Насколько большим может быть дрон на солнечных батареях?

Идея кажется гениальной: разместить на дроне солнечные батареи, и тогда ему не нужен будет аккумулятор. Без него дроном можно управлять, пока светит солнце. Это прекрасно (предполагая, что ваши намерения чисты). Именно это проделали студенты Сингапурского национального университета.

Но из видео ясно, что их дрон плоский, как лист. Поэтому на самом деле вопрос звучит так: какой массой и размером может обладать такое устройство, чтобы оно смогло подняться в воздух исключительно на солнечной энергии? Я отвечу на этот вопрос и предоставлю вам специальный калькулятор для квадрокоптеров на солнечных батареях.

Солнечная энергия

Мощность – это энергия в единицу времени, измеряемая ваттами. В идеале нужно перенаправить всю энергию с солнечных батарей в полёт. Это значит, что никакого аккумулятора для временного хранения энергии не нужно – и хорошо, потому что он только увеличил бы массу. Но сколько энергии можно выжать из солнечной панели? Это и есть реальная проблема.

Энергетический выход солнечных батарей зависит от следующих величин:

• Мощности Солнца. Мощность солнечной энергии на поверхности Земли равняется примерно 1000 Вт на квадратный метр. Это значение изменить нельзя, не изменив Солнце (что не рекомендуется делать) (Е)
• Размер солнечной батареи. Чем больше батарея, тем больше мощность. Начнём с 0,04 м² (А)
• Эффективность солнечной батареи. Просто потому, что на панель падает 1000 Вт/м², не означает, что вся эта энергия превратится в электричество. Мне кажется достоверной цифра в 28% (е)
• Угол ориентации. Лучше, если солнечный свет падает на панель перпендикулярно. Но Солнце, скорее всего, не будет находиться прямо в зените. Как насчёт угла θ = 45°?

В результате мы получим энергетический выход по следующему уравнению:

И это солнечная мощность.

Энергия полёта

Посчитать энергию полёта квадрокоптера немного сложнее. Тем не менее, этот расчёт будет верным для любого летательного аппарата, взлетающего вверх при помощи опоры на воздух.

Начнём с природы сил и движения. Чтобы придать покоящемуся предмету скорость, требуется сила. Размер силы зависит от массы предмета, величины скорости и времени, за которое происходит её изменение. Заменим предмет на воздух – именно его используют наши аппараты для полётов. Реактивную силу можно увеличить, используя большую массу воздуха или большую площадь ротора. Также её можно увеличить, увеличив скорость воздуха.

Моделирование тяги квадрокоптера

Аэродинамику вращающегося несущего винта тривиальной назвать нельзя. Однако такие проблемы не останавливали меня раньше на пути к построению упрощённой модели. В следующей, чрезвычайно упрощённой физической модели, я буду считать, что тяга вертолёта появляется благодаря изменению импульса движущегося вниз воздуха. Чтобы достичь достаточной тяги для полёта вертолёта, у нас есть два способа. Можно взять небольшой винт и очень быстро толкать воздух вниз, или взять большой винт и толкать воздух медленнее.

Если площадь винта А, а плотность воздуха ρ, тогда подъёмная сила выражается через скорость воздуха следующим уравнением:

Что насчёт мощности? Мощность – это изменение кинетической энергии воздуха, делённое на временной промежуток. Чем быстрее воздух, тем больше кинетическая энергия и короче временной промежуток. Полный вывод этой формулы я приводил в статье про летательный аппарат на мускульной силе. Вот выражение для мощности.

Поскольку мощность пропорциональна кубу скорости воздуха, для вертолёта на мускульной силе она должна быть маленькой, а, значит, вертолёт должен быть большим. Так и есть.

Теперь к моему любимому графику. Я знал, что моя модель может оказаться абсолютно несостоятельной, поэтому я изучил данные по реальным вертолётам. Исходя из массы и размера винта, можно вычислить мощность полёта и сравнить её с указанной мощностью двигателя. Вот график – вычисленная мощность против указанной мощности для некоторых вертолётов.

Я был очень удивлён линейности полученных данных.

Больше данных о вертолётах

Один мой друг, увлёкшийся созданием собственного квадрокоптера, показал мне сайт T-Motor, где перечислено множество электромоторов и данных по их эффективности. Вот, какие характеристики там указаны:

• Размер.
• Напряжение.
• Ток.
• Тяга в зависимости от дросселя.
• Скорость вращения.
• Мощность – произведение тока и напряжения.

Что можно с этим сделать? Поскольку у меня есть размер и тяга винта, я могу подсчитать скорость воздуха. Её можно использовать для подсчёта теоретической мощности и сравнить с указанной. Вот, что я получил.

Ага. Всё ещё линейная зависимость. Здесь я уже немного поволновался – казалось маловероятным, что моя упрощённая модель тяги вертолёта сработает на таких масштабах. Причём у графиков даже наклон похож – 0,656 и 0,411. Что означает этот наклон? Он означает, что моя расчётная мощность примерно в 2 раза меньше. Если записать мощность, как:

Тогда расчётная мощность совпадёт с указанной. Не уверен, откуда взялась двойка. Возможно, я сделал ошибку, взяв производную при подсчётах средней скорости воздуха.

Если у нас есть данные, можно построить ещё один график, призовой. Зависимость моей расчётной скорости воздуха от скорости вращения винта.

Что это значит? Чем быстрее вращаются лопасти винта, тем быстрее движется воздух. Подозреваю, что тут имеет значение ещё одна переменная – наклон лопастей.

Обратно к солнечной энергии

Но ведь нам не нужна тяга, нам нужна мощность. Увеличение скорости воздуха увеличивает его кинетическую энергию. Чем быстрее увеличивается кинетическая энергия, тем больше для этого требуется мощности.

Это значит, что можно сделать летательный аппарат с небольшими винтами, очень быстро толкающими воздух, или с большим винтом, толкающим воздух медленнее. Но энергия двух этих вариантов разная. Кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости, поэтому меньшему винту требуется гораздо больше энергии для полётов. Поэтому реальный вертолёт на мускульной силе должен быть таким огромным, чтобы ему хватило энергии человека.

Подсчёт мощности полёта

Вместо того, чтобы учитывать все возможные варианты размера квадрокоптера, винтов и солнечных панелей, а также их эффективности, я просто сделал калькулятор – программу на Python, считающую размер винта, необходимого для того, чтобы аппарат летал при заданных параметрах.

С моими первоначальными прикидками я получил диаметр винта равным 5,9 см. Звучит правдоподобно. А все варианты с увеличением массы или изменением размера солнечных панелей теперь можно подсчитать на калькуляторе.