Как векторная алгебра упрощает дифференциальную геометрию

Окт 27, 2026

—

от автора

Пусть задана функция следующем уравнением в полярных координатах:

$r=f\left(\theta\right)$

Любую функцию в полярных координатах можно представить в декартовых с помощью следующей системе параметрических уравнений:

$\left\{\matrix{x=f(\theta)\cdot\cos\theta\\y=f(\theta)\cdot\sin\theta}\right.$

Тогда координаты направляющего вектора касательной к данной кривой в заданной точке будут:

$\vec{\boldsymbol{k}}=\binom{{x'}_\theta}{{y'}_\theta}$

А координаты радиуса-вектора следующие:

$\vec{\boldsymbol{r}}=\binom{f\left(\theta\right)\cdot\cos{\theta}}{f\left(\theta\right)\cdot\sin{\theta}}$

А косинус угла между векторами определяется по следующей формуле:

$\cos{\mu}=\frac{\vec{\boldsymbol{r}}\cdot\vec{\boldsymbol{k}}}{\left|\vec{\boldsymbol{r}}\right|\cdot\left|\vec{\boldsymbol{k}}\right|}$

В числителе — скалярное произведение двух векторов, в знаменателе – произведение их модулей.

В нашем случае:

${x'}_\theta=f'\left(\theta\right)\cdot\cos{\theta-f\left(\theta\right)}\cdot\sin{\theta}$ ${y'}_\theta=f'\left(\theta\right)\cdot\sin{\theta}+f\left(\theta\right)\cdot\cos{\theta}$

Тогда скалярное произведение векторов $\vec{\boldsymbol{r}}$ и $\vec{\boldsymbol{k}}$

$\vec{\boldsymbol{r}}\cdot\vec{\boldsymbol{k}}=f(\theta)\cdot\cos{\theta}\cdot\left(f'\left(\theta\right)\cdot\cos{\theta-f\left(\theta\right)}\cdot\sin{\theta}\right)+f(\theta)\cdot\sin{\theta}\cdot\left(f'\left(\theta\right)\cdot\sin{\theta}+f\left(\theta\right)\cdot\cos{\theta}\right)$ $\vec{\boldsymbol{r}}\cdot\vec{\boldsymbol{k}}=f(\theta)\cdot f'(\theta)$

Вычислим модули этих векторов:

$\left|\vec{\boldsymbol{r}}\right|=\sqrt{\left(f\left(\theta\right)\cdot\cos{\theta}\right)^2+\left(f\left(\theta\right)\cdot\sin{\theta}\right)^2}=f\left(\theta\right)\cdot\sqrt{\left(\cos{\theta}\right)^2+\left(\sin{\theta}\right)^2}=f\left(\theta\right)$ $\left|\vec{\boldsymbol{k}}\right|=\sqrt{\left(f'\left(\theta\right)\cdot\cos{\theta-f\left(\theta\right)}\cdot\sin{\theta}\right)^2+\left(f'\left(\theta\right)\cdot\sin{\theta}+f\left(\theta\right)\cdot\cos{\theta}\right)^2}=\sqrt{\left(f\left(\theta\right)\right)^2+\left(f'\left(\theta\right)\right)^2}$

Откуда:

$\cos{\mu}=\frac{f\left(\theta\right)\cdot f'\left(\theta\right)}{f\left(\theta\right)\cdot\sqrt{\left(f\left(\theta\right)\right)^2+\left(f'\left(\theta\right)\right)^2}}=\frac{f'\left(\theta\right)}{\sqrt{\left(f\left(\theta\right)\right)^2+\left(f'\left(\theta\right)\right)^2}}$ $\sin{\mu}=\sqrt{1-\left(\cos{\mu}\right)^2}=\sqrt{1-\left(\frac{f'\left(\theta\right)}{\sqrt{\left(f\left(\theta\right)\right)^2+\left(f'\left(\theta\right)\right)^2}}\right)^2}=\frac{f\left(\theta\right)}{\sqrt{\left(f\left(\theta\right)\right)^2+\left(f'\left(\theta\right)\right)^2}}$ $tg\ \mu=\frac{\sin{\mu}}{\cos{\mu}}=\frac{f\left(\theta\right)}{f'\left(\theta\right)}$

В результате альтернативного вывода данной формулы для угла между вектора-радиуса и кривой, заданной уравнением в полярных координатах, мы получили три варианта ее, которые могут использоваться для решения других математических и физических задач. В курсе дифференциальной геометрии выводится только последняя формула для тангенса этого угла.

ссылка на оригинал статьи https://habr.com/ru/articles/1100110/