Математика и философия

В последнее время можно видеть тенденцию в разрыве научного и философского мировоззрения. Даже значительные ученые высказывают мнение о бесполезности философии для современной науки, забывая о том, что сам научный подход бы предложен философией. Стивен Хокинг в своей книге «Краткая история времени» пишет о том, что в современном мире физики так продвинулись в понимании природы пространства и времени, что философия, которая традиционно рассматривала эти вопросы стала не актуальной. Стереотипным мнением так же является то, что математика является исключительно строго логической дисциплиной и развивается строго последовательно. Наша задача показать, что это не так и показать, что математика и философия всегда двигались вместе.

Философию зачастую определяют как историю идей. Математика всегда была частью философии. Считается, что Пифагор ввел понятие «философия», а основой философии самого Пифагора была мысль, что числа — мера всего. Платон считал математику единственной подлинной наукой в силу ее четкой определенности, которая оперирует с незыблемым и неподвижным миром идей. Важной частью метафизики Аристотеля так же являются абстракции, которые всегда относили к математическими. Такое как целое и части, множества, целые и непрерывные величины.

Крупные математические прорывы в основе своей несли прежде всего философский смысл. Уже в арифметике мы сталкиваемся с таким философским понятием, как бесконечность. Еще Аристотель в «Физике» отмечал то, что хотя натуральный счет в математике корректно отображает физический счет предметов, в физическом мире понятие бесконечности теряет смысл. Так же сложной философской проблемой является понятие точки, которая ни имеет размера. Не имея физического аналога базовое математическое понятие, тем не менее корректно описывает физический мир на языке геометрии.

Стефан Банах предложил следующий афоризм: «Математик — это тот, кто умеет находить аналогии между утверждениями, лучший математик — тот, кто устанавливает аналогии доказательств, более сильный математик — тот, кто замечает аналогии теорий; но можно представить себе и такого, кто между аналогиями видит аналогии.». Фактически это то место, где математика сливается с философией, так как поиск «аналогий между аналогиями» по сути гносеологический, т. е. философский вопрос.

Схоластики пытались вывести суть бесконечно малого через известную задачу нахождения числа ангелов на конце иглы, как что‑то не имеющее размера, но реально существующее.

Декарт через идею механистичности мира зафиксировал его в своей системе координат и постулировал абсолютность и фундаментальность пространства. Тогда как Лейбниц рассматривал пространство лишь в контексте взаимодействия объектов и как нечто не имеющее контекста вне их движения.

Идеи Ньютона о начале дифференциального исчисления, по‑видимому, были под влиянием масонских концепций Боге (Бог — великий Архитектор, создавший механизм Вселенной), соединяющими с одной стороны механистичность мира, с другой бесконечность самого Бога, что подразумевает бесконечность и механистичность пространства на всех уровнях. Что бы четче продемонстрировать эту связь, можно напомнить, что по схоластическим убеждениям духовное можно было соотнести с бесконечно малым, а значит флексии Ньютона, возможно, были чем‑то, что позволяет математически формализировать духовное, пронизывающее пространство. В пользу этой гипотезы выступает и то, что своим теологическим трудам сам Ньютон давал большее значение, чем физике и математике. В некоторых из своих теологических трудов Ньютон обсуждал идею, что движение небесных тел может быть результатом вмешательства бога или других сверхъестественных сил.

В противовес идеям Ньютона можно привести предшествующего ему Демокрита, который отрицал существование богов и материя в понимании, которого не имела бесконечного деления, заканчиваясь атомами, которые двигаются хаотично. Возможно, имея воззрения на физику, схожую с идеями Демокрита, которые ближе к современным, Ньютон не предложил бы и не развил идеи дифференциального исчисления и ньютоновской механики.

Философия модерна довела понятие детерминизма до абсолюта. Материалистичный взгляд на мир доводит до абсолюта идею скрытого и считает сложность математики лишь следствием слабости человеческого мозга и ставит во главу угла очевидность.

Долгое время считалось, что математика стоит только на одних лишь доказательствах. Философы математики прошлого, конечно, не отрицали роль творчества, но относили его скорее к несовершенству человеческого мозга и человеческой сущности. Они старались отойти от него. Бертран Рассел даже рассчитывал реконструировать все здание математики, отталкиваясь от двух простых логических аксиом. Но с приходом Геделя и его теоремы о неполноте стало ясно, что этот подход глубоко ошибочен и всегда. Откуда такие алгебраические системы, в которых будет существовать аксиоматика, оказалось лишь из других алгебраических систем. Бертран Рассел ставил своей целью вывести всю математику всего из двух самоочевидных логических аксиом. Однако, дойдя до предела эта идея рухнула. Уже его ученик Витгенштейн предложил философию, в котором опираясь на идею Рассела о том, что мир, описанный с помощью бесконечных логических построений строго герметичен и математика не говорит ни о чем, т.к. все утверждения являют собой тождество. По сути, Витгенштейн сделал в философии то, что Гедель сделал в математике с его теоремой о неполноте. Попытка логического доказательства отсутствия, скрытого только подсветило проблему над‑бытийности

Математика принципиально не отличается от других видов человеческой деятельности. Хайдеггер говорил о том, что в последнее время наше мышление слишком подчинено языку, игнорируя такой способ мышление, как видение. Математик Вавилов пишет: »Нельзя знать математику, но можно быть математиком. Быть математиком означает, в первую очередь, видеть, обладать сверх‑зрением, позволяющим смотреть сквозь стены и поверх барьеров — Ma chi ha gli occhi nella fronte e nella mente.»

Таким образом мы видим, что быть математику и использовать математику — принципиально разные вещи, так как быть математиком — понимать математику как зрение, тогда как использовать математику — понимать математику как язык.

Математические аксиомы самоочевидны только на первый взгляд. Уже математика Евклида вводит в свою основу такую сложную философскую концепцию, как бесконечность. Математика обязана своей глубине и возможностям прежде всего из‑за глубины аксиоматики. Суть математики — это не доказательства. Доказательства — это язык математики, но не сама математика. Настоящая математика появляется там, где появляется новое видение и новая аксиоматика.

На данный момент существует определенное расхождение философского и математического взгляда на мир. Кант утверждал, что арифметика порождает время, поскольку временные отношения могут быть выражены числами, а геометрия порождает пространство, поскольку пространственные отношения могут быть выражены геометрическими фигурами и законами. Более современные взгляды на мир говорят о том, что ни число, ни вектор не фундаментальны, а более фундаментальна симметрия и действия. Арифметика и геометрия существуют потому, что преобразования математических величин симметричны и базовым является алгебра преобразований и в этом смысле арифметика и геометрия эквивалентны, если в терминах теории групп они изоморфны.

Вавилов в своей лекции «математическое доказательство — вчера, сегодня, завтра» утверждал следующее: В новых математических работах важно не отсутствие ошибок, а наличие новых идей. Приводятся в пример доказательства топологов, которые основаны на восприятии изображений, иллюстрирующие мысль тополога, при этом недоступные для понимания не, специалиста и представляющиеся ничтожными для алгебраиста, тем не менее принимающихся в среде специалистов по топологии. Так же приводятся в пример доказательства теорем Гаусса, ошибки в которых были найдены только через 70 лет, когда математика ушла вперед. В действительности те доказательства, которые мы не напишем, их и писать не нужно, потому что их читать никто не будет. Доказательство состоит в том, чтобы самому поверить. Поверить настолько, чтобы убедить других. С чистой совестью. Важны идеи, которые развывшись через некоторое время сожмут все в тривиальные доказательства. Как сжалась евклидова геометрия. На данный момент для профессионального математика ни одна из теорем [евклидовой геометрии] проблемы не представляет, потому что это чисто механическая задача при помощи базиса Гремера сводится к компьютерному вычислению. Вся школьная геометрия сводится к вычислению с многочленами.