Классическая механика: метод Рауса и задача о кольцах на вращающемся стержне

В этой статье мы применим метод приведённого потенциала к одной системе, которая, несмотря на всю свою простоту, демонстрирует необычные движения и обладает неожиданным законом сохранения.

Описание системы. Длинный гладкий стержень может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину . Угол между стержнем и осью — прямой.

Момент инерции стержня относительно этой оси равен . По обе стороны от точки на стержень надеты два маленьких кольца массы каждое. Кольца соединены с точкой посредством одинаковых невесомых пружин жесткостью $\gamma > 0$ каждая. Будем считать, что в недеформированном состоянии длина каждой пружины равна нулю.

Анализ. Это система с тремя степенями свободы: угол поворота стержня обозначим через $\varphi$ , а через и — расстояния от колец до точки .

Лагранжиан системы имеет вид:

$L = \frac{J}{2}\dot\varphi^2 + \frac{m}{2}\big(\dot x^2 + \dot y^2 + (x^2 + y^2)\dot\varphi^2\big) - \frac{\gamma(x^2 + y^2)}{2}.$

Удобно сделать следующую замену переменных $(\varphi, x, y) \mapsto (\varphi, r, \psi)$ :

$x = r\cos\psi, \quad y = r\sin\psi, \quad r > 0.$

Тогда:

$L = \frac{J}{2}\dot\varphi^2 + \frac{m}{2}\big(\dot r^2 + r^2\dot\psi^2 + r^2\dot\varphi^2\big) - \frac{\gamma r^2}{2}.$

Для анализа задачи воспользуемся методом Рауса. Заметим, что координаты $\varphi$ и $\psi$ являются циклическими (лагранжиан явно от них не зависит), поэтому соответствующие им сопряженные импульсы

$P_\psi = \frac{\partial L}{\partial \dot\psi} = mr^2\dot\psi, \quad P_\varphi = \frac{\partial L}{\partial \dot\varphi} = (J + mr^2)\dot\varphi$

являются первыми интегралами, т.е. сохраняют свои значения в процессе движения.

С $P_\varphi$ всё ясно — это проекция момента импульса системы на ось вращения. А вот существование интеграла $P_\psi$ непосредственно из общих теорем курса физики не вытекает.

Функция Рауса $R(r, \dot r, P_\psi, P_\varphi)$ строится по правилу:

$R = L - P_\psi \dot\psi - P_\varphi \dot\varphi,$

где

$\dot\psi = \frac{P_\psi}{mr^2}, \quad \dot\varphi = \frac{P_\varphi}{J + mr^2}.$

Подставляя выражения для скоростей через импульсы и упрощая, получаем итоговый вид:

$R = \frac{m\dot r^2}{2} - \frac{P_\psi^2}{2mr^2} - \frac{P_\varphi^2}{2(J + mr^2)} - \frac{\gamma r^2}{2}.$

В учебниках по теоретической механике доказывается теорема, согласно которой уравнение движения для принимает вид уравнения Лагранжа с лагранжианом :

$\frac{d}{dt}\frac{\partial R}{\partial \dot r} - \frac{\partial R}{\partial r} = 0.$

Таким образом, задачу можно свести к анализу абстрактной системы с одной степенью свободы: точка массой движется по лучу в потенциальном поле с потенциалом

$V(r) = \frac{P_\psi^2}{2mr^2} + \frac{P_\varphi^2}{2(J + mr^2)} + \frac{\gamma r^2}{2}.$

Здесь константы $P_\psi$ и $P_\varphi$ выступают в роли параметров. Функция называется приведенным (эффективным) потенциалом.

В случае общего положения, когда обе константы $P_\psi$ и $P_\varphi$ отличны от нуля, график функции имеет вид:

Минимум потенциала находится стандартным способом из уравнения . Мы не будем искать его; важно лишь то, что он существует и единственен.

Этому минимуму в абстрактной системе отвечает устойчивое положение равновесия. Можно даже период малых колебаний посчитать.

В исходной системе данному положению равновесия соответствует движение, при котором стержень совершает равномерное вращение с угловой скоростью

$\dot\varphi = \frac{P_\varphi}{J + mr_*^2},$

а кольца движутся по стержню так, что их координаты описывают в плоскости окружность радиуса c центром в нуле. При этом точка движется по этой окружности с постоянной угловой частотой

$\dot\psi = \frac{P_\psi}{mr_*^2}.$

ссылка на оригинал статьи https://habr.com/ru/articles/1025156/