Параметрические сплайны на плоскости

Рассмотрим задачу: на плоскости дан набор точек и по ним надо, при помощи параметрических сплайнов, построить кривую ( замкнутую или незамкнутую ).
Обычно в таких случаях применяют кубические сплайны, я же рекомендую квадратичные, как более простые.
Итак, нам надо построить многочлен P(t) = A · t² + B · t + C. Здесь и далее будем обозначать вектора большими буквами, а скаляры — малыми. Параметр t меняется от 0 до 1.
Для построения отдельного сплайна нам понадобятся крайние точки P₀ и P₁ и направления нормалей к кривой в этих точках: N₀ и N₁. Длина N₀ и N₁, как увидим позже, может быть произвольной. Главное — ненулевой.
Из условий непрерывности находим:

С = P₀
A + B = P₁ — P₀

А из условий гладкости следует ( касательная должна быть перпендикулярна нормали ):

N₀ · B = 0
N₁ · ( 2·A + B ) = 0

Подставляем выражение для A из первой системы во вторую получим:

N₀ · B = 0
N₁ · B = 2 · N₁ · ( P1 — P₀ )

Это СЛАУ второго порядка, решив которую, найдём неизвестный вектор B, а зная его, определим вектор A. Система имеет решение только в случае, если нормали не параллельны ( выражение N_0x · N_1y — N_0y · N_1x не равно нулю ). Иначе считаем вектор A равным нулю, а B = P₁ — P₀, то есть сплайн вырождается в отрезок прямой. Решать систему даже второго порядка, я рекомендую методом Гаусса с выбором ведущего элемента, а не методом Крамера. В случае почти вырожденной матрицы разница может быть заметной.
Применим эти сплайны к аппроксимации единичной окружности. Получим:

В тех случаях, когда направление нормалей неизвестно, я поступаю следующим образом. Для текущей точки проводим отрезок между предыдущей точкой и следующей. Затем строим перпендикуляр к этому отрезку:

Можно придумать что-то другое, но так получается совсем просто:
N_i,x = P_i+1,y — P_i-1,y
N_i,y = P_i-1,x — P_i+1,x
Добавлю, что в одну сторону смотрит нормаль или в противоположную — разницы нет.
Ниже показана кривая построенная на случайном наборе точек и с нормалями определёнными указанным методом: