактически есть три уравнения. -компонента силы связана с -компонентой ускорения: . Аналогично, -компонента силы равна массе, умноженной на -компоненту ускорения: . И -компонента силы равна массе, умноженной на -компоненту ускорения: . Масса во всех трех случаях одна и та же. Можно воспринимать это как три отдельных уравнения — по одному для -, — и -компонент силы и ускорения. А можно, если сделать еще один небольшой шаг в сторону более абстрактного мышления, считать все это одним векторным уравнением, связывающим два вектора, каждый из которых записан как набор из трех чисел. На бумаге это можно представить как вертикальный столбец из трех чисел: первое — -компонента силы, второе — -компонента, третье — -компонента, и весь этот столбец заключен в скобки.

То есть мы записываем столбец из трех величин, , , , и приравниваем его к массе , умноженной на другой столбец из трех величин, , , — соответственно -, — и -компоненты ускорения. Именно так выглядит в координатной форме. И довольно скоро у вас может возникнуть мысль: хорошо, а что, если я захочу воспользоваться другой системой координат? Это совершенно нормально. Координаты — человеческое изобретение. И это, в общем-то, должно быть очевидно: ведь я только что сам их ввел. Я выбрал начало координат, задал оси , и . В физическом смысле этих координат в пространстве нет. Это удобная конструкция, которую мы, люди, используем для описания ситуации. А реальные физические величины — это масса, ускорение, сила и тому подобное.

Я подчеркиваю это потому, что в общей теории относительности — теории гравитации и искривленного пространства-времени, которую Эйнштейн сформулировал в 1915 году, — становится все труднее отделить саму физическую реальность от ее описания с помощью координат. С этим сталкивался даже сам Эйнштейн, как и многие другие чрезвычайно выдающиеся ученые. В общей теории относительности, пожалуй, сильнее, чем в любой другой физической теории, чрезвычайно важно отличать физически реальные величины от артефактов, возникающих исключительно из-за выбора координат. И одна из причин, почему это так важно, заключается в следующем. Мы вводим координаты , и и говорим: да, мы их просто придумали, можно было выбрать и другие — например, полярные или сферические координаты. И все же в координатах , , есть что-то очень естественное. Их называют декартовыми координатами, в честь Рене Декарта.

В общей теории относительности очень часто оказывается, что никакой естественной системы координат вообще нет. Вам может казаться, что какая-то система координат естественна и поэтому отражает нечто физически реальное, но на самом деле это вовсе не обязательно так. Все системы координат в этом смысле равноправны. Поэтому, чтобы упростить запись, вместо или вместо столбца из трех величин , , , равного умножить на столбец , , , мы часто будем записывать уравнение через его компоненты, используя небольшой индекс. Если воспринимать как три уравнения — одно для направления , одно для и одно для , — то можно просто написать , где обозначает любую из трех компонент силы. Буква здесь называется индексом и может принимать значения , или .

Таким образом, — это компактный способ сказать, что -компонента силы равна массе, умноженной на -компоненту ускорения, и то же самое верно для — и -компонент. Это называется записью векторного уравнения по компонентам. И такой способ записи окажется чрезвычайно полезным. Более того, именно это и происходит в уравнении Эйнштейна, так что нет смысла держать это в секрете до самого конца. Когда уравнение Эйнштейна записывается как , почему в нем снова и снова появляются и ? Это греческие буквы мю и ню, и они тоже являются индексами. Почему же мы используем греческие буквы, а не , , и так далее? Потому что это индексы пространства-времени, а не просто пространства. В компоненты вектора силы относятся к пространству: есть направления , и . Но с появлением теории относительности нам понадобятся координаты пространства-времени, то есть , , , : время и три пространственные координаты.

И эти четыре обозначения, четыре компоненты, четыре координаты, мы объединяем и обозначаем индексом , , , или какой-нибудь другой греческой буквой. Греческие буквы мы используем для координат пространства-времени, точно так же как латинские , , используем для координат в трехмерном пространстве. Хорошо, это был небольшой взгляд вперед. Итак, — уравнение между двумя векторами, и при желании мы можем записать его по компонентам. Но что нам это дает? Это второй закон Ньютона, однако сам по себе он еще не говорит нам, как именно Сатурн движется вокруг Солнца. Чтобы понять это, нужно еще одно уравнение — то, которое сообщает, какая именно сила действует на объект. И это ньютоновский закон обратных квадратов.

Закон всемирного тяготения

Закон обратных квадратов говорит нам, как гравитационная сила распространяется в пространстве, в каком направлении она действует и какова ее величина. Его можно записать как . Что здесь означает каждый символ? — гравитационная постоянная Ньютона. Это фундаментальная константа природы, которая задает силу гравитационного взаимодействия. и — это массы двух объектов, которые гравитационно взаимодействуют друг с другом. Здесь индексы и не обозначают компоненты вектора, а просто служат метками, позволяющими различать два объекта. К сожалению, в математической записи одни и те же приемы приходится использовать для разных целей — способов размещать символы на бумаге не так уж много.

— расстояние между этими объектами. Поэтому величина силы определяется выражением , а — это так называемый единичный вектор. Он направлен вдоль прямой, соединяющей два объекта, от второго объекта к первому, и нужен только для того, чтобы указать направление силы. Его собственная длина равна , поэтому он и называется единичным. Таким образом, уравнение — это еще одно векторное уравнение и еще одно соотношение пропорциональности, во многом похожее на . Более того, если немного подумать, то из и можно сразу получить кое-что интересное. Пусть масса во втором законе Ньютона — это . Предположим, объект — Сатурн, а объект — Солнце. Тогда гравитационная сила Солнца действует на Сатурн, и мы можем написать . Теперь можно сократить, потому что оно присутствует и слева в выражении , и справа в числителе .

В результате мы получаем уравнение для ускорения второго объекта, и именно оно позволяет определить его траекторию. Так работает ньютоновская схема. Вы сообщаете мне начальное положение и начальную скорость объекта, а я определяю действующую на него силу, которая, в свою очередь, задает ускорение. После этого можно вычислить все дальнейшее движение с помощью математического анализа. В книге «Самые большие идеи во Вселенной» (The Biggest Ideas in the Universe) мы объясняем основы математического анализа, но сейчас я не буду в это углубляться. Достаточно сказать, что с его помощью, имея эти исходные данные, можно полностью рассчитать движение Сатурна вокруг Солнца. Именно так устроена классическая механика. У вас есть второй закон Ньютона, , который связывает силу с физическим ускорением объекта, а затем есть отдельное правило, определяющее саму силу. Если речь идет о гравитации, это ньютоновский закон обратных квадратов: сила убывает как и, опять же, пропорциональна массе.

И здесь я хочу попутно отметить одну вещь, потому что буквально через минуту она станет очень важной. Тот факт, что масса сократилась, довольно интересен, не правда ли? В законе всемирного тяготения фигурируют две массы — масса Солнца и масса Сатурна. Если нас интересует движение Сатурна, его масса появляется и в выражении для гравитационной силы, и в уравнении , но когда мы приравниваем эти выражения, масса Сатурна сокращается. Получается, что масса объекта, на который действует гравитация, вообще не влияет на его гравитационное ускорение. Сила от массы зависит — гравитационная сила пропорциональна массе объекта. Но ускорение при заданной силе обратно пропорционально массе, и эти два эффекта в точности компенсируют друг друга. Именно эту идею еще очень давно отстаивал Галилей: если взять два объекта разной массы и пренебречь сопротивлением воздуха, то при падении они будут ускоряться одинаково.

Это противоречит старому представлению о том, будто более тяжелые тела падают быстрее. Такое впечатление возникает только из-за сопротивления воздуха, которое обычно влияет на разные объекты по-разному. Но собственное ускорение свободного падения, создаваемое гравитацией, для любых двух объектов одинаково. И это особое свойство именно гравитации. Если, например, взять силу со стороны электрического поля, то совершенно неверно, что любые два объекта будут испытывать одинаковое ускорение. Электрически заряженный объект будет ускоряться под действием электрического поля, а нейтральный объект вообще не почувствует такой силы. Поэтому гравитация универсальна в том смысле, в каком не универсальна ни одна другая сила. Это свойство уже присутствовало в ньютоновской теории тяготения, и сам Ньютон обращал на него внимание, но объяснения ему не дал. А вот в эйнштейновской теории гравитации оно займет центральное место. Так что давайте перейдем к Эйнштейну.

От специальной теории относительности к пространству-времени

Итак, давайте к этому и перейдем. У нас есть ньютоновская теория гравитации XVII века. Мы можем сразу перескочить далеко вперед, хотя при этом пропустим немало интересной физики, и оказаться в 1905 году. Разумеется, 1905-й был «годом чудес» Эйнштейна. Он тогда был еще молод, не знаменит и работал в патентном бюро, но опубликовал несколько работ — по квантовой теории, броуновскому движению и специальной теории относительности. За любую из них вполне можно было бы присудить Нобелевскую премию. В итоге Эйнштейн получил только одну Нобелевскую премию, хотя, безусловно, заслуживал больше одной. В тот год он сделал очень многое, и одним из результатов стало . Он выстраивал специальную теорию относительности, в развитие которой, как я уже говорил, до него внесли важный вклад и другие ученые — Лоренц, Фицджеральд, Пуанкаре и другие. А Эйнштейн, по сути, сделал последний решающий шаг. Хотя, пожалуй, точнее будет сказать предпоследний, второй с конца. И этот шаг был принципиально важным: Эйнштейн заявил, что никакого эфира не существует.

В процессе, который привел к специальной теории относительности, физики пытались согласовать два обстоятельства. С одной стороны, уравнения электромагнетизма Максвелла явно указывали на то, что скорость света играет какую-то особую роль. С другой стороны, в ньютоновской механике никакой выделенной скорости вообще нет. Поэтому ученые предположили существование эфира — невидимой среды, через которую якобы распространяются электромагнитные волны, — и пытались его обнаружить. Но оказалось, что обнаружить его не удается: никакой эксперимент не давал признаков существования эфира. Тогда теорию продолжали довольно изобретательно модифицировать, стараясь сделать эфир все менее и менее доступным для наблюдения. И в этом они действительно преуспели. А озарение Эйнштейна состояло в том, чтобы сказать: послушайте, настоящий секрет в том, что никакого эфира просто нет. Нужно от него отказаться. Но чтобы эта идея имела смысл, приходится радикально изменить само представление о пространстве и времени. Именно поэтому специальная теория относительности стала настолько важным переворотом.

Эйнштейн, как вы, возможно, слышали, был очень умным человеком и прекрасно понял последствия этой идеи. Отсюда и возникают сокращение длины, замедление времени и все подобные эффекты при движении со скоростью, близкой к скорости света. Именно об этом в первую очередь говорил Эйнштейн, создавая специальную теорию относительности. Но в 1905 году он все же не сделал самого последнего шага на пути к ее современной формулировке. Этот шаг сделал Герман Минковский. Вообще по-немецки его фамилия, вероятно, должна звучать ближе к «Минкофски», но я буду произносить ее на американский манер — «Минковски». Минковский раньше преподавал Эйнштейну, кажется, в Цюрихе, хотя я не уверен в этом на сто процентов. Во всяком случае, Эйнштейн посещал его занятия. Разница в возрасте между ними была не очень большой, но Минковский был немного старше.

В отличие от Эйнштейна, который был блестящим физиком, Минковский был математиком. Он прочитал работы своего бывшего студента, обдумал их и пришел к ключевому выводу: на самом деле Эйнштейн открыл пространство-время. В 1905 году сам Эйнштейн о пространстве-времени вообще не говорил. Он не утверждал, что теория относительности означает объединение пространства и времени в единое фундаментальное пространство-время. Эту идею сформулировал Минковский в 1907 году. Он сказал: правильный способ понимать специальную теорию относительности состоит в том, что мы живем в четырехмерном пространстве-времени. Конечно, о пространстве и времени можно было говорить и до появления теории относительности — и пространство, и время уже существовали как понятия. Но в ньютоновской механике каждому из них приписывается отдельная абсолютная реальность.

Минковский же говорит: нет, в специальной теории относительности это не так. Есть только единое четырехмерное пространство-время, а уже мы сами выбираем, как разделить его на пространство и время. У него есть знаменитая формулировка: «Отныне пространство само по себе и время само по себе обречены превратиться лишь в тени, и только их некоторое объединение сохранит независимую реальность». И это один из признаков хорошего ученого: мало что-то открыть, нужно еще понять последствия своего открытия. Минковский сразу выносит эту мысль на передний план: отдельно взятых пространства и времени в фундаментальном смысле нет, есть только пространство-время. Именно так, по его мнению, лучше всего понимать то, что Эйнштейн установил в специальной теории относительности.

Любопытно, что одним из людей, которых это озарение поначалу совершенно не впечатлило, был сам Альберт Эйнштейн. По своему складу он прежде всего был физиком, а не математиком. В одной из работ, опубликованных вскоре после статьи Минковского, Эйнштейн заметил, что формулировка Минковского «предъявляет к читателю довольно высокие требования с математической точки зрения», после чего, по сути, просто не стал ею пользоваться. Его первая реакция сводилась примерно к тому, что это излишняя математическая абстракция, не слишком связанная с физической реальностью. Но вскоре ему пришлось изменить свое мнение. Мы еще увидим, что Эйнштейн в конце концов был вынужден принять именно пространственно-временной взгляд. Так что же имел в виду Минковский? Что означает утверждение, что пространство-время следует рассматривать как единое целое, а не как отдельные пространство и время?

Геометрия пространства и времени

Давайте сначала разберемся с пространством. Хорошо поймем, что такое пространство, а уже потом обобщим эту картину до пространства-времени. Наше представление о пространстве восходит еще к Евклиду — к евклидовой геометрии, геометрии плоской поверхности вроде столешницы или обычного трехмерного евклидова пространства вокруг нас. В евклидовой геометрии есть определенные правила, например теорема Пифагора. Конечно, уже в XIX веке математики начали активно исследовать неевклидовы геометрии, но мы начнем с евклидовой, то есть с плоской геометрии — той самой, которая работает для фигур, нарисованных на плоской поверхности. И, пожалуй, одно из ее центральных свойств — это теорема Пифагора. Она говорит, что для прямоугольного треугольника квадрат длины гипотенузы, то есть самой длинной стороны, равен сумме квадратов двух других сторон. Иными словами, , где — гипотенуза, а и — катеты.

Почему это так важно? Потому что это напрямую связано с тем, как мы задаем координаты в пространстве. Я чуть не сказал «в пространстве-времени» — теория относительности уже засела у меня в голове. Но пока речь только о пространстве с координатами , и . Теорема Пифагора дает нам очень простой способ вычислять длину любого прямого отрезка в евклидовой геометрии. Возьмем любые две точки в трехмерном пространстве. Как найти расстояние между ними? Введем систему координат. Пусть разность их координат по оси равна , по оси — , а по оси — . Тогда трехмерное обобщение теоремы Пифагора говорит, что расстояние между этими точками удовлетворяет уравнению . Иными словами, прямой отрезок, соединяющий любые две точки в евклидовом трехмерном пространстве, можно рассматривать с помощью трехмерного аналога прямоугольного треугольника.

Поэтому теорему Пифагора можно воспринимать как своего рода усиленный инструмент для вычисления длин — прежде всего длин прямых линий. Но с помощью математического анализа можно пойти дальше и вычислять длину любой кривой. Идея математического анализа как раз в том, что если достаточно сильно увеличить маленький участок кривой, он будет выглядеть как прямая линия. Поэтому мы можем разбить кривую на бесконечно малые участки, каждый из которых считать прямым, и для такого участка записать , где , и — бесконечно малые изменения координат. Затем эти маленькие длины складываются вдоль всей кривой, что и позволяет получить ее полную длину.

Итак, по сути, теорема Пифагора позволяет вычислять длину любой кривой в евклидовой геометрии. В некотором смысле ее можно считать основой всей евклидовой геометрии. Конечно, есть и другие свойства, например площадь круга равна , но все это можно вывести из базового формализма, который начинается с теоремы Пифагора. Именно поэтому Минковский и говорит: «Нужно воспринимать пространство-время как единое целое», потому что все результаты специальной теории относительности можно заново вывести, если обобщить формулу с обычного пространства на пространство-время.

Но здесь появляется один хитрый поворот, и сейчас я объясню, какой именно. Вспомним так называемый парадокс близнецов. Я не люблю называть его парадоксом, потому что никакого парадокса там на самом деле нет. Это мысленный эксперимент — мысленный эксперимент с близнецами. Наверняка вы о нем слышали. Есть два близнеца, примерно одного возраста — строго говоря, конечно, не совершенно одинакового, но почти одинакового, потому что они близнецы. Один остается дома, не покидает Землю и просто живет своей обычной жизнью. Другой садится в космический корабль, улетает со скоростью, близкой к скорости света, а затем возвращается. Специальная теория относительности предсказывает, и это подтверждено множеством косвенных экспериментов, что после возвращения близнец, летавший на ракете, окажется заметно моложе того, кто оставался на Земле, если скорость полета была достаточно близка к скорости света. Если сформулировать точнее, собственное время, прошедшее вдоль траектории того, кто быстро улетел и затем вернулся, будет меньше, чем время, прошедшее для человека, который все это время оставался на месте.

И здесь, возможно, уже начинает возникать знакомая аналогия. В обычной евклидовой геометрии есть правило: кратчайшее расстояние между двумя точками проходит по прямой. Возьмите любые две точки в пространстве. Между ними можно провести бесконечное множество различных кривых, буквально несчетное бесконечное множество, но существует единственный путь с минимальной длиной, и это как раз тот путь, который мы называем прямой линией. Поэтому, когда в евклидовом пространстве мы говорим «расстояние между двумя точками», мы неявно имеем в виду длину кратчайшего пути, то есть прямого отрезка. Длины вдоль других траекторий тоже существуют, но они всегда больше. Любой непрямой путь между этими точками будет длиннее кратчайшего. И Минковский говорит, что в мысленном эксперименте с близнецами происходит нечто очень похожее, только в формулу незаметно прокрадывается знак минус.

Правильный способ понимать мысленный эксперимент с близнецами таков: близнец, который остается на Земле, в пространстве-времени движется примерно по прямой линии. А близнец, который садится в ракету, движется не по прямой. На первом участке своего путешествия он идет по прямой линии в пространстве-времени, но затем разворачивается и возвращается обратно. Поэтому его траектория в целом оказывается изломанной в той точке, где он меняет направление и летит назад. И он переживает меньше времени. Причем какую бы траекторию он ни выбрал — пусть летит по спирали или совершает какие-нибудь совсем безумные маневры, — близнец, который отклоняется от прямой мировой линии, всегда переживет меньше времени. Поэтому время, которое вы лично переживаете, можно рассматривать как аналог длины кривой. Время, которое вы испытываете в пространстве-времени, аналогично длине кривой в евклидовой геометрии, только правило меняется: вместо утверждения, что прямая дает кратчайшее расстояние, мы говорим, что прямая линия в пространстве-времени дает наибольшее прошедшее время. Это личное время, которое вы испытываете, релятивисты называют собственным временем. Именно его отсчитывают ваши наручные часы, смартфон или любой другой находящийся при вас прибор. В специальной теории относительности оно устроено иначе, чем в ньютоновской картине мира, потому что у Ньютона время абсолютно.

В ньютоновской механике все согласны с тем, что такое время, и для всех проходит одно и то же количество времени. В теории относительности у каждого есть свое собственное время, и оно зависит от траектории через пространство-время. В повседневной жизни мы этого не замечаем, потому что эффект становится существенным только тогда, когда относительные скорости сравнимы со скоростью света. В обычной жизни мы движемся друг относительно друга очень медленно, поэтому ничего подобного не видим. Именно поэтому для создания такой теории и понадобился Эйнштейн. Но основная идея такова: то, что мы с вами называем прошедшим временем, похоже на длину кривой, только вместо того, чтобы расти по мере того, как траектория становится более извилистой, оно уменьшается. Чем сильнее ваша траектория в пространстве-времени отклоняется от прямой, тем меньше собственного времени вы испытываете. И Минковский, будучи прекрасно подготовленным математиком, сумел записать эту идею в виде уравнения. В евклидовой геометрии, если две точки разделены по координатам на величины , и , расстояние между ними подчиняется формуле .

Минковский говорит: «Возьмем две точки в пространстве-времени. Теперь они могут быть разделены не только в пространстве, но и во времени — на величину , а также на , и , потому что две точки пространства-времени могут находиться в разных местах и соответствовать разным моментам времени». И если вы перемещаетесь между этими двумя событиями в пространстве-времени, то квадрат прошедшего собственного времени, поскольку здесь возникает соотношение, напоминающее теорему Пифагора, равен . То есть это похоже на теорему Пифагора. В евклидовой геометрии у нас было , а у Минковского появляется . Это и есть метрика Минковского в пространстве-времени — способ измерять интервалы в пространстве-времени, отличный от евклидового. В евклидовой геометрии все знаки были бы плюс: . А в геометрии Минковского сигнатура имеет вид «плюс, минус, минус, минус»: .

И из этой простой идеи — что время, которое мы с вами переживаем, является геометрической величиной и зависит от траектории, по которой вы движетесь через пространство-время, — фактически вырастает вся специальная теория относительности. Из нее можно вывести и сокращение длины, и замедление времени, и все остальные подобные эффекты. Все следует из единственной идеи Минковского: в пространственно-временном аналоге теоремы Пифагора появляется знак минус, а прошедшее собственное время в некотором смысле играет роль аналога пройденного расстояния, только уже не в пространстве, а в пространстве-времени.

Но Эйнштейн поначалу особого впечатления от этого не испытал. Ему казалось, что специальную теорию относительности он и сам понимает достаточно хорошо. Ну хорошо, Минковский и другие математики предложили важный шаг вперед в концептуальном осмыслении специальной теории относительности. Однако Эйнштейна занимала гораздо более конкретная проблема: гравитация не вписывалась в специальную теорию относительности. Когда Ньютон создал обычную ньютоновскую механику, едва ли не первым делом он применил ее к движению планет вокруг Солнца под действием гравитации — именно это принесло теории огромный успех. Когда у вас появляется новая теория механики, естественно первым делом спросить, как в ней работает гравитация. И вот в специальную теорию относительности электромагнетизм вписывался прекрасно, а ньютоновская гравитация — нет. Значит, теорию тяготения Ньютона нужно было как-то изменить. Ну и насколько это вообще может быть сложно?

Принцип эквивалентности

Но оказалось, что это чрезвычайно сложно. Эйнштейн много над этим размышлял и в итоге вернулся к тому самому свойству ньютоновской гравитации, о котором мы уже говорили: масса падающего тела сокращается из уравнений. Масса объекта, движущегося под действием гравитации, не влияет на его ускорение, потому что она одинаковым образом входит и в выражение для силы, и в выражение для ускорения. То есть гравитация обладает универсальностью. Эйнштейн обобщил факт, что два разных тела в одном и том же гравитационном поле падают с одинаковым ускорением, и сформулировал более широкий принцип, который назвал принципом эквивалентности. Представьте, что вы находитесь в гравитационном поле, но внутри герметично закрытой комнаты и не можете видеть, что происходит снаружи. Вы ощущаете действие гравитации, потому что гравитационное поле пронизывает комнату: предметы падают на пол, даже если сама комната полностью закрыта. Вы можете проводить эксперименты — ронять тела, измерять ускорение свободного падения, измерять заряд электрона, в общем, выполнять любые физические эксперименты, какие захотите.

Теперь Эйнштейн предлагает представить другое. Вы находитесь внутри ракеты, причем ракета работает очень тихо, двигатель почти не слышен, а сама ракета ускоряется с ускорением , то есть ровно с таким ускорением, которое мы ощущаем у поверхности Земли из-за гравитации. Вы заперты в комнате внутри ракеты и тоже можете проводить любые эксперименты: ронять предметы, засекать время их падения, измерять заряд электрона и так далее. Эйнштейн утверждает, что по крайней мере в достаточно малой области пространства-времени не существует эксперимента, который позволил бы отличить пребывание в гравитационном поле от пребывания в области без гравитации, но в ускоряющейся системе отсчета. И это возможно именно потому, что гравитация универсальна. С электрическим полем все было бы совсем иначе: заряженная и незаряженная частица реагировали бы на него по-разному, поэтому наличие электрического поля можно было бы обнаружить. Но на гравитацию все реагирует одинаково, и в таком локальном эксперименте вы даже не сможете однозначно сказать, есть ли вообще гравитационное поле.

Если бы такую идею придумали вы или я, мы, наверное, очень собой гордились бы, рассказали друзьям и на этом остановились. Но Эйнштейн пошел гораздо дальше. Он сказал: «Я понимаю, что это означает. Я понимаю, какое отсюда следует заключение». А заключение было таким: причина, по которой гравитацию оказалось намного труднее согласовать со специальной теорией относительности, чем электромагнетизм, состоит в том, что гравитация — не такая сила, как электрическая или магнитная. Гравитация не существует просто как еще одно поле поверх пространства-времени. Она универсальна. Поэтому, говорит Эйнштейн, гравитацию следует понимать как свойство самого пространства-времени, а не как силовое поле, находящееся внутри него. Гравитация отличается от остальных взаимодействий тем, что она говорит нам что-то о структуре самого пространства-времени. Так что видно, что к этому моменту Эйнштейн уже полностью принял идею пространства-времени, предложенную Минковским.

Гравитация как кривизна пространства-времени

И Эйнштейн сказал: «Ладно, видимо, придется с этим смириться, даже если математически все это довольно сложно и предъявляет к читателю серьезные требования». Итак, Эйнштейн принимает идею, что гравитация — это свойство пространства-времени, и задается вопросом: а какое именно свойство? Когда Минковский предложил объединить пространство и время в единое пространство-время, он фактически описывал это на языке геометрии. Мы берем евклидову геометрию и модифицируем ее, получая то, что можно назвать геометрией Минковского. Сегодня чаще говорят «лоренцева геометрия», но, если честно, мне кажется, что здесь больше заслуги именно Минковского. Лоренц тоже сделал много важного, но геометрию пространства-времени он в таком виде не рассматривал.

В геометрии Минковского у нас появляется модифицированная теорема Пифагора со знаками минус. Эйнштейн размышляет над этим и приходит к следующей мысли: хорошо, пространство-время — это не просто нечто существующее, у него есть собственная геометрия. А мне как раз нужно найти такое свойство пространства-времени, которое могло бы играть роль гравитации. И после всех этих шагов, каждый из которых сам по себе был совсем не очевиден, напрашивается следующая гипотеза: возможно, пространство-время может быть искривлено. То есть мало того, что в метрике присутствуют знаки минус, объясняющие связь пространства и времени при измерении интервалов, — сама геометрия пространства-времени может быть нетривиально искривленной. Возможно, Солнце искривляет пространство-время вокруг себя, а Сатурн всего лишь пытается двигаться по максимально прямой траектории, но обычных прямых линий там уже нет, потому что пространство-время искривлено. А то, что мы с вами воспринимаем как действие гравитации, на самом деле и есть проявление этой кривизны пространства-времени. В этом и состояла гениальная идея Эйнштейна.

Я сейчас изложил ее стандартными фразами, которыми обычно пользуются физики. Что именно происходило в голове у самого Эйнштейна, я, конечно, толком не знаю. Переход к этой идее явно требовал огромного скачка воображения, и то, что он сумел собрать все это воедино, действительно впечатляет. Но была одна проблема: Эйнштейн практически ничего не знал о той геометрии, которая требовалась для решения этой задачи. Во всяком случае, не на нужном ему уровне. Не забывайте, он не был математиком, это была не его специализация. Он изучал ровно столько математики, сколько было необходимо для физики, а геометрия произвольных искривленных пространств и пространств-времен никогда раньше не относилась к тем темам, которые ему приходилось осваивать.

Хорошая новость заключалась в том, что Эйнштейн был близко дружен с человеком по имени Марсель Гроссман. Гроссман учился вместе с Эйнштейном и, кстати, помог ему получить первую работу. И он был математиком. Он хорошо знал все новейшие на тот момент разработки в геометрии и смежных областях, поэтому Эйнштейн начал изучать неевклидову геометрию с помощью Марселя Гроссмана. К счастью для него, всего за несколько десятилетий до этого, в XIX веке, вся необходимая математика уже была разработана: люди создали неевклидову геометрию. Я уже выдал имя человека, внесшего здесь один из важнейших вкладов, — Римана. Неевклидова геометрия уже существовала, ее активно исследовали, так что весь необходимый математический аппарат был готов и доступен Эйнштейну. Ему не пришлось изобретать его с нуля.

Геометрия Римана и метрический тензор

Что же здесь имеется в виду под математическим аппаратом? Начнем с Евклида. Именно евклидова геометрия лежит в основе теоремы Пифагора, формулы площади круга и всего остального подобного. Возможно, вы помните историю Евклида и его постулатов. Главное достижение евклидовой геометрии состояло не в теореме Пифагора, потому что Пифагор сформулировал ее еще раньше, она уже была известна. Настоящий вклад Евклида заключался в том, что он представил геометрию как аксиоматическую систему. Он сказал: если вы принимаете такие-то и такие-то утверждения — так называемые аксиомы, или постулаты, что в данном случае по сути одно и то же, — то из них можно вывести все остальные результаты: и формулу площади круга , и теорему Пифагора, и множество других утверждений.

Тем самым Евклид фактически задал способ построения математики, которым мы пользуемся и сегодня. У вас есть набор постулатов или аксиом, а затем из них выводятся теоремы. Большинство евклидовых постулатов геометрии выглядят довольно очевидно. Например, через любые две точки можно провести прямую — утверждения такого рода обычно не вызывают споров. Кажется, одним из постулатов было и то, что через любую точку можно провести прямую. Но был один постулат, пятый постулат Евклида, который называют постулатом о параллельных, и он выглядел несколько более специфичным, чем остальные. Он казался чуть менее очевидным. Поэтому на протяжении очень долгого времени люди думали: возможно, это вообще не должно быть аксиомой или постулатом. Может быть, это теорема, которую можно вывести из других аксиом. Но, как выяснилось, вывести его нельзя.

Итак, что утверждает постулат о параллельных? В самом грубом виде идея такова: параллельные прямые навсегда остаются параллельными, то есть расстояние между ними не меняется. Чтобы сформулировать это чуть точнее, нужно понять, что мы вообще называем параллельными прямыми. Представьте двумерную плоскость, так что на время забудем о трех измерениях. Допустим, мы работаем на поверхности стола. Сначала нарисуйте небольшой отрезок прямой. Затем через оба конца этого отрезка проведите две прямые, перпендикулярные исходному отрезку и уходящие в одном и том же направлении. Эти две прямые мы будем считать изначально параллельными. Надеюсь, это легко представить: маленький отрезок служит основанием, а из двух его концов под прямыми углами уходят две бесконечно длинные прямые.

Итак, эти прямые начинаются как параллельные, а постулат о параллельных просто утверждает, что они останутся параллельными навсегда. То есть если измерять расстояние между ними вдоль прямой, перпендикулярной обеим, то это расстояние всегда будет одним и тем же. Это кажется вполне разумным, и Евклид записал это как постулат. Но доказать его из остальных постулатов никому так и не удавалось, поэтому он и оставался именно постулатом. Понадобилось очень много времени, чтобы понять: причина, по которой его невозможно доказать, состоит в том, что он вовсе не обязан быть истинным. И именно здесь, по сути, начинается один из важнейших подходов, которым математики пользуются и сегодня.

Они спрашивают: «А что произойдет, если заменить этот постулат каким-нибудь другим?» Именно так поступили несколько математиков, в частности Лобачевский и Бойяи, а также, возможно, Карл Фридрих Гаусс, самый знаменитый математик того времени. Но Гаусс не слишком любил публиковать такие результаты, поэтому эту идею он не записал, а значит, официального приоритета за нее не получил. Лобачевский и Бойяи сказали: «А что, если вместо постулата о том, что эти изначально параллельные прямые сохраняют постоянное расстояние друг от друга, принять новый постулат, согласно которому они постепенно расходятся все дальше и дальше?» Оказывается, этот новый постулат можно добавить к остальным постулатам Евклида и получить совершенно непротиворечивую геометрию. Просто это будет уже не та геометрия, которую мы с вами привыкли знать и любить.

В этой новой геометрии сумма углов треугольника всегда меньше . В евклидовой геометрии, как вы знаете, сумма внутренних углов треугольника всегда ровно . А в геометрии, созданной Бойяи и Лобачевским, она всегда меньше . Площадь круга уже не равна , а всегда больше , и так далее. Все привычные свойства старой доброй евклидовой геометрии немного меняются. Эта геометрия называется гиперболической. Можно придумать и еще одну геометрию: предположить, что изначально параллельные прямые не расходятся, а, наоборот, сходятся. Это уже другой тип геометрии. В такой геометрии площадь круга радиуса всегда меньше , сумма внутренних углов треугольника всегда больше и так далее. То есть все знакомые геометрические свойства немного, но весьма содержательно меняются.

Можно сказать: «Ну, сферическая геометрия мне понятна». Именно так называется геометрия, в которой такие прямые сходятся. Это похоже на то, что происходит на поверхности сферы. Гиперболическую геометрию представить труднее, но отдаленно она напоминает поверхность картофельного чипса Pringles или седла. Здесь, однако, есть одна тонкость. Обычную сферу можно совершенно спокойно поместить внутрь трехмерного евклидова пространства. Думаю, именно поэтому сферическую геометрию долго не воспринимали как принципиально отдельный тип геометрии: сферу просто считали поверхностью, вложенной в привычное трехмерное евклидово пространство. А вот с гиперболической плоскостью ситуация иная. Двумерную поверхность, точно подчиняющуюся аксиомам гиперболической геометрии, нельзя глобально и без искажений вложить в трехмерное евклидово пространство.

Поэтому это был настоящий пример того, как математики создали геометрию исходя из аксиом, которую нельзя в точности построить как обычную поверхность в нашем трехмерном евклидовом пространстве. Чипс Pringles или седло дают лишь локальное приближение к гиперболической геометрии, но не являются точной гиперболической плоскостью. В этом смысле такая плоскость существует прежде всего как математический объект. И это оказалось чрезвычайно интересно. Гаусс тоже был этим увлечен, хотя и утверждал, что пришел к подобным идеям раньше других. Но он понимал, что этим история не заканчивается, и причин было несколько. Хотя гиперболическая геометрия отличалась от привычной евклидовой, она все еще была довольно специальной и ограниченной: речь шла только о двух измерениях, а главное — о едином, постоянном типе кривизны. Разница между евклидовой и неевклидовой геометрией здесь состоит в том, что евклидово пространство плоское, то есть его кривизна везде равна нулю. В некотором смысле именно это и означает, что изначально параллельные прямые остаются параллельными. А гиперболическая плоскость или сфера искривлены, и эта кривизна заставляет соответствующие линии расходиться или сходиться.

И здесь уже легко увидеть, почему все это так заинтересовало Эйнштейна: он как раз хотел, чтобы кривизна пространства-времени каким-то образом заставляла объекты двигаться определенным образом, а мы воспринимали бы это как гравитацию. Но гиперболическая геометрия основывалась на очень специальном предположении: прямые расходятся только одним определенным образом, причем с одинаковой скоростью во всех направлениях. То есть это была весьма конкретная и сильно ограниченная конструкция. Примерно в 1854 году Бернхард Риман, ученик Гаусса, уже получил докторскую степень, но в немецкой академической системе существовала еще одна квалификационная ступень, необходимая для того, чтобы получить право преподавать в университете. Риман пришел к Гауссу и спросил: «Над чем мне работать для получения следующей степени?» Гаусс ответил: «Составь список возможных тем, а я выберу одну». Риман составил такой список, и Гаусс выбрал именно ту тему, которую сам Риман считал самой скучной, — основания геометрии.

Гаусс понимал, что неевклидовы геометрии уже появились, но мы все еще далеко не до конца разобрались в том, как вообще устроена геометрия. Кроме того, существовала одна важная зависимость, от которой Гаусс хотел избавиться. Когда мы думаем о сфере или гиперболической плоскости, мы обычно смотрим на них как бы снаружи. Мы не описываем внутреннюю, или собственную, геометрию пространства, а представляем себе наблюдателя, находящегося вне него. Поэтому Риман поставил перед собой задачу понять, как описывать геометрию поверхности или даже пространства более высокой размерности, если вы сами живете внутри этого пространства и вам вообще запрещено ссылаться на какой-либо внешний взгляд.

Идея, к которой он пришел, заключалась в метрике. Риман говорит: «Если вы можете сообщить мне длину любой кривой, которую я способен провести в этом пространстве, то я уже знаю о его геометрии все необходимое». Возможно, существуют и другие способы полностью задать геометрию, но его мысль состояла в том, что если вы умеете совершенно общим образом вычислять длины любых кривых, то из этого можно восстановить все остальное. В этом и заключалась его блестящая идея. И здесь мы снова возвращаемся к тому, что позже сделал Минковский. Разумеется, Минковский работал уже после Римана и применил эту идею к пространству-времени, тогда как Риман сформулировал ее в совершенно общем виде. Так что же значит уметь вычислять длину любой возможной кривой? Половину ответа мы уже фактически знаем — для этого нужен математический анализ.

Риман говорит: вам не нужно буквально рисовать каждую возможную кривую и сообщать мне ее длину. Достаточно уметь работать с каждым бесконечно малым участком кривой. В каждой точке пространства я могу мысленно провести крошечный отрезок, очень-очень малой длины, и Риман говорит: дайте мне формулу для длины этого отрезка. Иными словами, дайте мне обобщение теоремы Пифагора. Это уже не обязательно будет просто . Формула может оказаться сложнее, потому что система координат может быть другой, да и само пространство может быть искривлено. Риман при этом думал не о пространстве-времени, а только о пространстве, то есть о координатах , , . Его идея такова: дайте мне формулу длины как функцию , и для любого бесконечно малого отрезка в любой точке пространства, и из этого я смогу восстановить всю геометрию целиком.

Что это означает на практике? Какая именно информация нужна, чтобы вычислить длину такого крошечного отрезка? В обычной теореме Пифагора мы пишем . Здесь каждая координата как бы встречается дважды: вместе с дает , вместе с дает , а вместе с дает . Но теперь представьте совершенно общую систему координат. Допустим, вы провели оси и , но они не перпендикулярны друг другу. Пусть ось наклонена относительно того направления, в котором мы обычно ее рисуем.

Тогда формула для бесконечно малой длины будет содержать не только и , но и смешанный член . Появится дополнительный вклад в общую длину из-за взаимного влияния координат и , потому что движение вдоль уже не перпендикулярно движению вдоль . Поэтому Риман говорит: для каждой пары координат нужно задать некоторое число. Для пары — одно число, для — другое, для — еще одно, для и так далее. Если координат три, то получается девять таких чисел. И если вы дадите мне эти девять чисел, я смогу построить обобщенную теорему Пифагора. Вместо получится выражение вида: некоторое число умножить на , плюс некоторое число умножить на , плюс некоторое число умножить на , плюс некоторое число умножить на , плюс некоторое число умножить на , и так далее.

Это массив чисел размером , который содержит всю информацию, необходимую для вычисления длины любой кривой, какую вы только захотите провести. И вот здесь аудиоформат уже мешает, потому что вы не видите, как я это рисую. Но суть проста: у нас есть три координаты, и каждой паре координат соответствует некоторое число. В итоге получается небольшая матрица, то есть массив чисел размером . Именно такие массивы позволяют вычислять расстояния в совершенно произвольной геометрии и при совершенно произвольном выборе координат. Этот массив называется метрическим тензором. «Метрический» — потому что речь идет об измерении длин, а «тензор» — потому что это обобщение понятия вектора.

Помните, мы говорили, что вектор можно представить как небольшой столбец из трех чисел. То есть вместо одной величины, вроде массы, в геометрии иногда приходится иметь дело с объектами, для задания которых нужны три числа, как в случае силы или ускорения. А для метрики, в римановском подходе, в трехмерном пространстве нужны уже девять чисел. В -мерном пространстве требуется чисел. Поэтому в четырехмерном пространстве-времени понадобится уже чисел, то есть массив . И вместо столбца чисел мы имеем квадратную таблицу. В трехмерном пространстве это матрица — компоненты метрического тензора.

Я не буду вдаваться во все подробности, но тут стоит немного уточнить. Я собирался сказать, что Риман показал, как с помощью метрики делать вообще все, и в некотором смысле это правда. Но на самом деле он не расписал все необходимые методы до конца. Если прочитать его исходную работу, она довольно схематична. К сожалению, Риман умер сравнительно молодым, но его идеи продолжили развивать другие математики — Риччи, Кристоффель, Леви-Чивита и многие другие. Именно они создали красивый аппарат тензорного анализа для искривленных поверхностей и пространств. Все это вместе мы сегодня называем римановой геометрией, хотя далеко не все ее элементы присутствовали уже в первоначальной работе самого Римана. Итак, к чему мы пришли? Риман утверждает, что любую геометрию — не только евклидову, гиперболическую или сферическую, а вообще произвольную, с какими угодно изгибами и изменениями кривизны в разных областях пространства, — можно полностью охарактеризовать, задав метрический тензор. То есть задав матрицу , а в случае пространства-времени , которая сообщает нам, как вычислять длины кривых.

И это очень хорошо, потому что именно это, по сути, и требовал Минковский для пространства-времени. Только теперь речь идет о метрике пространства-времени, поэтому в ней появляются знаки минус. В остальном идея совершенно та же. Это массив чисел размером — метрика пространства-времени, и некоторые элементы в ней связаны со знаками минус именно потому, что речь идет не просто о пространстве, а о пространстве-времени. Именно этому Гроссман и научил Эйнштейна. А Эйнштейн уже знал о принципе эквивалентности и понял: да, похоже, мы движемся в правильном направлении. Но здесь есть важное различие между самой метрикой, которая задает геометрию, и тем, что именно мы хотим узнать об этой геометрии.

В принципе, вся информация о геометрии уже содержится в метрике. Она там закодирована. Если вы дадите мне метрику в каждой точке пространства или пространства-времени, то, по крайней мере теоретически, я смогу вычислить все, что меня интересует. Но, возможно, мне не хочется каждый раз проделывать всю эту работу. Возможно, я хочу получить непосредственно ту характеристику, которая мне нужна. А если я Эйнштейн, то мне в первую очередь интересно: как именно искривлено пространство-время? Метрика позволяет определить кривизну пространства-времени, но сама по себе не сообщает ее напрямую. Почему? Потому что компоненты метрики могут принимать самые разные значения в зависимости от того, какую систему координат мы выбрали. А мы уже подчеркивали, что выбор координат сам по себе физического значения не имеет.

Как описать кривизну

Нас интересуют величины, которые действительно отражают физическую геометрию. Поэтому из метрики, которая зависит от выбранных координат — будь то или, например, сферические координаты , — нужно извлечь собственно кривизну. Кроме того, кривизна определяется не значением метрики в одной отдельно взятой точке, а тем, как метрика меняется от точки к точке. Именно эти изменения, изгибы и деформации и характеризуют кривизну. То есть это уже немного другой тип величины. И тогда Риман и его последователи задают вопрос: как описать кривизну совершенно произвольного пространства-времени? Вспомним постулат Евклида о параллельных. Если взять небольшой отрезок и из двух его концов провести две прямые, изначально перпендикулярные этому отрезку и параллельные друг другу, то в евклидовой геометрии они останутся параллельными. А Бойяи, Лобачевский и Гаусс спросили: что, если позволить этим линиям расходиться или сходиться? Тогда мы получим неевклидовы геометрии.

Итак, можно спросить — и ответ действительно будет положительным: а что, если в каждой точке пространства для любого небольшого отрезка и для любой пары линий, которые мы запускаем перпендикулярно этому отрезку, отслеживать, как меняются расстояние между ними и их взаимная ориентация? Это прозвучало довольно громоздко, поэтому попробую сказать еще раз. Я рисую маленький отрезок, беру две его конечные точки и в каждой из них задаю по вектору, перпендикулярному этому отрезку. Затем из этих двух точек иду по траекториям максимально прямо, насколько это вообще возможно в данном пространстве. Между получающимися кривыми будет некоторое расстояние, которое можно описывать еще одним вектором, соединяющим одну изначально параллельную линию с другой. Этот вектор может становиться длиннее или короче, поворачиваться и вообще меняться самым разным образом. Все это и будет проявлением кривизны. Любой способ, которым две изначально параллельные линии перестают сохранять постоянное расстояние и ориентацию друг относительно друга, свидетельствует о кривизне. Здесь мы, конечно, опускаем огромное количество деталей. Чтобы прийти к такой формулировке, математикам понадобилось очень много времени.

Все это совсем не очевидно с первого взгляда. Но главное сейчас в том, что объем информации получается огромным. Для каждого возможного отрезка нужно учитывать еще и каждое возможное направление, перпендикулярное ему. А в пространстве размерности больше двух таких перпендикулярных направлений уже много. В пространстве-времени я могу задать точку и небольшой отрезок, но существует множество других направлений, перпендикулярных исходному. Поэтому для любой ориентации исходного отрезка и любой другой ориентации, перпендикулярной ему, нужно еще описывать, как две изначально параллельные линии расходятся, сходятся или закручиваются относительно друг друга. Информации действительно очень много. И оказывается, всю эту сложную информацию можно упаковать в еще один тензор. Но этот тензор уже не имеет размер , как метрический тензор пространства-времени.

Его называют тензором Римана. Мы обозначаем его заглавной буквой и добавляем четыре индекса. Поскольку речь идет о пространстве-времени, индексы греческие, так что можно записать . Для сравнения, метрический тензор записывается как . У тензора Римана четыре индекса, и каждый из них в четырехмерном пространстве-времени может принимать четыре значения. Поэтому формально это массив размером , то есть всего компонент.

И кто вообще сказал, что измерений обязательно должно быть четыре? Их может быть больше, сколько угодно, и тензор Римана все равно будет существовать, просто у него будет еще больше компонент. Но для математиков это не проблема. Как только вы привыкли строить тензоры, добавляя новые индексы, наличие четырех индексов вместо двух уже ничего принципиально не меняет. Это просто тензор с большим числом индексов. А вот для аспирантов, изучающих общую теорию относительности и вынужденных реально вычислять тензор Римана, работы становится заметно больше, потому что компонент формально очень много — в четырех измерениях их . К счастью, на практике далеко не все из них независимы: многие очень просто связаны друг с другом, а некоторые автоматически равны нулю. Но даже с учетом этого вычислений все равно хватает.

Хорошая новость в том, что значит «вычислить тензор Римана»? Вспомним исходную схему. Вся геометрическая информация содержится в метрике. Для каждого бесконечно малого отрезка в каждой точке пространства-времени вы задаете правило вычисления его длины. Эта информация содержится в метрическом тензоре , то есть в массиве . А уже из метрики можно вычислить тензор Римана. Хотя компонент у тензора Римана намного больше, он получается из производных метрики, то есть из того, как метрика меняется от точки к точке, с какой скоростью и в каких направлениях. Из этих изменений и строится тензор Римана. Это похоже на ситуацию с рельефом местности. Допустим, вам известна высота поверхности над некоторым уровнем в каждой точке. Если вы хотите узнать, под каким углом поднимаетесь по склону, нужно вычислить наклон поверхности. А наклон определяется тем, как быстро меняется высота от точки к точке. Именно это и означает взять производную. Примерно так же связаны между собой метрический тензор и тензор Римана.

От тензора Римана к уравнению Эйнштейна

Оказывается, тензор Римана — это компактный способ описать, как метрика меняется от места к месту, а именно это изменение и характеризует кривизну. Все это Марсель Гроссман объяснил Альберту Эйнштейну, и дальше уже в дело вступает Эйнштейн как физик. Его задача — превратить всю эту математику в физическую теорию. У нас есть метрика, которая задает расстояния, и есть тензор Римана, который описывает кривизну. Эйнштейн хочет, чтобы эта кривизна была связана с тем, что мы называем гравитацией. Как именно это должно работать? Как отсюда прийти к уравнению Эйнштейна? Здесь полезно снова вспомнить Ньютона. У Ньютона ведь уже была теория гравитации, и источником гравитации в ней служила масса объекта. Гравитационное притяжение Земли возникает из-за массы Земли. Если бы Земля была массивнее, гравитация была бы сильнее. Конечно, сила зависит еще и от расстояния, но именно масса является источником гравитационного поля. То же самое с Солнцем: масса Солнца намного больше, поэтому и его гравитация намного сильнее. Но Эйнштейн уже знал, что все несколько сложнее. Можно было бы сказать: хорошо, значит, масса является источником гравитации и именно масса заставляет пространство-время искривляться. Но к тому времени Эйнштейн уже открыл .

Итак, уравнение — это пример объединения. В физике такое происходит, когда мы берем две разные идеи и понимаем, что на самом деле это два проявления одного более фундаментального понятия. Правильный способ понимать состоит в том, что масса — это одна из форм энергии. Энергия может существовать и в других формах: как кинетическая, потенциальная и так далее. Но одна из форм энергии — это масса. Если объект просто покоится и ничего не делает, его энергия покоя равна массе, умноженной на квадрат скорости света, то есть . Однако энергия может принимать и другие формы, поэтому в этом смысле энергия более фундаментальна, чем масса. Но на этом объединение не заканчивается. — далеко не единственное важное соотношение специальной теории относительности.

Когда пространство и время объединяются в пространство-время, энергия и импульс тоже объединяются. Импульс — это величина, связанная с движением объекта. В простой ньютоновской картине импульс равен массе, умноженной на скорость: , а кинетическая энергия равна . Но в теории относительности энергия и импульс оказываются тесно связаны. Энергию можно в некотором смысле рассматривать как временную компоненту импульса. И это вполне естественно: у нас есть одно временное измерение и три пространственных, одна величина энергии и три компоненты импульса, потому что импульс — вектор. Но это еще только случай одной частицы. Если у вас много частиц, жидкость, твердое тело, Солнце или, например, вещество внутри Солнца, появляются также давление, напряжения и деформации внутри вещества. И в теории относительности оказывается, что все эти величины связаны между собой.

Эйнштейн, конечно, все это прекрасно знал. Поэтому правильным релятивистским обобщением той массы, которая служила источником гравитации у Ньютона, является так называемый тензор энергии-импульса. Это тензор с двумя индексами, то есть в четырехмерном пространстве-времени массив размером . А значит, у тензора энергии-импульса есть различные компоненты. Поскольку это двухиндексный тензор , у него есть компонента , где обозначает время, затем , , , потом , , и так далее — всего полный набор из компонент. И у каждой из них есть физический смысл. Компонента тензора энергии-импульса — это плотность энергии, то есть количество энергии на единицу объема. Пространственные диагональные компоненты , и связаны с давлением внутри вещества. А так называемые недиагональные компоненты, в которых смешиваются разные направления, например и другие, описывают перенос энергии и импульса, а также напряжения внутри вещества.

Итак, все это уже знакомые нам величины из дорелятивистской физики, но теория относительности объединяет их в компактную форму — тензор с двумя индексами. Отлично, похоже, мы движемся в правильном направлении. Если мы хотим получить релятивистское уравнение гравитации, которое обобщает ньютоновское, то в правой части ньютоновского закона стоит масса , или , если хотите, то есть масса объекта, создающего гравитационное притяжение. Поэтому в правой части нашего релятивистского уравнения гравитации естественно поставить тензор энергии-импульса. А что должно стоять слева? Конечно, кривизна. Мы знаем, чем она описывается, — тензором Римана. Но тут сразу возникает проблема. У тензора энергии-импульса два индекса, это массив , небольшая квадратная матрица. А у тензора Римана, описывающего кривизну, четыре индекса, то есть это массив . Их нельзя просто приравнять друг к другу. Это геометрические объекты разных типов, и даже сказать, что один пропорционален другому, нельзя.

Точно так же нельзя сказать, что какой-нибудь тензор пропорционален вектору. Пропорциональными можно делать только геометрические объекты одного и того же типа. А тензор Римана, к сожалению, не является двухиндексным тензором, как тензор энергии-импульса. Что же делать? Мы зашли в тупик? Нет. Математики уже разработали способы решить эту проблему, и здесь важную роль сыграл профессор Риччи. Вообще-то его фамилия была не просто Риччи. Она пишется Ricci, но полная фамилия была Риччи-Курбастро. Имя его, кажется, Грегорио Риччи-Курбастро. Это была составная фамилия. Но почему-то, когда Риччи-Курбастро опубликовал знаменитую работу, в которой объяснял соответствующий математический аппарат, вторую часть фамилии он в статье не указал и подписался просто как G. Ricci, а не G. Ricci-Curbastro. Не знаю почему, но в результате созданный им объект теперь называется тензором Риччи. Суть в том, что тензор Римана можно определенным образом «сжать». Когда у тензора много индексов, как у тензора Римана, можно провести операцию свертки и получить объект с меньшим числом индексов. В частности, из четырехиндексного тензора Римана естественным образом получается двухиндексный тензор Риччи .

И вот теперь мы действительно выходим на нужный путь. Более того, можно пойти еще дальше: тензор Риччи можно свернуть еще раз и получить одну скалярную величину, которая называется скаляром кривизны . Итак, у нас есть четырехиндексный тензор Римана, двухиндексный тензор Риччи и тензор с нулем индексов, то есть просто скалярная величина — скаляр кривизны. А поскольку мы хотим приравнять некоторую величину, характеризующую кривизну, к чему-то пропорциональному тензору энергии-импульса, самым естественным первым предположением будет сказать, что тензор Риччи пропорционален тензору энергии-импульса: , где — тензор энергии-импульса.

И действительно, это предположение настолько очевидно, что именно его Эйнштейн сначала и сделал. Он решил, что, возможно, уже нашел правильное уравнение общей теории относительности — уравнение, в котором гравитация возникает как проявление кривизны пространства-времени. Но оказалось, что оно не работает. Если бы уравнение имело вид , то оно очень тонким образом нарушало бы закон сохранения энергии. Эйнштейн долго ломал над этим голову и в конце концов понял, что нужно особым образом объединить тензор Риччи , скаляр кривизны и метрический тензор . В итоге правильное уравнение оказалось таким: . Здесь — тензор энергии-импульса, — ньютоновская гравитационная постоянная, а и — уже знакомые вам числа. Левая часть, , представляет собой двухиндексный тензор, то есть массив , который описывает определенную часть кривизны пространства-времени, содержащейся в полном тензоре Римана. И тут можно спросить: а куда делись остальные части тензора Римана, которые как будто исчезли, когда мы свернули его до тензора Риччи? Они никуда не делись.

Более того, именно эти оставшиеся части тензора Римана описывают распространение гравитационных волн. Для существования гравитационных волн вовсе не обязательно, чтобы рядом находились материя или энергия. Они могут свободно распространяться через пространство-время сами по себе. Поэтому их описывает полный тензор Римана. А тензор Эйнштейна, то есть комбинация , говорит нам о том, как кривизна пространства-времени реагирует на материю и энергию. И вот это уже окончательный, прекрасный ответ. Теперь выражение можно понимать так: это массив , построенный исключительно из другого тензора, метрического тензора , который тоже представляет собой массив . Если аккуратно и правильным образом брать производные метрики, то из нее можно получить кривизну. Сам метрический тензор сообщает, как измерять интервалы вдоль кривых, а соответствующие производные от него кодируют кривизну пространства-времени.

Итак, кривизна пространства-времени пропорциональна энергии и импульсу, находящимся в пространстве-времени. Здесь есть небольшое историческое примечание. Мы не знаем наверняка, первым ли именно Эйнштейн получил то уравнение, которое сегодня называется уравнением Эйнштейна. Мы точно знаем, что именно Эйнштейн выдвинул идею о том, что гравитация — это кривизна пространства-времени. Мы также знаем, что сначала он предположил соотношение , а уже затем пришел к . Но пока он бился над этим последним шагом, его друг, выдающийся математик Давид Гильберт, пригласил его в Гёттингенский университет. Эйнштейн согласился, приехал в Гёттинген и прочитал там цикл лекций. А по вечерам за ужином они с Гильбертом обсуждали общую теорию относительности.

Эйнштейн был невероятно умен, но у него были свои приоритеты, и главным для него была физика. Математика сама по себе его особенно не интересовала. Он изучал ровно столько математики, сколько было необходимо для решения физических задач. А Гильберт был одним из величайших математиков мира. Например, гильбертово пространство впоследствии оказалось чрезвычайно важным для квантовой механики. Гильберт выслушал рассказы Эйнштейна про и все остальное и понял, что правильную левую часть уравнения можно вывести гораздо более элегантным и мощным математическим способом. Когда Эйнштейн вернулся в Берлин, Гильберт остался в Гёттингене и с помощью так называемого принципа наименьшего действия вывел правильную левую часть того, что сегодня мы называем уравнением Эйнштейна. И мы до сих пор точно не знаем, кто получил окончательную формулу первым. Мы знаем, что Эйнштейн первым публично ее представил, но между ним и Гильбертом шла переписка, они были друзьями, оба писали статьи, а затем эти статьи редактировались. Поэтому трудно установить, соответствуют ли дошедшие до нас версии самым первым вариантам текста или уже более поздним редакциям. Так что вполне возможно, что именно Гильберт первым получил правильное уравнение Эйнштейна.

Но это не проблема. Все равно совершенно справедливо приписывать это уравнение Эйнштейну. Именно его физические идеи привели к нему, даже если последний математический шаг Гильберт действительно сделал немного раньше. Итак, надеюсь, теперь у вас появилось хотя бы интуитивное понимание того, что означает запись . Это уравнение между двумя массивами . Левая часть строится из производных метрического тензора и очень конкретным образом характеризует кривизну пространства-времени. Правая часть описывает находящиеся в пространстве-времени энергию, массу, тепло, импульс и все остальное подобное. Но что с этим уравнением делать? Давайте завершим эту историю небольшим вознаграждением за ваше терпение. Как им пользоваться? Я бы сказал, что процесс можно разбить на четыре этапа. Но есть еще нулевой этап: сначала нужно выбрать физическую ситуацию, которую вы хотите описать. Это может быть кривизна пространства-времени вокруг Солнца, в которой движется Сатурн и которая определяет его орбиту, расширение Вселенной, проходящая гравитационная волна, две черные дыры, сближающиеся по спирали, или вообще любая другая интересующая вас ситуация.

Как решают уравнение Эйнштейна

Хорошо, после того как физическая ситуация выбрана, первый шаг — подобрать общий вид метрики. Метрика представляет собой набор из величин, но строго говоря это не просто числа, а функции. В каждой точке пространства-времени значения могут быть разными. Метрика зависит от того, где вы находитесь и в пространстве, и во времени. Поэтому вы можете предположить определенный характер этой зависимости. Например, сказать: эта компонента метрики зависит от координаты , а эта — нет. Или, если мы рассматриваем однородную Вселенную, можно сказать, что по направлениям , и метрика ведет себя одинаково — между этими пространственными направлениями нет принципиальной разницы. Это и есть первый шаг. Второй шаг — взять предполагаемый вид метрики, вычислить из нее тензор Римана, а затем провести необходимые свертки и получить так называемый тензор Эйнштейна. Я раньше этого названия не вводил, но комбинация как раз и называется тензором Эйнштейна. Его можно вычислить вручную, а можно поручить это компьютеру.

Сейчас для этого существуют специальные программы. Когда я сам этим занимался, их еще не было, а сегодня люди редко вычисляют тензор Эйнштейна вручную. Немного грустно, но можно либо проделать вычисления самостоятельно, либо дать компьютеру сделать это за вас. После этого вы спрашиваете: хорошо, а какой должна быть правая часть уравнения Эйнштейна для рассматриваемой физической ситуации? То есть какими должны быть энергия, импульс, давление, напряжения и все остальные компоненты тензора энергии-импульса? И наконец, вы приравниваете обе стороны — тензор Эйнштейна и тензор энергии-импульса — и решаете получившиеся уравнения относительно тех неизвестных функций, которые все еще присутствуют в выбранном виде метрики. Например, какая-нибудь компонента может быть неизвестной функцией координаты или чего-то еще — именно такие функции и нужно найти.

Все это очень сложно, потому что тензор Эйнштейна строится из тензора Римана, а тензор Римана сам по себе чрезвычайно сложен. Даже Эйнштейн считал, что точное решение его уравнений, по сути, почти невозможно получить. Он предполагал, что можно находить приближенные решения, и сам так и делал, например при расчете отклонения света вблизи Солнца или прецессии орбиты Меркурия в общей теории относительности и в других подобных задачах. Но он думал, что получить точное решение будет слишком трудно. Однако не все были настроены столь пессимистично. Одним из таких людей был Карл Шварцшильд. Шварцшильд, как и Эйнштейн, был немецким физиком, но обстоятельства у него были совсем другими. Не забывайте, Эйнштейн представил общую теорию относительности в 1915 году, а в это время уже шла Первая мировая война.

Шварцшильд в то время действительно служил в германской армии. Но поскольку он был профессиональным физиком и астрономом, его не отправили бегать с винтовкой и штыком. Он занимался расчетами траекторий снарядов и артиллерийской стрельбы через линию фронта. При этом даже людям, работавшим на фронте, время от времени давали короткий отпуск. Во время одного из таких отпусков Шварцшильд вернулся в Берлин и посетил лекции Эйнштейна по общей теории относительности. И, судя по всему, подумал примерно так: «Это потрясающе, мне все это ужасно нравится». После этого он вернулся на фронт и попытался решить уравнение Эйнштейна для очень простой задачи — гравитационного поля Солнца. Он сказал: давайте идеализируем Солнце как идеально сферическое тело и будем рассматривать не его внутреннюю область, а пространство снаружи. А главное преимущество внешней области состоит в том, что там, в идеализированной постановке задачи, ничего нет.

То есть там нет вещества и энергии, поэтому вместо полного уравнения можно положить в пустом пространстве. Тогда остается решить более простое уравнение . Кроме того, Шварцшильд сказал: я рассматриваю статическую ситуацию, в которой ничего не меняется со временем. На этом этапе меня интересует только гравитационное поле Солнца, а не движение планет, поэтому зависимости от времени нет. И пространственная зависимость тоже сильно упрощается благодаря сферической симметрии. Как бы ни выглядела метрика, она может зависеть от расстояния до Солнца, но не должна зависеть от угла или направления. Все полностью сферически симметрично. Поэтому все величины зависят только от — расстояния от Солнца до рассматриваемой точки.

Решение Шварцшильда

Этих предположений оказалось достаточно, чтобы задача стала достаточно простой и поддавалась точному решению. Шварцшильд действительно ее решил. Он записал точное решение уравнения Эйнштейна, которое теперь называется метрикой Шварцшильда. Ее можно найти в любом учебнике, но я даже скажу, как она выглядит. Что вообще означает «решение уравнения Эйнштейна»? Это означает, что вы нашли метрику , то есть массив величин, которые в общем случае зависят от положения в пространстве и времени. Метрика Шварцшильда статична, поэтому от времени она вообще не зависит. От углов она тоже не зависит, так что остается зависимость только от радиальной координаты . В сферических координатах мы используем не , а . И для нашего обсуждения особенно важны компоненты и . Они связаны друг с другом как обратные величины, с учетом знака. В стандартных единицах, если временную координату записывать как , эти компоненты имеют вид и . Здесь — масса центрального объекта, а — расстояние до него. Зачем я вообще рассказываю вам эту формулу? Вы ведь все равно, скорее всего, ее не запомните, да и конкретные детали вам не особенно нужны. Но сейчас станет понятно зачем, потому что результат действительно поразительный.

Вот ради чего стоило продираться через все предыдущие рассуждения. Теперь у нас есть четко определенный алгоритм: мы предполагаем физически разумный вид метрики, подставляем его в уравнение Эйнштейна и решаем получившиеся уравнения, чтобы определить настоящую физическую метрику. Именно это и сделал Шварцшильд. Он отправил свое решение Эйнштейну. Эйнштейн был очень впечатлен, сразу согласился с результатом, и они начали разбираться, что именно это решение означает. Оказалось, что оно прекрасно согласуется с тем, что мы знаем о гравитационном поле Солнца. Но давайте теперь посмотрим на физический смысл результата Шварцшильда. Что такое ? Это временная компонента метрического тензора, элемент в левом верхнем углу нашей матрицы , если записывать метрику в обычном порядке координат. И она равна , где — расстояние до центрального объекта. Так что же происходит с этой величиной?

Компонента метрического тензора задает определенное соотношение. Вспомните, что говорил Минковский: что вообще сообщает нам метрика? С ее помощью мы вычисляем время, прошедшее по вашим собственным часам. Именно оно играет в пространстве-времени роль аналога расстояния в евклидовой геометрии. А компонента связывает время, прошедшее по вашим личным часам, с координатным временем . Именно это делает . Если вы движетесь только во времени и вообще не перемещаетесь в пространстве, то собственное время вдоль вашей траектории связано с координатным временем через . В используемых здесь единицах, где , можно сказать, что бесконечно малое собственное время равно умножить на соответствующий промежуток координатного времени.

Теперь посмотрим на функцию в тех же единицах . Что происходит, когда очень велико? Если вы находитесь очень далеко от Солнца, естественно ожидать, что его гравитационное поле становится практически несущественным. И действительно, при большом величина приближается к нулю. Поэтому становится примерно равным единице. То есть очень далеко от Солнца в метрике Шварцшильда собственное время, измеряемое вашими часами, практически совпадает с координатным временем. Именно этого мы и ожидали бы в привычной ньютоновской картине с ее универсальным временем. Хорошо, это своего рода проверка согласованности результата. Значит, пока все выглядит разумно.

Но по мере уменьшения ситуация меняется. При большом выражение приблизительно равно единице, однако по мере приближения к центральному объекту оно уменьшается и в некоторый момент обращается в ноль — при в единицах , или, если восстановить скорость света, при . Это и есть так называемый радиус Шварцшильда. Для настоящего Солнца такого снаружи не происходит, потому что физический радиус Солнца намного больше его радиуса Шварцшильда. Именно так рассуждали в то время Шварцшильд и Эйнштейн: зачем беспокоиться о странности при , если эта область находится глубоко внутри Солнца, а наше решение вообще было получено только для пустого пространства снаружи него? Но можно задать мысленный вопрос. Что произошло бы, если всю массу Солнца каким-то образом сжать в чрезвычайно компактный объект, радиус которого оказался бы меньше ?

По мере того как вы приближаетесь к , величина становится все меньше и меньше. При она в точности обращается в ноль. Это означает, что если вы находитесь очень близко к радиусу , то время, проходящее по вашим часам, оказывается примерно равным нулю, умноженному на координатное время. Иными словами, по сравнению с людьми, которые остались далеко от Солнца, для вас проходит почти совсем мало времени. Если вы подлетели очень близко к , провели там какое-то время, а затем вернулись, то для вас могли пройти всего несколько дней, тогда как для тех, кто остался далеко, прошли годы или даже больше. Это и есть замедление времени, а точнее гравитационное замедление времени. И происходило бы это потому, что вы находились рядом с горизонтом событий черной дыры.

Черные дыры как следствие уравнения

И вот главный вывод, то самое вознаграждение за весь предыдущий разговор: решение Шварцшильда уравнения Эйнштейна подразумевает существование объектов, которые мы сегодня называем черными дырами. В то время этого никто по-настоящему не осознал. Полное понимание пришло лишь в 1950-1960-х годах. Люди не до конца понимали, что происходит, потому что еще не научились правильно задавать вопросы о метрике так, чтобы ответы не зависели от выбранной системы координат. Идея о том, что координаты — всего лишь человеческий инструмент описания, еще не была усвоена в полной мере. Поэтому им казалось, что при время буквально останавливается, и они не знали, как понимать область дальше этого радиуса. Сегодня мы знаем, что можно выбрать более подходящие координаты, спокойно пройти через и попасть внутрь черной дыры. Но здесь важно другое. О черных дырах можно сказать огромное количество интересного, однако мой философский вывод состоит в том, что черные дыры уже скрывались внутри уравнения Эйнштейна с самого момента, когда оно было записано.

Почему уравнения важны

И в этом красота уравнений. Именно поэтому мы вообще проделали весь этот путь в подкасте. Почему так важно понимать не только слова, но и сами уравнения? Потому что Эйнштейн мог сколько угодно повторять фразы вроде «гравитация — это кривизна пространства-времени», «принцип эквивалентности» и так далее, но только когда появляется точное уравнение, его можно решить и спросить: какими свойствами обладают решения? Причем среди этих свойств могут оказаться такие, которых сам автор уравнения совершенно не ожидал. В очень реальном смысле уравнение знает больше, чем вы. Уравнение Эйнштейна уж точно знало о своих решениях гораздо больше, чем сам Эйнштейн. А Эйнштейн черных дыр вовсе не хотел. Он даже не слышал самого этого термина.

Сам термин «черная дыра», насколько я помню, ввел Джон Уилер уже после смерти Эйнштейна. Эйнштейн ушел из жизни, так и не узнав, что его собственная теория предсказывает существование объектов, которые мы сегодня называем черными дырами, не говоря уже о том, насколько важную роль они будут играть в современной астрофизике. Сегодня мы можем наблюдать окрестности черных дыр, фактически получать изображения их непосредственного окружения, регистрировать создаваемые ими гравитационные волны и делать многое другое. Именно поэтому уравнения не только интересны, но и так важны. Если относиться к ним всерьез, они предсказывают то, чего вы сами, возможно, никогда не смогли бы предвидеть. В этом красота и сила точного, универсального и количественного выражения законов физики. Поэтому уравнения — это не просто пугающий набор символов. Это принципиально важный способ мыслить о том, как устроен мир.

И это одновременно свидетельство удивительной силы самих законов физики. Да, перед нами математические уравнения, но уже сам факт того, что физические законы вообще могут принимать такую форму, поразителен. Еще удивительнее, что эти уравнения можно применять далеко за пределами того опыта, на основании которого они были первоначально сформулированы. Уравнение Эйнштейна, например, описывает раннюю Вселенную вскоре после Большого взрыва. Сам момент Большого взрыва, то есть условно , оно на самом деле не описывает, но уже через минуту после Большого взрыва уравнение Эйнштейна дает конкретное предсказание того, с какой скоростью должна расширяться Вселенная, и это предсказание оказывается правильным.

Именно правильным. Эйнштейн даже не знал, что существует такая вещь, как Большой взрыв, не говоря уже о том, чтобы сознательно пытаться его предсказать. Вот почему уравнения настолько особенные. И поэтому, как мне кажется, стоит приложить немного усилий, чтобы понять, что именно они пытаются нам сказать. Я действительно считаю, что почти любой человек способен успешно это сделать — и применительно к общей теории относительности, и к физике в целом. А в моей небольшой книге «Самые большие идеи во Вселенной: Пространство, время и движение» (The Biggest Ideas in the Universe: Space, Time and Motion) уравнений, конечно, гораздо больше. Это первый том, а впереди будут еще два. Надеюсь, книга вам понравится. А даже если нет, надеюсь, вам понравился этот выпуск подкаста. До свидания.