Исправление ограничений произведения Джона Нэша путем введения одного параметра

Всем привет!

В данной статье я хочу попробовать исправить проблемы произведения Джона Нэша.

Содержание.

Что такое произведение Джона Нэша?
Проблемы этого произведения.
Исправление этих проблем.
Тестирование (математическое).
Вывод.

Что такое произведение Джона Нэша?

Произведение Джона Нэша — популярная формула из экономики, используется для торгов и вроде бы для игр.

Вот формула:

$\prod_{i=1}^n (L_i - D_i)$

Объясняю:

— это параметр который говорит: «Что будет если сделка состоится, какая это польза конкретно одному?».

— это параметр: «Что будет если сделка не состоится, какая польза конкретно одному?».

$\prod_{i=1}^n$ — означает «возьми числа от 1 до n, сделай с ними операцию (в нашем случае ) и все

это перемножь». То есть, например:

$n! = max(\prod_{i=1}^n i, 1)$

Делаем проверку:

Откуда 0 если мы идем от i=1? Ну, это я так описал «пустое произведение» для простоты.

$5! = max(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5, 1) = max(120, 1) = 120$

Всё верно, ведь 0! = 1, а 5! = 120.

Проблемы этого произведения.

Возьмем, например, два состояния — смерть (0) и жизнь (1).

Например, здоровый человек хочет пожертвовать собой ради спасения другого человека.

Для гипотетической ситуации возьмем то, что человек которого спасают — он «мертв» (он умрет если его не спасут).

Значит:

Для спасателя:

Для того, кого спасают:

Считаем произведение Нэша:

$(0 - 1) \cdot (1 - 0) = -1$

-1 означает «не надо спасать», условно.

Значит, система запретила нам делать героический поступок (даже если умрет 7 млрд человек если этот человек не спасет их).

Это одна из проблем.

И есть ещё несколько лазеек, но о них попозже.

Исправление этих проблем.

Не буду тянуть — начну с того что, мы добавляем ещё один внешний параметр:

$\eta_i \in \left[ -1, 1 \right]$

Этот коэффициент имеет диапазон от -1 до 1, и определяет — насколько выгодна сделка для остальных (ну это абстрактно так сказать), а не только для конкретного значения i.

Все что до нуля — «это плохо будет для остальных».
После нуля — «хорошо для остальных».

Само произведение:

$\prod_{i=1}^n max(\eta_i \cdot (\left| \eta_i \right| + D_i) + L_i - D_i, 0)$

Объясняю:

С начало вычисляем первую часть (самую важную): $m_i \cdot (\left| m_i \right| + D_i)$ — именно это добавление решает большую часть проблем.

Потом добавляем эту первую часть к и отнимаем от полученного этот самый .

Потом зажимаем в диапазон от 0 до бесконечности дабы не получить баг под названием «минус и минус дают плюс вместе» (это не баг, но в контексте нашего произведения — баг).

Ну, а дальше вычисляем произведение ( $\prod$ ).

Перейдем к тестированию!

Тестирование (математическое).

И так.

Начну с первого примера — убийца хочет убить человека.

Значит, считаем (условно те же два состояния жизни и смерти — 1 и 0):

У убийцы:

У мирного человека:

Теперь считаем само произведение:

$max((-1) \cdot (1 +1) + 1 - 1, 0) \cdot max(0 \cdot (0 + 1) + 0 - 1, 0) = 0 \cdot 0 = 0$

Как видим, система решила что убивать нельзя.

Но, теперь главное:

Произведение Нэша на тех же данных будет равно 0 (0 * -1 = 0).

Возможно вопрос — «тогда зачем вся это каша?».

Вот зачем:

Посчитаем для другой ситуации: убийца убивает человека и потом самого себя

Значит у каждого будет L — D = -1 (а в моей произведении для убийцы улетит в глубокий минус)

Моё произведение выдаст те же 0.

Теперь считаем произведение Нэша:

$(-1) \cdot (-1) = 1$

Система решила что «ладно, если убьешь потом себя — да, так можно».

Бред? Ну да, очевидно.

Теперь считаем с ситуацией где надо спасать человека путем пожертвования собой — как мы выяснили, произведение Нэша выдаст строгое -1.

Теперь считаем по моему произведению:

Спасатель:

Того, кого спасают:

Считаем:

$max(1 \cdot (\left| 1 \right| + 1) + 0 - 1, 0) \cdot max(0 \cdot (\left| 0 \right| + 0) + 1 - 0, 0) = (2 - 1) \cdot (1 - 0) = 1$

Как видим, система разрешила пожертвовать собой ради спасения другого!

Значит, система решила две проблемы произведения Нэша.

Вывод.

Ну, я не считаю что это произведение (назовем произведением Дмитрия, моё имя Дмитрий просто) решает прямо ВСЁ что не может произведение Нэша (например, надо мне попытаться доказать что система может выбрать убить одного человека вместо убийства 100 человек, как в дилемме вагонетки), но пока что это, кажется, наилучший вариант.

Сама статья мне не нравится немного, но, прошу вас — дискутируйте, критикуйте, находите изъяны — я на всё постараюсь ответь (по существу).

ссылка на оригинал статьи https://habr.com/ru/articles/1100240/