«Квантовый» принцип, объясняющий, почему атомы устроены именно так

Необычный сначала, столетний принцип запрета Паули стал настоящим сокровищем для учёных, стремящихся понять устройство материи

Что делает материю стабильной? Почему атомы такие, какие они есть? Почему разные материалы различаются по своим свойствам, таким как электропроводность, плотность, температура плавления или спектры поглощения света?

Эти вопросы сильно занимали физиков в течение десятилетий после того, как Дмитрий Менделеев представил свою периодическую таблицу химических элементов в 1869 году. Они получили новый импульс на рубеже XX века благодаря открытию Дж. Дж. Томсона, что атомы не являются неделимыми, а содержат более мелкие, отрицательно заряженные частицы, называемые электронами, — первые найденные учёными субатомные частицы. Затем, в 1911 году, Эрнест Резерфорд обнаружил, что атомы содержат центральное «ядро» с плотно сконцентрированным положительным зарядом.

Так началось увлекательное путешествие в мир открытий, направленных на понимание законов, определяющих устройство субатомных структур. Оно достигло своего рода кульминации столетие назад, в начале 1925 года, с формулировкой принципа, который с тех пор лежит в основе наших представлений о стабильности материи.

Речь идёт о принципе запрета Паули, названном в честь блестящего молодого австрийского физика-теоретика Вольфганга Паули. Принцип стал результатом того, что сегодня называют «старой квантовой теорией» — периода ситуативных теоретических поисков между 1900 и 1925 годами, который привёл к появлению в 1925–1927 годах последовательной теории квантовой механики, разработанной Вернером Гейзенбергом, Паскуалем Йорданом, Максом Борном, Эрвином Шрёдингером, Полем Дираком и другими. Принцип Паули можно считать вершиной старой квантовой теории и, что не часто бывает, он сохранился и был включён в новую. Попробуем вспомнить о путешествии физиков, предпринятом в попытке понять, исправить и проверить свойства, предсказанные периодической таблицей, и о том, как этот принцип направлял наше понимание материи — обычной и не только.

Смелые гипотезы

Открытие заряженной внутренней структуры атомов, которые в целом являются нейтральными, создало значительные трудности для теоретических представлений о том, как устроены атомы. В 1842 году математик Сэмюэль Эрншоу показал, что стабильного, статического распределения таких зарядов не существует, что исключало статические модели атома. Однако, несмотря на многочисленные попытки, последовавшие за открытием субатомной структуры, никому не удалось создать модель, которая обеспечивала бы стабильность атома и объясняла такие явления, как чёткие, дискретные спектральные линии света, излучаемого атомами различных элементов.

Вскоре после открытия ядра Резерфордом датский физик Нильс Бор начал решать эту проблему, используя квантовые принципы. Он использовал идею, выдвинутую Максом Планком в 1900 году для объяснения спектра света, излучаемого неотражающим «чёрным телом», — идею о том, что энергия существует только в виде дискретных порций, или квантов. Бор применил её к спектру света, излучаемого и поглощаемого атомами водорода. Атом простого водорода — самый простой из всех атомов; сегодня известно, что он состоит из одного протона и одного электрона.

Бор начал с представления, согласно которому электроны вращаются вокруг атомного ядра, подобно тому как планеты вращаются вокруг звезды. Он постулировал, что существуют определённые значения энергий орбиталей, при которых электроны не излучают, благодаря чему атомы остаются стабильными. Свет может излучаться и поглощаться только на частотах, соответствующих разности энергий между двумя такими стабильными орбиталями, которые Бор охарактеризовал разными значениями первого, «главного» квантового числа.

Эта смелая гипотеза могла объяснить некоторые особенности спектра водорода, но не все. Одиссея Бора продолжалась, учитывая новые спектроскопические данные и теоретические предположения. Они были частично получены из классической механики, из применения положений специальной теории относительности Альберта Эйнштейна 1905 года к атомным электронам, а также путём введения более «квантовых» идей, полностью противоречащих классической физике. Например, «квант действия», введённый Планком, ныне известный как постоянная Планка, h («уменьшенная» форма которой, делённая на 2π, ħ, широко используется в вычислениях), предполагает, что существует минимальное количество энергии, которым система может обмениваться. А собственный принцип соответствия Бора гласил, что, когда главное квантовое число велико, предсказания, полученные с помощью этого смешанного теоретического инструментария, должны приближаться к результатам, известным из классической физики.

В результате этих усилий Бор ввёл ещё два квантовых числа: азимутальное квантовое число, отражающее величину углового момента электрона, и магнитное квантовое число, характеризующее величину его магнитного момента. Эти дополнения имели смысл в рамках атомной модели Бора: если электрон движется по круговой орбите вокруг атомного ядра, у него будет угловой момент; а поскольку это заряженное тело, совершающее круговое движение, можно было бы ожидать, что у него также будет магнитный момент.

Но и это не могло объяснить всех особенностей спектра водорода. К 1923–1924 годам главной загадкой было объяснение эффекта Зеемана, при котором появляются новые спектральные линии, когда вращающиеся электроны взаимодействуют с внешним магнитным полем. Именно в этот момент в историю вступает Паули.

Электронный запрет

На рубеже 1925 года Паули было всего 24 года. Уже будучи доцентом по теоретической физике в Гамбургском университете (Германия), он пользовался большим уважением среди коллег. Ещё с юности в Вене он считался математическим вундеркиндом — звание, которое, как это часто бывает, ему было нелегко носить. Он искал помощи в новом психоанализе, провозглашённом психологом Карлом Юнгом, с которым Паули поддерживал длительный интеллектуальный диалог. Паули был плодовитым корреспондентом, и его опубликованные письма являются важным источником как для учёных, так и для историков.

Принцип Паули был основан на идеях Эдмунда Клифтона Стоунера, однако его подход был оригинальным — и необычным — во многих отношениях. Во-первых, он, казалось, основывался главным образом на нумерологии и не имел прямой связи с известной физикой. Ключевым вкладом Паули в модель Бора было введение четвёртого квантового числа — такого, которое, в отличие от боровских, не имело аналогов в классической физике и даже не имело визуального представления в пространстве-времени. Это новое квантовое число, спин, могло принимать только два значения: либо +ħ/2, либо −ħ/2. Электроны с противоположными значениями этого квантового числа взаимодействовали бы по-разному с внешним магнитным полем, что приводило бы к расщеплению спектральных линий, наблюдаемому в эффекте Зеемана.

Сегодня мы знаем, что квантовое число спина нельзя интерпретировать визуально: если попытаться смоделировать электрон как заряженное тело, вращающееся вокруг своей оси, то окажется, что его поверхность вращалась бы со скоростью, превышающей скорость света. Это — самое яркое свидетельство того, насколько причудлива квантовая теория, наполненная особенностями атомных моделей, которые бросают вызов классической интуиции.

Паули сформулировал свой принцип запрета не на основе классических теорий или динамических принципов, а в виде простого постулата: ни два электрона в атоме не могут иметь одинаковый набор из четырёх квантовых чисел. Как отметил историк Джон Хейлброн, это утверждение было скорее в духе библейских Десяти заповедей: «Запрещается, чтобы более чем один электрон [в одном атоме] … имел одинаковые значения [всех применимых] квантовых чисел». В этом отношении Паули предвосхитил новую квантовую механику, которая также — к огорчению многих физиков, включая Шрёдингера и Эйнштейна — отказалась от интуитивных визуальных моделей при построении теории или её интерпретации.

Работа Паули над принципом запрета была частью гораздо более широкой дискуссии о стабильности материи, которая сопровождала введение новой квантовой теории. Это породило свои собственные проблемы, такие как вопрос о том, почему, если орбиты электронов стабильны, электрон вообще переходит с одной на другую. Только в 1927 году, когда Дирак сформулировал квантовую теорию электромагнитного поля, наконец стало понятно, как такой «спонтанный распад» работает в рамках новой теории.

В конце 1920-х годов физики осознали, что принцип запрета Паули играет решающую роль в стабильности материи. Сегодня студентам рассказывают, что он применим к группе частиц, называемых фермионами, которые обладают полуцелым спином, измеряемым в единицах ħ. Такие частицы подчиняются так называемой статистике Ферми–Дирака, введённой Дираком и Энрико Ферми независимо друг от друга в 1926 году. Другие квантовые системы, такие как фотоны, подчиняются другому закону — статистике Бозе–Эйнштейна (которая возникла в результате сотрудничества между Эйнштейном и индийским физиком Сатьендрой Натом Бозе).

Поиски строгой математической связи между принципом запрета, квантовой статистикой и стабильностью материи длились десятилетиями. После публикации статьи Паули в 1925 году и разработки статистики Ферми–Дирака было установлено, что электроны имеют спин ½ и подчиняются этой статистике, хотя строгое доказательство связи между спином и статистикой появилось только в 1939 году, когда Маркус Фирц, ученик Паули, представил первое доказательство. Вскоре последовали несколько других доказательств, в частности, доказательство самого Паули в 1940 году. Эти результаты были названы теоремой спин-статистики в 1964 году Рэймондом Стритером и Артуром Уайтменом9.

Именно Фримен Дайсон в 1967 году доказал, что принцип запрета является не только достаточным, но и необходимым условием стабильности вещества. Он начинает свою статью с упоминания высказывания Пауля Эренфеста 1931 года: «Возьмём кусок металла. Или камень. Когда мы задумываемся об этом, нас удивляет, что такое количество вещества занимает столь большой объём. Конечно, молекулы плотно упакованы друг к другу, как и атомы внутри каждой молекулы. Но почему сами атомы такие большие?.. Ответ: только из-за принципа Паули: „Не может быть двух электронов в одном и том же состоянии“. Вот почему атомы так неоправданно велики, и почему металл и камень такие громоздкие».

За пределами атома

Дайсон был частью нового сообщества физиков-математиков, которые в 1960-х годах начали рассматривать стабильность материи как математическую теорему, выводимую из общих принципов. Первая такая теорема была сформулирована и доказана Дайсоном и Эндрю Ленардом в 1967 году в рамках того, что было описано как одно из самых сложных доказательств, когда-либо появлявшихся в математической физике. Более краткое и элегантное доказательство было представлено Эллиотом Либом и Уолтером Тиррингом в 1975 году. В дискуссиях, приведших к этим достижениям, центральное место в аргументации занимал принцип запрета.

В 1945 году Паули был удостоен Нобелевской премии по физике за открытие принципа запрета. Этот принцип стал играть центральную роль в нашем понимании периодической таблицы: благодаря четырём квантовым числам и принципу запрета удалось составить таблицу с возрастающими значениями атомного номера и лучше понять принципы её построения.

Он также послужил руководством к изучению более экзотических форм материи. Примером могут служить нейтронные звёзды — коллапсировавшие ядра, оставшиеся после огромного взрыва сверхновой. Нейтронные звёзды представляют собой настолько же плотно упакованную материю, как и атомные ядра, несмотря на то, что их диаметр составляет около десяти километров. Впервые обнаруженные с помощью радиоспектроскопии в 1967 году, они были теоретически предсказаны ещё в 1930-х годах. Ключом к их существованию является «давление вырождения нейтронов», которое является следствием принципа Паули. По мере того как ядерная материя, составляющая ядро звезды, сжимается под действием собственной гравитации, электроны начинают объединяться с протонами, образуя нейтроны, которые стремятся перейти в состояние с минимально возможной энергией. Принцип Паули не позволяет им всем это сделать, устанавливая предел тому, насколько далеко может коллапсировать звезда. Подобный процесс происходит в белых карликах — коллапсировавших остатках менее массивных звёзд, подобных Солнцу.

И, как ясно следует из теоремы о спин-статистике, не все частицы являются фермионами и, следовательно, подчиняются принципу Паули. В отличие от фермионов, бозоны при определённых условиях могут претерпевать фазовый переход, в ходе которого все они переходят в одно и то же квантовое состояние. Только в конце XX века в лабораторных условиях удалось получить форму материи с этим свойством — бозе-эйнштейновский конденсат — за что Эрик Корнелл, Вольфганг Кеттерле и Карл Виман в 2001 году были удостоены Нобелевской премии по физике.

На протяжении последнего столетия принцип запрета Паули был даром, который продолжает приносить плоды. Он лежал в основе нашего понимания поведения частиц в различных ситуациях — от астрофизики до физики конденсированного состояния — области, которая, помимо прочего, составляет материальную основу для транзистора и большей части технологической революции XX века. То, что когда-то считалось почти магической нумерологией, стало центральной опорой современной науки.