Математическое обоснование оценки коэффициента шума сигнальным методом. Быстрая оценка

Предисловие

В рамках данной статьи предлагается погрузиться в математику оценки коэффициента шума (КШ) сигнальным методом через отношение сигнал-шум (С/Ш или SNR), извлечь ряд интересных и полезных моментов, связанных с собственными шумами приёмных устройств. Рассмотрены быстрые оценки КШ на базе основной методологии.

1. Теоретическая часть

Статья направлена на раскрытие темы для широкого круга специалистов в области радиотехники, связи, обработки сигналов и всех других неравнодушных пытливых умов. Поэтому предлагаю вернуться в старший класс школы на тему «Молекулярной физики и термодинамики», где нам учитель физики рассказывал про постоянную Больцмана, что это константа $k=1.38*10^{-23} Дж/К$ , связывающая между собой среднюю кинетическую энергию частиц и температуру в Кельвинах:

Например, внутри проводников радиоприёмника (далее просто приёмника) эта средняя энергия частиц проявляется в виде хаотического теплового движения электронов. Движение электронов формирует электрический шум с равномерной спектральной плотностью мощности (СПМ). Понятие СПМ рассматривается уже на втором курсе ВУЗа. СПМ называется функция, описывающая распределение мощности сигнала в частотной области.

На рисунке 1 приведена равномерная (постоянная) СПМ теплового шума. Тогда мощность тепловых шумов $Р_{ТШ}$ в полосе частот определяется, как интегральная мощность в полосе : $P_{ТШ}=kT*dF$ . При переводе в логарифмический масштаб (децибелы), получаем
$P_{ТШ}$ [дБВт] или [dBW] =.

Таким образом, при температуре СПМ теплового шума в логарифмическом масштабе равняется $10lg(kT)=-204\frac{дБВт}{Гц}=-174\frac{дБмВт}{Гц}$ . Это минимально возможный уровень СПМ шума на входе идеального приёмника, работающего от согласованного источника при указанной температуре. Реальный приёмник всегда добавляет к этому тепловому шуму собственный шум, поскольку в его активных элементах, необходимых для усиления сигнала, присутствуют p-n-переходы. Ток через такой барьер создается отдельными электронами, пересекающими его в случайные моменты времени. Эти флуктуации тока, называемые дробовым шумом, имеют практически равномерную СПМ в рабочем диапазоне частот и накладываются на усиливаемый сигнал, увеличивая общий уровень шума на выходе.

Чтобы количественно описать насколько приёмник увеличивает шумы относительно полезного сигнала используется понятие КШ. КШ характеризует изменение отношения С/Ш на выходе приёмника
(С/Ш)вых относительно С/Ш на его входе (С/Ш)вх:

$F=\frac{(\frac{С}{Ш})_{ВХ}}{(\frac{С}{Ш})_{ВЫХ}}$

Тогда в логарифмическом масштабе:

$NF=10lg[\frac{(\frac{С}{Ш})_{ВХ}}{(\frac{С}{Ш})_{ВЫХ}}]=(\frac{С}{Ш})_{ВХ}[dB]-(\frac{С}{Ш})_{ВЫХ}[dB]$

Теперь рассмотрим приёмник (RX) с коэффициентом усиления (КУ) G [в разах] и СПМ собственных шумов [Вт/Гц] (PSD — Power Spectral density), получим общую формулу расчёта КШ.

Любопытный момент, в обозначении RX на конце «X» был добавлен в англоязычной литературе, чтобы не было путаницы между командой RD (Read) и сигналом RD (Received Data) — принимаемые данные. Их обозначения разделили и сделали обозначением принимаемых данных RxD. Но все же почему «Х»? Мнения делятся: кто‑то считает, что «Х» — это сокращение от trans/transfer/cross (как перекрестная передача), а кто‑то считается, что «X» — как сокращение от слова exchange (обмен): обмен данными на стороне передачи TX или на стороне приёма RX.

Возвращаясь к нашему приёмнику RX, предположим, что на его входе присутствует аддитивная сумма теплового шума c СПМ $PSD_{0}=kT$ и широкополосного сигнала мощности с равномерной СПМ в полосе . Тогда отношение $(\frac{С}{Ш})_{ВХ}=\frac{P}{kTdF}$ . При такой сумме шума с сигналом на входе, на выходе приёмника тепловой шум и полезный сигнал усиливаются в раз. Помимо этого к тепловым шумам добавляются собственные шумы усилителя с СПМ . Тогда отношение $(\frac{С}{Ш})_{ВЫХ}=\frac{{GP}/{dF}}{PSD_{0}G+PSD}$ . Следовательно,

$NF=10lg[\frac{PSD+PSD_{0}G}{PSD_{0}G}]$

Полученное соотношение в некоторых литературных источниках называется определением КШ. Опираясь на это определение, можно вычислить КШ многокаскадных приёмника. В качестве примера рассмотрим трёхкаскадный приёмник, состоящий из трёх усилителей, приведенных на рисунке 3. Задача заключается в расчете общего КШ.

Рисунок 3. Определение КШ многокаскадного приёмника

Отношение С/Ш на входе будет определяться через отношение СПМ сигнала к СПМ шума на входе: $(\frac{С}{Ш})_{ВХ}=\frac{P}{dF*N_{0}}$ .

Отношение С/Ш на выходе определяется как отношение усиленного СПМ сигнала тремя последовательными усилениями и СПМ шумов, представляющих собой усиленные шумы со входа соответствующих усилителей (см. рисунок 3):

$\left( \frac{С}{Ш} \right)_{ВЫХ}=\frac{\frac{PG_{1}G_{2}G_{3}}{dF}}{PSD_{0}G_{1}G_{2}G_{3}+PSD_{1}G_{2}G_{3}+PSD_{2}G_{3}+PSD_{3}}$

Тогда расчёт общего КШ трёхкаскадного усилителя принимает вид:

$F=\frac{(\frac{С}{Ш})_{ВХ}}{(\frac{С}{Ш})_{ВЫХ}}=1+\frac{PSD_{1}}{PSD_{0}G_{1}}+\frac{PSD_{2}}{PSD_{0}G_{1}G_{2}}+\frac{PSD_{3}}{PSD_{0}G_{1}G_{2}G_{3}}=F_{1}+\frac{F_{2}-1}{G_{1}}+\frac{F_{3}-1}{G_{1}G_{2}},$

где $F_{i}=\frac{PSD_{i}+PSD_{0}G_{i}}{PSD_{0}G_{i}}$ — КШ i-го каскада усиления.

Разработчик приёмника стремится минимизировать суммарный КШ. Полученное соотношение для многокаскадного приёмника открывает важное правило проектирования: первый каскад усиления вносит наибольший вклад в КШ приёмника. Действительно, второй каскад (второе слагаемое) вносит КШ ниже на КУ первого каскада ( $G_{1}$ ), а третий каскад усиления (третье слагаемое) вносит КШ ниже на произведение КУ первого и второго каскадов ( $G_{1}G_{2}$ ). Поэтому в качестве первого каскада усиления устанавливают малошумящий усилитель (МШУ) сигнала (с низким КШ), чтобы минимизировать суммарный КШ всего приёмного тракта в целом.

2. Практическая часть

Теперь рассмотрим, как происходит процесс оценки КШ на практике при использовании генератора сигнала (ГС) и анализатора спектра (АС) в режиме измерения мощности. Чтобы получить отношение (С/Ш)вых, необходимо вначале измерить мощность собственных шумов на выходе RX, затем измерить мощность на выходе RX при включенном формировании широкополосного сигнала с равномерной СПМ в полосе с ГС.

Рисунок 4. Согласованная нагрузка на входе для измерения собственных шумов RX

Для измерения мощности собственных шумов на выходе RX необходимо ко входу RX подключить согласованную нагрузку (СН) для имитации отсутствия сигналов на входе RX (см. рисунок 4).

По показаниям АС производится измерение мощности собственных шумов в полосе . Измеренную мощность обозначим как $P_{СШ(RX+AC)}[dBm]$ — представляет собой сумму мощностей собственных шумов как RX, так и АС. Чтобы получить только собственные шумы RX, необходимо вычесть собственные шумы АС: $P{СШRX}[dBm]=10lg(10^{\frac{P{СШ(RX+AC)}[dBm]}{10}}-10^{\frac{P_{СШAC}[dBm]}{10}})$ , где $P_{СШAC}[dBm]$ — собственные шумы АС (мощность в полосе , измеренная на АС при подключенной СН на его входе).

Рисунок 5. Генератор сигналов на входе для измерения мощности сигнала на выходе RX

Для измерения мощности сигнала на выходе RX при включенном формировании сигнала с ГС в полосе , собирается стен, приведенный на рисунке 5. От ГС до RX подключен блок, описывающий радиочастотный (РЧ) кабель с потерями . При включенном формировании сигнала с ГС мощностью $P_{ГС}$ с равномерной СПМ в полосе по показаниям АС производится измерение мощности в указанной полосе частот. Измеренную мощность обозначим как $P_{ГСRX+СШ(RX+AC)}[dBm]$ — представляет собой сумму мощностей сигнала ГС на выходе RX, а также собственных шумов как RX, так и АС. Чтобы получить только мощность ГС на выходе RX, необходимо вычесть собственные шумы RX и АС, полученные на предыдущем шаге измерения: $P{ГСRX}[dBm]=10lg(10^{\frac{P{ГСRX+СШ(RX+AC)}[dBm]}{10}}-10^{\frac{P_{СШ(RX+AC)}[dBm]}{10}})$

Тогда отношение (С/Ш) на выходе приёмника:

$(\frac{С}{Ш})_{ВЫХ}=\frac{P_{ГСRX}[мВт]}{P_{СШRX}[мВт]}=10^{\frac{P_{ГСRX}[dBm]-P_{СШRX}[dBm]}{10}}=10^{\frac{P_{ГСRX}[dBW]-P_{СШRX}[dBW]}{10}}$

Известно, что отношение (С/Ш) на входе определяется отношением СПМ сигнала на входе к СПМ тепловых шумов на входе. При условии, что на выходе ГС формируется сигнал с мощностью
$P_{ГС}$ , то с учетом потерь в кабеле получим:

$(\frac{С}{Ш})_{ВХ}=\frac{P_{ГС}[Вт]}{kT*dF*10^{\frac{loss[dB]}{10}}}$

КШ измеряется в соответствии с определением отношения (С/Ш)вх к (С/Ш)вых:

$NF=(\frac{С}{Ш})_{ВХ}[dB]-(\frac{С}{Ш})_{ВЫХ}[dB]=$ $=10lg(P_{ГС}[Вт])-10lg(kt*dF)-10lg(10^{\frac{loss[dB]}{10}})-P_{ГСRX}[dBW]+P_{СШRX}[dBW]=$ $=P_{ГС}[dBW]-loss[dB]-P_{ГСRX}[dBW]+P_{СШRX}[dBW]-10lg(kT*dF)=$ $=-G[dB]-loss[dB]+P_{СШRX}[dBW]-10lg(kT*dF),$

где $G[dB]=P_{ГСRX}[dBW]-P_{ГС}[dBW]$ .

Полученное соотношение $NF=-G[dB]-loss[dB]+P_{СШRX}[dBW]-10lg(kT*dF)$ показывает, что КШ всего тракта с учетом потерь РЧ кабеля от ГС до RX увеличивается как раз на ослабление этого РЧ кабеля, так как общий с учётом РЧ кабеля КУ уменьшается. Именно по этой причине МШУ подключают как можно ближе к приёмной антенне — с целью уменьшения интегрального КШ приёмного тракта.

Рисунок 6. Собственные шумы RX (при отсутствии шумов АС)

Если предположить, что АС не добавляет собственные шумы, то есть $P_{СШRX}=P_{СШ(RX+AC)}$ , и потери от ГС до RX равны 0 дБ
, о подобные упрощения позволяют наглядно показать, что собственные шумы приёмника в полосе на выше усиленных тепловых шумов (см. рисунок 6):

$P_{СШRX}=10lg(kT*dF)+G[dB]+NF$

Таким образом, зная собственные шумы приёмника $P_{СШRX}[dBW]$ , приведённые к его выходу, и его КУ , можно не подавать сигнал с ГС, чтобы получить оценку КШ.

Рисунок 7. Собственные шумы RX и сформированный сигнал с ГС на выходе RX (при отсутствии шумов АС)

Чтобы измерить КУ приёмника
, требуется с ГС подать широкополосный сигнал с равномерной СПМ в полосе на вход RX и измерить по показаниям АС мощность сигнала на выходе RX. Оценка СПМ по показаниям АС при подключении ГС на вход RX проиллюстрирована на рисунке 7 при условии отсутствия шумов (АС). Тогда,

$G[dB]=PSD_{ГСRX}[dBW/Hz]-PSD_{ГС}[dBW/Hz]=$ $=10lg(10^{\frac{PSD_{ГСRX+СШRX}[dBW/Hz]}{10}}-10^{\frac{PSD_{СШRX}[dBW/Hz]}{10}})-PSD_{ГС}[dBW/Hz],$

где $PSD_{ГСRX+СШRX}$ — СПМ суммы СПМ собственных шумов RX ( $PSD_{СШRX}$ ) и СПМ сигнала ГС на выходе RX ( $PSD_{ГСRX}$ ), $PSD_{ГС}$ — СПМ сигнала ГС на входе RX.

Описанная методика оценки КШ через отношение С/Ш на входе и выходе позволяет находить креативные способы оценки КШ, основные из них рассмотрены ниже по тексту.

2.1. Оценка КШ при достижении (С/Ш)вых = 1 (метод удвоения мощности)

Проведем следующее измерение. Собственные шумы на выходе приёмника в полосе по показаниям АС равняются $P_{СШRX}=P_{СШ(RX+AC)}$ . При условии нулевых шумов АС эти показания принимают истинное значение собственных шумов на выходе RX, т.е. $P_{СШRX}=P_{СШ(RX+AC)}$ .

Рисунок 8. Оценка КШ по методу удвоения мощности (при отсутствии шумов АС)

С ГС на вход RX подается такая мощность $P_{ГС}[W]$ с равномерной СПМ в полосе , что на выходе RX по показаниям АС измеряемая мощность становится в два раза больше мощности собственных шумов приёмника. В логарифмическом масштабе это эквивалентно увеличению мощности на 3 дБ (см. рисунок 8):

$P_{ГСRX+СШRX}[dBW]=P_{СШRX}[dBW]+3$

Увеличение мощности на 3 дБ говорит от том, что $P_{ГСRX}=P_{СШRX}$ .
Следовательно, (С/Ш)вых = 1. Тогда,

$NF=10lg[(\frac{C}{Ш})_{ВХ}]=10lg[\frac{P_{ГС}[W]}{kT*dF}]$

Рисунок 9. Оценка КШ по методу удвоения мощности с учетом шумов АС

В общем случае, АС вносит собственные шумы, которые необходимо учесть при поиске мощности на входе RX для увеличения уровня собственных шумов на выходе приёмника в 2 раза. На рисунке 9 приведена оценка СПМ для случая ненулевых шумов АС. Приращение , эквивалентное увеличению уровня собственных шумов RX в 2 раза при условии ненулевых шумов АС, рассчитывается по формуле:

$A[dB]=10lg(10^{\frac{P_{СШ(RX+AC)}[dBW]+3}{10}}-10^{\frac{P_{СШAC}[dBW]}{10}})-P_{СШ(RX+AC)}[dBW]$

Действительно, если $P_{СШAC}[W]=0$ Вт, то дБ.

2.2. Быстрая оценка КШ исправного АС

Полученное выше соотношение $NF=-G[dB]+P_{СШRX}[dBW]-10lg(kT*dF)$ , позволяет производить быструю оценку Кш исправного АС. Методика оценки следующая.

Рисунко 10. Быстрая оценка КШ исправного АС

Подключить СН на вход АС, чтобы имитировать отсутствие сигналов на его входе. Тогда по показания его оценки СПМ измеряем мощность собственных шумов АС в полосе
. Если АС исправен, то его КУ равен 0 дБ (). Следовательно, КШ будет определяться разностью СПМ собственных шумов АС и СПМ тепловых шумов при температуре окружающей среды (см. рисунок 10)

$NF=PSD_{СШAC}-10lg(kT)=P_{СШAC}-10lg(kT*dF)$

Особенно важно отметить, что АС должен быть исправен и должен показывать истинные значения мощности в рамках допустимой погрешности, иначе приведенная методика быстрой оценки КШ окажется некорректной. Однажды в нашем пользовании оказался АС, который при наличии сигнала на его входе стабильно занижал измеряемую мощность примерно на 10 дБ. По всей видимости, стал неисправен какой-то каскад аналогового усиления. Но при этом, когда на входе АС подключена СН и сам прибор настроен на максимальную чувствительность (минимальный уровень собственных шумов), то по быстрой методике оценка СПМ собственных шумов АС была того же уровня, что и до неисправности: была на 20 дБ выше тепловых шумов (то есть КШ АС равен 20 дБ). Но если воспользоваться полной методикой оценки КШ с использованием ГС, то получим, что КШ стал равен 30 дБ из-за того, что КУ неисправного АС стал на 10 дБ ниже исправного АС. Предположительно, сам уровень собственных шумов АС не изменился по причине шумов квантования АЦП (КШ АЦП АС), которые не зависят от аналоговых усилительных каскадов АС. Иными словами, в режиме максимальной чувствительности АС доминирующими являлись шумы АЦП.

2.3. Оценка КШ АЦП только по показаниям оценки СПМ

Однажды появилась необходимость сравнить КШ на отладочной плате АЦП с таким же АЦП, но уже в нашем изделии. Оценка КШ нашего изделия была выполнена с использованием базовой методики измерения КШ через измерение мощности цифровых отсчетов на выходе АЦП. Но встроенная программа отладочной платы позволяла наблюдать только окошко оценки СПМ, приближать ее, даже маркеры размещать, но доступа непосредственно к цифровым отсчётам на выходе АЦП не было. Поэтому для оценки КШ АЦП на отладочной плате использовалась следующая методика. С ГС подается широкополосный сигнал мощностью $P_{ГС}$ в полосе
. Тогда по показаниям в окошке программы отладочной платы АЦП наблюдали, как оценка СПМ сигнала с ГС поднималась на уровнем СПМ собственных шумов АЦП на дБ, как показано на рисунке ниже.

Рисунок 11. Оценка КШ АЦП (ADC) только по показаниям оценки СПМ

С ГС подается широкополосный сигнал c равномерной СПМ в полосе мощностью $P_{ГС}$ . Тогда по показаниям в окошке программы отладочной платы АЦП наблюдали, как оценка СПМ сигнала с ГС $PSD_{ГСadc}$ поднималась над уровнем СПМ собственных шумов АЦП $PSD_{Шadc}$ на дБ, как показано на рисунке 11.

Тогда оценка СПМ полезного сигнала плюс шум АЦП равняется $10lg(PSD_{ГСadc}+PSD_{Шadc})$ , а оценка СПМ собственных шумов АЦП равняется $10lg(PSD_{Шadc})$ . Следовательно,

$dS=10lg(\frac{PSD_{ГСadc}}{PSD_{Шadc}}+1)$ . Тогда

$(\frac{С}{Ш})_{ВЫХ}=\frac{PSD_{ГСadc}}{PSD_{Шadc}}=10^{\frac{dS}{10}}-1$ , $(\frac{C}{Ш})_{ВХ}=\frac{P_{ГС}[W]}{kT*dF}$

Итого, грубая оценка КШ по визуальному определению уровней СПМ вычисляется по формуле:

$NF=10lg(\frac{P_{ГС}[W]}{kT*dF})-10lg(10^{\frac{dS}{10}}-1)$

2.4. Переход от широкополосного сигнала с равномерной СПМ к гармоническому при оценке КШ через отношение С/Ш

В случае, если имеющееся измерительное оборудование не позволяет формировать широкополосный сигнал с равномерной СПМ в полосе , то для целей оценки КШ по методу отношения С/Ш можно использовать генератор гармонического сигнала при условии постоянства КУ RX и равномерности СПМ его собственных шумов в полосе .

Рисунок 12. Широкополосный и гармонический сигналы с одинаковой интегральной мощностью в полосе dF

На рисунке 12 приведены два сигнала с одинаковой интегральной мощностью в полосе . Слева — широкополосный с равномерной СПМ, справа — гармонический сигнал. Ниже приведено объяснение необходимости удовлетворения требованиям к равномерности КУ RX и СПМ его собственных шумов, для получения корректных значений оценки КШ при использовании гармонического сигнала известной мощности вместо широкополосного сигнала с равномерной СПМ.

В общем случае, СПМ собственных шумов и КУ приёмного тракта неравномерны по частоте. Например, для упрощения отображения, представим ситуацию, что в первой половине частотного диапазона КШ равняется и КУ , а во второй половине частотного диапазона и , соответственно. Следовательно, СПМ собственных шумов в первой половине частотного диапазона равняется сумме тепловых шумов, усиленных на КУ плюс КШ : $PSD_{СШRX1}=10lg(kT)+G1[dB]+NF1$ , а во второй половине частотного диапазона — $PSD_{СШRX2}=10lg(kT)+G2[dB]+NF2$ .

Рисунок 13. Упрощённый пример неравномерной СПМ и КУ приемника

Для наглядности описанная неравномерность СПМ и КУ приведена на рисунке 13. Для упрощения отображения собственные шумы АС не учитываются. На рисунке голубой кривой приведена зависимость СПМ собственных шумов со скачкообразным изменением при переходе во вторую половину частотного диапазона. Если теперь сформировать на ГС гармонический сигнал мощностью $P_{ГС}[dBW]$ , значительно превышающей мощность собственных шумов приёмника (для удобства отображения в логарифмическом масштабе), то на выходе приёмника увидим, что этот гармонический сигнал, сформированный в первой частотной области, окажется примерно на
дБ ниже этого же гармонического сигнала, сформированного во второй частотной области.

Поскольку мощность собственных шумов в полосе частот не меняется, то отношение С/Ш на выходе при использовании гармонического сигнала будет зависеть от того, в какой половине частотного диапазона сформирован этот сигнал. В результате данного примера на рисунке 13 при использовании гармонического сигнала для оценки КШ могут получиться два разных значения КШ, отличающихся на дБ. Но истинное значение КШ при использовании широкополосного сигнала с равномерной СПМ в полосе примет третье значение, в общем случае не совпадающее с первыми двумя. Этим объясняется необходимость равномерности КУ и СПМ собственных шумов в заданной полосе частот при использовании гармонического сигнала вместо широкополосного с равномерной СПМ для оценки КШ методом отношения С/Ш. В противном случае нельзя гарантировать истинную оценку КШ в заданном диапазоне частот при измерении с использованием гармонического сигнала.

Послесловие

Несмотря на простоту темы оценки КШ сигнальным методом через отношение С/Ш, можно найти много интересного, если посмотреть глубже. В данной статье была предпринята попытка показать читателю особенности работы аналогового специалиста в области радиотехники при оценке КШ приёмника с помощью ГС и АС. Измерение КШ не ограничивается лишь этой методикой. Альтернативные пути измерения и оценки КШ, например, метод Y-фактора, метод холодного источника, метод 3-х сопротивлений или векторный метод холодного источника – тоже представляют интерес, но выходят за рамки данной статьи.

ссылка на оригинал статьи https://habr.com/ru/articles/1042328/