Многие слышали о великом и ужасном быстром преобразовании Фурье (БПФ / FFT — fast fourier transform) — но как его можно применять для решения практических задач за исключением JPEG/MPEG сжатия — зачастую остается неясным вопросом.
Недавно я наткнулся на интересную реализацию игры «Жизнь» Конвея, использующую быстрое преобразование Фурье(!!!) — и надеюсь, оно поможет вам понять всю силу и универсальность этого алгоритма.
Правила
Вспомним правила классической «Жизни» — на поле с квадратными клетками, живая клетка погибает если у неё больше 3 или меньше 2 соседей, и если у пустой клетки ровно 3 соседей — она рождается. Соответственно, для эффективной реализации алгоритма нужно быстро считать количество соседей вокруг клетки.
Алгоритмов для этого существует целая куча (в том числе и моя JS реализация). Но есть у задачи и математическое решение, которое может давать хорошую скорость для плотно заполненных полей, и быстро уходит в отрыв с ростом сложности правил и площади/объема суммирования (например в Smoothlife-подобных, и 3D вариантах)
Реализация на БПФ
Идея алгоритма следующая:
- Формируем матрицу суммирования (filter), где 1 стоят в ячейках, сумму которых нам нужно получить (8 единиц, остальные нули). Выполняем над матрицей прямое преобразование Фурье (это нужно сделать только 1 раз).
- Выполняем прямое преобразование Фурье над матрицей с содержимым игрового поля.
- Перемножаем каждый элемент результата на соответствующий элемент матрицы «суммирования» из пункта 1.
- Выполняем обратное преобразование Фурье — и получаем матрицу с нужной нам суммой количества соседей для каждой клетки.
Весь этот процесс называется сверткой / сonvolution.
//Author: Mark VandeWettering http://brainwagon.org/2012/10/11/crazy-programming-experiment-of-the-evening/ #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #include <complex.h> #include <unistd.h> #include <fftw3.h> #define SIZE (512) #define SHIFT (18) fftw_complex *filter ; fftw_complex *state ; fftw_complex *tmp ; fftw_complex *sum ; int main(int argc, char *argv[]) { fftw_plan fwd, rev, flt ; fftw_complex *ip, *jp ; int x, y, g ; srand48(getpid()) ; filter = (fftw_complex *) fftw_malloc(SIZE * SIZE * sizeof(fftw_complex)) ; state = (fftw_complex *) fftw_malloc(SIZE * SIZE * sizeof(fftw_complex)) ; tmp = (fftw_complex *) fftw_malloc(SIZE * SIZE * sizeof(fftw_complex)) ; sum = (fftw_complex *) fftw_malloc(SIZE * SIZE * sizeof(fftw_complex)) ; flt = fftw_plan_dft_2d(SIZE, SIZE, filter, filter, FFTW_FORWARD, FFTW_ESTIMATE) ; fwd = fftw_plan_dft_2d(SIZE, SIZE, state, tmp, FFTW_FORWARD, FFTW_ESTIMATE) ; rev = fftw_plan_dft_2d(SIZE, SIZE, tmp, sum, FFTW_BACKWARD, FFTW_ESTIMATE) ; /* initialize the state */ for (y=0, ip=state; y<SIZE; y++) { for (x=0; x<SIZE; x++, ip++) { *ip = (fftw_complex) (lrand48() % 2) ; } } /* initialize and compute the filter */ for (y=0, ip=filter; y<SIZE; y++, ip++) { for (x=0; x<SIZE; x++) { *ip = 0. ; } } #define IDX(x, y) (((x + SIZE) % SIZE) + ((y+SIZE) % SIZE) * SIZE) filter[IDX(-1, -1)] = 1. ; filter[IDX( 0, -1)] = 1. ; filter[IDX( 1, -1)] = 1. ; filter[IDX(-1, 0)] = 1. ; filter[IDX( 1, 0)] = 1. ; filter[IDX(-1, 1)] = 1. ; filter[IDX( 0, 1)] = 1. ; filter[IDX( 1, 1)] = 1. ; fftw_execute(flt) ; for (g = 0; g < 1000; g++) { fprintf(stderr, "generation %03d\r", g) ; fftw_execute(fwd) ; /* convolve */ for (y=0, ip=tmp, jp=filter; y<SIZE; y++) { for (x=0; x<SIZE; x++, ip++, jp++) { *ip *= *jp ; } } /* go back to the sums */ fftw_execute(rev) ; for (y=0, ip=state, jp=sum; y<SIZE; y++) { for (x=0; x<SIZE; x++, ip++, jp++) { int s = (int) round(creal(*ip)) ; int t = ((int) round(creal(*jp))) >> SHIFT ; if (s) *ip = (t == 2 || t == 3) ; else *ip = (t == 3) ; } } /* that's it! dump the frame! */ char fname[80] ; sprintf(fname, "frame.%04d.pgm", g) ; FILE *fp = fopen(fname, "wb") ; fprintf(fp, "P5\n%d %d\n%d\n", SIZE, SIZE, 255) ; for (y=0, ip=state; y<SIZE; y++) { for (x=0; x<SIZE; x++, ip++) { int s = ((int) creal(*ip)) ; fputc(255*s, fp) ; } } fclose(fp) ; } fprintf(stderr, "\n") ; return 0 ; }Для сборки нужна библиотека FFTW. Ключи для сборки в gcc:
gcc life.cpp -lfftw3 -lm -lstdc++
в Visual Studio нужны изменения в работе с комплексными числами.
Результат вполне ожидаемый:
«Закольцовывание» поля получается автоматически из-за БПФ.
Плюшки БПФ для этой задачи
- Вы можете суммировать любое количество элементов с любыми коэффициентами — а время работы остается фиксированным, N2logN. Т.е. если для классической жизни — обычные алгоритмы на заполненных полях все еще достаточно быстрые, то с увеличением площади/объема суммирования — они становятся все медленнее, а скорость работы БПФ остается фиксированной.
- БПФ — уже написан, отлажен и оптимизирован идеально — с использованием SSE, AVX.
- Вы легко можете использовать все процессоры и видеокарты используя — многопроцессорные и CUDA/OpenCL реализации БПФ. Опять же, об оптимизации БПФ вам заботится не нужно.
- Тот же подход применим и к 3D пространству.
Надеюсь, мистики в преобразовании Фурье теперь стало немного меньше.
ссылка на оригинал статьи http://habrahabr.ru/post/180135/
Добавить комментарий