В 1896 году математик Эрнст Цермело пришёл к Людвигу Больцману с доказательством. Он взял теорему Пуанкаре о возвращении и показал: если любая система рано или поздно возвращается в исходное состояние — значит энтропия вселенной тоже периодически убывает. Что противоречит второму началу термодинамики. Что ломает всю статистическую физику Больцмана.
Больцман не стал отрицать математику. Он согласился: да, убывает. Просто ждать нужно так долго что это число не помещается ни в одну запись. Но — не теоретически невозможно.
Цермело счёл это уклончивым ответом. Больцман знал что это единственно честный.
Потому что математика здесь беспощадна. Если вероятность события не равна нулю — при бесконечном времени оно не просто «может» произойти. Оно обязано произойти.
Оглавление
-
Математика, которой нас не учили
-
Теорема Пуанкаре: вселенная обязана повториться
-
Мозг Больцмана: сознание из пустоты
-
Прямо сейчас существует ваша точная копия
-
После конца вселенной — что дальше
-
Что это значит для нас
1. Математика, которой нас не учили
Вы бросаете монету. Вероятность орла — 50%. Сколько раз нужно бросить чтобы гарантированно выпал орёл хотя бы один раз?
Строго говоря — никакое конечное число не даёт стопроцентной гарантии. Но вероятность того что орёл не выпадет ни разу за N бросков:
P(ни одного орла за N бросков) = (0,5)^N
При N = 10: вероятность «ни одного орла» = 0,1%. При N = 100: вероятность «ни одного орла» = 0,0000000000000000000000000001%.
Она стремится к нулю. Никогда его не достигает.
Теперь возьмём событие с вероятностью 0,000000001% — одна попытка из ста миллиардов. Кажется: невозможно. Но:
P(событие не произойдёт за N попыток) = (1 − 0,000000001/100)^N
При N = 100 миллиардов это число уже меньше 37%. При N → ∞ оно стремится к нулю.
Вероятность того что событие не произойдёт никогда при бесконечном числе попыток равна нулю.
Перевёрнутая формулировка: вероятность того что событие произойдёт хотя бы один раз при бесконечном числе попыток равна 100%.
Математика девятого класса. Мне понадобилось несколько дней чтобы принять что эта формула говорит буквально то что говорит — без оговорок. Её следствия пугают.
2. Теорема Пуанкаре: вселенная обязана повториться
В 1890 году Анри Пуанкаре доказал теорему о возвращении.
Формулировка: любая замкнутая физическая система с конечным объёмом фазового пространства через достаточно большое время вернётся в состояние сколь угодно близкое к исходному.
Если у системы конечное число возможных состояний — она рано или поздно повторится. Не «может повториться». Обязана.
Фазовое пространство — математический объект где каждая точка описывает полное состояние системы: положение и скорость каждой частицы. Для газа из N молекул в ящике фазовое пространство имеет 6N измерений. Теорема говорит: траектория системы в этом пространстве бесконечно возвращается в окрестность любой точки через которую прошла.
Для вселенной — если она замкнута — время возвращения порядка:
T_Пуанкаре ~ 10^(10^120) лет
Возраст вселенной — 13,8 миллиарда лет, примерно 10^10. Время Пуанкаре — это 10^120 в показателе степени над этим числом. Число без названия. Конечное.
Именно это открытие довело Больцмана до края. Цермело использовал его как оружие: если вселенная повторяется — значит энтропия тоже периодически убывает, что ломает второе начало термодинамики. Больцман ответил: да, убывает. Просто ждать нужно настолько долго что это практически невозможно. Но — не теоретически.
Больцман оказался прав. Это его не спасло.
3. Мозг Больцмана: сознание из пустоты
Подождите. Прежде чем читать дальше — ответьте себе: что доказывает что прямо сейчас вы — настоящий человек, а не случайная флуктуация материи с ложными воспоминаниями?
Ответили?
Если вселенная существует бесконечно долго и любое состояние повторяется — то рано или поздно квантовая флуктуация соберёт из случайных атомов работающий мозг. С воспоминаниями, ощущениями, мыслями. Мозг который думает что он — вы.
Вероятность такой флуктуации:
P(Мозг Больцмана) ~ e^(−S), где S ~ 10^(10^26)
Невообразимо мала. При бесконечном времени — неизбежна.
Мозг Больцмана откроет глаза в абсолютной темноте мёртвой вселенной. У него будут воспоминания о жизни — о детстве, работе, людях которых он любил. Эти воспоминания ненастоящие — они случайно сложились из флуктуации. Но он не будет об этом знать.
Откуда вы знаете что вы не Мозг Больцмана прямо сейчас?
Строго говоря — не знаете. Это не шутка. Это одна из серьёзных открытых проблем современной космологии: если Мозги Больцмана неизбежны при бесконечном времени — их должно быть бесконечно больше чем обычных наблюдателей. Значит любой наблюдатель с большей вероятностью является Мозгом Больцмана чем реальным человеком.
Это называется «проблема Больцмана». До сих пор не решена. Я не знаю как её решить — и кажется никто не знает.
Это утверждение звучит абсурдно. Вот почему физики его всё равно принимают всерьёз.
Стандартная космологическая модель Lambda-CDM предсказывает бесконечное будущее вселенной. Если будущее бесконечно, а вероятность Мозга Больцмана ненулевая — по определению геометрической прогрессии их число бесконечно. Бесконечность Мозгов Больцмана против конечного числа обычных наблюдателей — это не повод отмахнуться, это математический конфликт внутри стандартной модели. Единственный выход — либо вселенная конечна во времени, либо модель неверна.
4. Прямо сейчас существует ваша точная копия
Инфляционная космология предполагает что наблюдаемая вселенная — крошечный пузырь в бесконечном пространстве. Наблюдаемая часть — сфера радиусом 46 миллиардов световых лет. За горизонтом — ещё пространство. Потенциально бесконечное.
Если пространство бесконечно и вещество в нём распределено примерно однородно — то на достаточно большом расстоянии должен находиться регион в котором атомы расположены точно так же как в нашей вселенной. Вплоть до положения каждой частицы.
Расчёт Макса Тегмарка даёт расстояние до такого двойника:
D ~ 10^(10^29) метров
За этим расстоянием — точная копия нашей вселенной. С точной копией Земли. С точной копией вас. Читающей точно такую же статью.
Вас бесконечно много.
Это не метафора параллельных вселенных из фантастики. Это статистическое следствие бесконечного пространства и конечного числа возможных конфигураций частиц в заданном объёме. Ни кротовых нор, ни квантовых ветвлений — просто пространство достаточно большое чтобы перебрать все комбинации.
Я не уверен что должен чувствовать от этого факта. Спокойствие? Головокружение? Пока только второе.
5. После конца вселенной — что дальше
Самый вероятный сценарий конца — тепловая смерть.
Второе начало термодинамики: энтропия замкнутой системы не убывает. Вселенная расширяется, энергия рассеивается, звёзды гаснут. Через примерно 10^100 лет последние чёрные дыры испарятся через излучение Хокинга. Останется равномерный газ из фотонов и лептонов — максимальная энтропия, конец всех структур.
Конец звёзд, планет, молекул.
Но не конец флуктуаций.
Квантовые флуктуации вакуума не прекращаются. Принцип неопределённости запрещает абсолютный покой:
ΔE · Δt ≥ ℏ/2
Энергия никогда не равна нулю точно. Вакуум кипит виртуальными частицами которые рождаются и аннигилируют. В мёртвой вселенной эти флуктуации продолжатся.
Через время Пуанкаре — 10^(10^120) лет — флуктуация достигнет нужного масштаба. Вся энергия случайно сосредоточится в одной точке. Произойдёт новый Большой взрыв. Или флуктуация соберёт Мозг Больцмана. Или звезду. Или галактику.
Тепловая смерть — не финал. Это долгая пауза между актами одного и того же спектакля.
6. Что это значит для нас
Больцман покончил с собой в 1906 году. Его идеи не принимали. Атомы которые он защищал всю жизнь считались удобной фикцией. Через три года после его смерти Перрен подтвердил их экспериментально — броуновское движение, числа сошлись точно. Больцман оказался прав во всём.
В том числе в теореме о возвращении.
Если пространство бесконечно — каждое решение которое вы принимаете уже принято всеми способами где-то в другом месте. Если время бесконечно — вы уже были здесь. И будете снова.
Можно впасть в нигилизм: зачем что-то делать если всё равно всё повторится?
Вот мой ответ — и я готов что со мной поспорят. Нигилизм здесь логически неверен. Если этот момент повторится бесконечное число раз — он не обесценивается. Он становится одной из несущих конструкций вселенной. Таких же обязательных как теорема Пуанкаре. Вопрос не «зачем» — вопрос в том что ты делаешь с тем что неизбежно войдёт в повторяющуюся структуру.
0,000000001% × ∞ = 100%.
Включая вас. Включая этот момент.
Теорема Пуанкаре доказана в 1890 году. Следствия из неё до сих пор не дают спать космологам.
Вот мой вопрос напоследок — не про вселенную, про вас: если вы знаете что эта версия вас — повторится бесконечное число раз, вы бы прожили эту жизнь иначе?
Жду вас в своем канале
ссылка на оригинал статьи https://habr.com/ru/articles/1039548/