Кто расставил планеты по линейке?

У астрономов свои холивары — и покруче, чем Linux версус Windows. Уже два с половиной столетия они спорят, существует ли закон, определяющий расстояния планет от Солнца. В 1766 году немецкий профессор естествознания Иоганн Тициус переводил с французского популярный в те годы двухтомник Шарля Бонне «Созерцание природы», и в главу о планетах и небесной гармонии вставил два абзаца от себя: без подписи, без пометки «примечание переводчика», словно они изначально принадлежали Бонне. В его врезке, если очистить её от витиеватых оборотов и неуместных в науке теологических реверансов, утверждается, что все известные тогда планеты, от Меркурия до Сатурна, располагаются на строго гармоничных промежутках друг от друга, и прирост к расстоянию каждой следующей планеты увеличивается ровно в два раза.

С тех пор научное сообщество разделилось на два непримиримых лагеря. Сторонники утверждают, что это закон природы. Планетные системы формируются именно так, говорят они, просто иногда что‑то идёт не по плану: вот между Марсом и Юпитером планета так и не сформировалась, а Нептун и вовсе не там, где должен быть. Противники отвечают: «Вы нумерологи, а не учёные. Для любых нескольких точек всегда можно подобрать какой‑нибудь полином. Можете объяснить физический смысл этого вашего ряда?» Как фундаментальный закон природы, формула Тициуса‑Боде не работает, это ясно. Но и геометрическая прогрессия большинства орбит никуда не делась вместе с отвергнутой формулой. Я хочу рассказать, почему расстояния всё‑таки растут не как попало. И насколько близко к краю устойчивости находимся мы прямо сейчас.

Лучше всего сразу перейти от расстояний ко времени, так будет проще увидеть странности. Третий закон Кеплера намертво привязывает радиус орбиты к периоду обращения тела вокруг Солнца: квадрат периода пропорционален кубу большой полуоси. Если мерить расстояние в астрономических единицах, а время в земных годах, формула становится совсем элементарной:

И вот, на языке периодов, Солнечная система выглядит подозрительно аккуратной. Стоит выписать, за сколько суток или лет соседние тела обращаются вокруг Солнца, и почти всюду вылезают простые дроби: два к одному, три к двум, пять к двум. Такие совпадения периодов обращения называют резонансами.

Причем совпадения наблюдаются не только у планет, но даже у спутников планет‑гигантов. Ио, Европа и Ганимед оббегают Юпитер за 1,77, 3,55 и 7,15 суток. Соотношение 1:2:4, милое сердцу любого компьютерщика, астрономы называют резонансом Лапласа. Пока Ганимед делает один оборот, Европа успевает совершить два, а Ио четыре. Эти три луны никогда не соберутся на одной линии. Когда Ио обгоняет Европу, Ганимед гарантированно оказывается далеко, каждый раз в одном и том же месте.

Второй пример — Нептун и Плутон. Орбита Плутона вытянута и наклонена к эклиптике, и часть года он находится ближе к Солнцу, чем Нептун. Их орбиты опасно пересекаются, и, казалось бы, рано или поздно они должны столкнуться. Но опасаться за их судьбу не стоит — Нептун оббегает Солнце за 164,8 года, Плутон за 247,9. Резонанс тут 2:3. Из‑за такой синхронности в момент прохождения Нептуном точки пересечения орбит Плутон всегда оказывается далеко, каждый раз в одних и тех же местах, на дальней от Солнца части своей орбиты.

Юпитер и Сатурн тоже выглядят резонансно: пять юпитерианских лет почти равны двум сатурнианским. Это соседство с дробью 5:2 примерно, в отличие от точного резонанса Ио, Европы и Ганимеда или Нептуна с Плутоном. Юпитер с Ураном, хоть и не прямые соседи, тоже имеют лишь примерный резонанс 1:7.

Когда планеты сближаются («находятся в соединении», как говорят астрономы), каждая из них получает гравитационный толчок от соседа. Если их периоды не связаны простой дробью, как, например, между Землей и Марсом, точка встречи всякий раз оказывается в случайном месте, и за много оборотов взаимные толчки в среднем уравновешивают друг друга, стабилизируя орбиты. Но если периоды относятся как небольшие целые числа, встречи всегда происходят в одних и тех же местах. Тогда толчки не гасятся, а складываются, оборот за оборотом, миллионы лет. Более массивное тело будет придвигать к себе с каждым соединением менее массивное (и наоборот тоже, но слабее), вытягивая его орбиту.

Пояс астероидов обычно изображают сплошным рассеянным кольцом, но когда построили гистограмму распределения расстояний астероидов от Солнца, на ней обнаружились провалы — их называют щелями Кирквуда. Это запрещенные Юпитером орбиты. Если там и находились когда‑то астероиды, они попали в резонанс с Юпитером и тот постепенно повыдёргивал их из Пояса. Кстати, этот эффект наблюдается и в кольцах Сатурна; они не сплошные, а слоистые, со щелями. Там резонанс со спутниками Сатурна расчистил промежутки, включая знаменитую щель Кассини (резонанс с Мимасом), и менее известные — щель Энке (от спутника Пан) и щель Килера (от спутника Дафнис).

Правда, тут механизм сложнее, чем с астероидами. Не углубляясь в тонкости физики колец (астероиды не сталкиваются, обломки в кольцах сталкиваются постоянно), скажу так — чем больше разница между массами тел в резонансе (Юпитер‑астероиды, спутники Сатурна — обломки колец), тем искажение орбиты более легкого тела в паре выражено отчетливей и тем быстрее легкое тело дестабилизируется. Похожий сценарий предлагают и для Тейи: Юпитер мог раскачать Тейю, пока та не влетела в протоземлю. Сейчас среди внутренних планет, Меркурия, Венеры, Земли и Марса, резонансы между соседями в простых дробях отсутствуют; соединения размазаны по разным точкам орбит и усредняются. Но даже для внешних планет наличие такого числа резонансов в Солнечной системе вряд ли совпадение.

Ещё в 1954–55 годах Рой и Овенден отмечали: пар с почти кратными периодами у планет и спутников больше, чем можно ожидать от случайного набора орбит. В 1968-м журнал «Icarus» напечатал статью Молчанова из Института прикладной математики АН СССР; она называлась «The resonant structure of the solar system: The law of planetary distances». Молчанов утверждал, что вся Солнечная система целиком описывается одной таблицей целых чисел, связывающей частоты обращения планет. Молчанов работал не с периодами, а со «средними движениями» — так астрономы называют среднюю угловую скорость планеты по орбите. Молчанов связал эти движения системой из восьми уравнений с целыми коэффициентами:

Две строки про Уран, если их упростить и сократить, дают 2:3 — тот самый защитный резонанс Нептуна и Плутона, с которого я начал. И теперь, если принять земной год за единицу и решить эту систему уравнений, периоды всех остальных тел Солнечной системы получаются сами:

На современных значениях периодов из общего строя выбивается только Уран, у него полтора процента ошибки. Часть строк в этой таблице известны давно: Юпитер с Сатурном — около 5:2, Юпитер с Ураном — около 7:1, Уран с Нептуном — около 2:1. Остальные равенства связывают не пары, а тройки и группы планет: Венера, Марс и Сатурн — в одном уравнении, Марс, Юпитер и Уран — в другом, а Земля, Марс, Юпитер, Сатурн и Уран, сразу пятеро — в третьем. В этом и состоит гипотеза полной резонансности: Солнечная система не набор пар, случайно оказавшихся простыми дробями, а конструкция, которая целиком работает на выполнение восьми условий.

Откуда эта конструкция вообще взялась? Если планеты активно влияют друг на друга, такой набор точных резонансов не мог возникнуть сам по себе; это больше похоже на тонкую настройку. Молчанов объясняет это так: за миллиарды лет слабые приливные взаимодействия и вязкость остатков газа в молодой системе медленно сдвигали орбиты формирующихся планет к простым дробям и ставили их там на стопор. Есть гипотеза, что планеты не формировались сразу на современных орбитах, а комковались из сотен зародышей‑планетезималей и их миграции, слияния и столкновения в газопылевом диске проходили через серию резонансных ловушек. В современной планетологии это описывают моделью Ниццы: гиганты сформировались гораздо кучнее, но когда Юпитер и Сатурн прошли через резонанс 1:2, система пережила гравитационную встряску, оттолкнувшую Нептун и Уран на их сегодняшние задворки.

Свою систему уравнений Молчанов не считает единственно возможной, можно подобрать и другие комбинации. Но и случайно, писал он уже в 1969-м, такая система не образуется, вероятность этого примерно десять в минус десятой степени. И в том же 1969 году, в том же «Icarus», гипотезу Молчанова раскритиковали сразу Джордж Бэкус, геофизик, и Мишель Энон, один из лучших специалистов по небесной механике. Они указали Молчанову, что тот разрешил себе слово «почти» — у Юпитера и Сатурна соотношение «почти 5:2», его называют «великим неравенством». В XVIII веке астрономам казалось, что Юпитер год от года ускоряется, а Сатурн замедляется, и казалось, будто система скоро развалится. Лаплас математически доказал, что это не катастрофа, а длиннопериодическое колебание приблизительного резонанса между двумя гигантами. Резонансный угол между Юпитером и Сатурном не колеблется возле одного значения, как при настоящем орбитальном захвате, а сдвигается, делая полный цикл за 900 лет. У большинства указанных Молчановым уравнений примерно та же картина. При таких допустимых отклонениях, подобные «таблицы резонансов» можно находить среди почти любых девяти чисел.

Да, таблица Молчанова хорошо ложится на современные периоды обращения планет, но из этого ещё не следует, что система всегда приходит со временем к такому состоянию. Питер Линч в 2003 брал случайные наборы орбит и смотрел, как часто они выстраиваются в геометрическую прогрессию. Ответ был разный, от «почти никогда» до «почти всегда», в зависимости от того, какую нижнюю и верхнюю границу шага между орбитами допустить. А значит, спорить, случайна ли система уравнений Молчанова или формула Тициуса‑Боде, можно хоть сто лет. Полезнее задать другой вопрос: как будет выглядеть система, если перед орбитами ее планет поставить одно‑единственное условие — не разваливаться?

У каждой планеты есть гравитационная зона влияния, где её тяготение преобладает над солнечным и где она уверенно удерживает при себе спутники. Размер этой зоны называют радиусом Хилла:

Тут a — расстояние от Солнца, m — масса планеты, M — масса Солнца. Чем дальше планета от звезды, тем больше ее зона влияния. У Земли радиус сферы Хилла около 0,01 а.е., у Юпитера — в тридцать шесть раз больше, потому что и масса у него больше, и находится он от Солнца дальше. Когда планет две и они близко, считать их сферы по отдельности неудобно и вычисляют взаимный радиус Хилла:

Земля и Марс разнесены на 0,52 а.е., Юпитер и Сатурн — на 4,3 а.е. Кажется, что у планет‑гигантов собственные угодья просторнее. Но во взаимных радиусах Хилла все наоборот: у пары Земля‑Марс взаимный радиус порядка сорока, у Юпитера‑Сатурна около восьми. У внешних планет‑гигантов сферы Хилла огромные, поэтому в своих единицах, «попугаях», они сидят теснее. Внешним планетам вообще физически требуются более широкие зазоры между орбитами просто для того, чтобы не толкаться со своими соседями.

Глэдман в 1993-м вычислил порог для двух планет (его называют порогом Глэдмана): если разнести соседей меньше чем на 2√3 ≈ 3,46 взаимных радиуса Хилла, пара будет неустойчивой и развалится почти сразу. Юпитер и Сатурн сидят во взаимных радиусах Хилла теснее остальных пар, но всё же вдвое выше порога Глэдмана, так что двум нашим гигантам дестабилизация орбит не грозит.

Когда планет больше двух, все значительно усложняется: дальние тяжеловесы могут воровать энергию и момент у любой пары планет. Чемберс, Уэтерилл и Босс в 1996-м моделировали цепочки из одинаковых планет на одинаковом расстоянии друг от друга. Если расстояния в цепочке были меньше 10 взаимных радиусов Хилла, все в конце концов разваливалось. Моделирование показывает, что чтобы планетная система оставалась стабильной хотя бы миллиард лет, нужно уже не меньше 13 взаимных радиусов Хилла.

Если провести мысленный эксперимент и раскидать девять планет по случайным орбитам, а затем просто удалить все варианты с опасно близкими планетами, планеты в оставшихся «выживших» системах расположатся в геометрической прогрессии. Это неизбежное следствие плотной и устойчивой упаковки. Если планеты занимают сопоставимые доли пространства, отношение их орбит обязано сводиться к константе:

Получается ровно та же прогрессия, что и у Тициуса‑Боде, только с исключениями: надо сделать вид, что вместо пояса астероидов находится какой‑нибудь выдуманный Фаэтон, а также вычеркнуть из ряда Нептун с Плутоном. Кстати, в XIX веке Ольберс был убеждён, что Фаэтон действительно существовал, но рассыпался на куски. Да и писатель‑фантаст Казанцев ездил по ушам молодежи 60-х со своими Фаэтами. Сегодня мы знаем, что Юпитер резонансными толчками так сильно раскачивал орбиты планетезималей, что их относительные скорости при сближении выросли в разы. Вместо того чтобы аккуратно слипаться при ударах, строительные блоки будущей планеты просто крошили друг друга в пыль.

Смысл «закона» Боде сводится к тривиальному естественному отбору: системы, в которых планеты формировались не в геометрической прогрессии, оказывались неустойчивы на больших промежутках времени. Вот она, формула Тициуса; по ней каждая следующая планета находится в два раза дальше:

Но она предполагает наличие планеты между Марсом и Юпитером и перестает работать, начиная с Нептуна. Современный вариант обходится без константы 0,4 и без фокуса с бесконечностью у Меркурия. Тут уже чистая геометрическая прогрессия, как в формуле упаковки выше: каждый следующий радиус умножается на одно и то же число. Гране и Дюбрюлль в 1994-м предложили множитель 1,7:

Линч в 2003-м на десяти телах, от Меркурия до Плутона, уточнил:

Расхождение с реальными расстояниями у чистой геометрической прогрессии выглядит принципиально иначе, чем у эмпирического правила XVIII века. Если классическая формула достаточно точна для внутренних планет, но сыплется на Нептуне (+29%) и Плутоне (+95%), то чистая геометрическая прогрессия сглаживает ошибки для всех планет, включая Плутон, которого из планет успели дисквалифицировать.

К той же геометрической прогрессии расстояний можно подойти совсем с другой стороны — не считая ни резонансы, ни радиусы Хилла. Гране и Дюбрюлль в 1994-м обратили внимание, что в изначальном газопылевом диске нет никакого готового масштаба. Если плотность, температура и угловой момент заданы степенными зависимостями от расстояния, то уравнения гидродинамики и гравитации не меняются от размеров протопылевого диска: больше он или меньше, все сводится к тем же формулам. Физика одинаково работает и на одной астрономической единице, и на десяти, и на ста.

Для расчетов проще перейти в логарифмическую шкалу: растяжение в λ раз на такой шкале превращается в обычный линейный сдвиг — прибавление ln(λ). То есть система, у которой нет выделенного масштаба, на логарифмической шкале выглядит как однородная среда. А для однородной среды решения линеаризованных уравнений гидродинамики ищутся в виде гармоник, причём разные гармоники не перемешиваются. Если диск неустойчив, побеждает та гармоника, у которой скорость роста максимальна, со своим волновым числом k. Возмущение плотности превращается в периодическую структуру с шагом Δx = 2π/k. А если перейти обратно, из логарифмической шкалы в линейную, то получится, что максимумы плотности, как регулярные волны в логарифмическом масштабе, в обычном выглядят как геометрическая прогрессия. Можно менять начальную плотность газа, скорость вращения, профиль температур или вязкость газовой среды протопылевого диска — результат будет тот же.

Но если геометрическая прогрессия следует из симметрии диска ещё до всякой динамики, то зачем нужен отбор на устойчивость? На самом деле это два уровня одного и того же процесса. Масштабная инвариантность диска задаёт геометрический характер будущей системы. А гравитационная динамика, радиусы Хилла и последующий отбор задают знаменатель этого шага и фактическое выживание орбит, безжалостно отбраковывая те планеты, которые сформировались слишком тесно или попали в деструктивные резонансы.

И это должно работать одинаково — хоть для планет вокруг звезды, хоть для спутников вокруг планет‑гигантов. Тот же самый геометрический шаг орбит наблюдается у лун Урана (Миранды, Ариэля, Умбриэля, Титании и Оберона) и у Галилеевых спутников Юпитера. В системе Сатурна фокус не удался — там один гигант Титан собрал 96% массы, нарушив все планы. А как обстоят дела у других систем?

В 2015 году Донг Пу и Яньци Ву проанализировали системы с четырьмя и более транзитными планетами и выяснили, что среднее значение взаимных радиусов Хилла для них составляет около 12,3. А минимальный порог для выживания на дистанции в миллиарды лет — в диапазоне от 10 до 13. Пар экзопланет с отношением периодов меньше 1,2 почти не встречается (у Солнечной системы самый тесный шаг у Земли и Венеры, 1,63, а в среднем, без промежутка Марс‑Юпитер, около 2,0). Время жизни системы растет экспоненциально с ростом зазоров между планетами: стоит лишь слегка сжать их орбиты, и миллиарды лет стабильности превращаются в миллионы. Всё, что было упаковано теснее, давно уже пересталкивалось или повылетало из систем.

А как удается выживать тем редким системам, где планеты утрамбованы гораздо плотнее, чем Земля и Венера у нас? Там работает резонансный замок. В системе ТРАППИСТ-1 семь землеподобных планет вращаются вокруг красного карлика на расстояниях ближе орбиты Меркурия у нас. Периоды соседних экзопланет «в точности», а не «почти», как у Юпитера и Сатурна, равны 8:5, 5:3, 3:2, 3:2, 4:3 и 3:2. Подобный порядок редко создается в один прием. Пикьерри и его коллеги показали, что цепочка ТРАППИСТ-1 собиралась в два этапа: сначала внутренние планеты сели на резонанс три к двум, затем отступающий край диска растянул их орбиты, дав место внешним планетам.

В другой известной системе, Кеплер-223, четыре субнептуна заперты рядом в цепочке 8:6:4:3, что тоже явно требовало долгой и плавной миграции. При этом большинство кеплеровских систем наверняка проходили через тот же резонансный замок, но лишь единицы сохранили его до наших дней, а остальные разорвали резонансы и мигрировали в безопасные зоны, в двенадцать радиусов Хилла и более.

Здесь возникает закономерный вопрос: почему в Поясе астероидов резонанс разрушает, а у ТРАППИСТ-1 и в паре Нептун‑Плутон спасает? Всё зависит от фазы встреч. Если гравитационные толчки приходятся на тесные сближения, резонанс работает как раскачка, вытягивая орбиту вплоть до катастрофы. Но если планеты синхронизировались так, что соединения происходят в моменты их максимального удаления друг от друга, резонанс превращается в защитный замок, запрещающий опасные сближения.

Именно здесь проявляется пропасть между искусственным замыслом и природным отбором. Астрофизик Шон Реймонд ради эксперимента смоделировал «предельную инженерную систему». Выяснилось, что физика в принципе не против нанизать на одну и ту же орбиту сразу 52 Земли как гигантское космическое ожерелье, с бусинами, разнесёнными вдоль кольца всё на те же 12 радиусов. А если нафаршировать обитаемую зону несколькими такими кольцами со встречным вращением (для стабильности), вокруг одной звезды можно усадить аж 416 Земель в зоне, где возможна жидкая вода. Ну, или больше 10 тысяч Марсов, если условие обитаемости снять. И это будет относительно устойчиво, по крайней мере, в первое время.

Да, выглядит как мечта застройщика, но само по себе такое чудо сформироваться принципиально не способно. Намеренное проектирование стремится к идеальной симметрии и предельной плотности. Естественная же аккреция строит хаос, а затем долго отбраковывает всё неустойчивое, оставляя лишь изрезанные, полупустые остатки.

Наша Солнечная система значительно старше всех этих экзопланетных лабораторий и на привычных нам масштабах кажется куда просторнее. У большинства «кеплеровских» систем самая внутренняя планета делает оборот дней за десять, это около 0,1 астрономической единицы, почти вчетверо ближе нашего Меркурия. Малдерс с коллегами в 2018 году подсчитали: систем без планет внутри орбиты Меркурия меньше 8%, а тех, где шаром покати уже внутри орбиты Венеры — едва ли 3%. Необычность нашей планетной системы заключается в абсолютно голых окрестностях Солнца, куда типичная звезда склонна набивать целую гирлянду суперземель.

И вот мы подходим к заявленному вопросу: если кажущийся порядок — это лишь след древней отбраковки, то завершилась ли она? Насколько близко к краю этой устойчивости находимся мы сами?

Ответ небесной механики звучит тревожно: наша система вовсе не застыла в вечном безопасном покое. В 1989-м Жак Ласкар математически доказал, что движение внутренних планет хаотично — траектории Меркурия, Венеры, Земли и Марса постепенно разъезжаются, неизбежная ошибка в расчетах вырастает на порядок каждые 10 миллионов лет, превращая любые долгосрочные прогнозы в набор вероятностных сценариев. Время Ляпунова для внутренних планет составляет всего около 5 млн лет: даже смещение в несколько метров в положении Земли сегодня за десятки миллионов лет превращает её будущую орбиту в чистую неопределённость.

Самым уязвимым звеном этой хрупкой конструкции остаётся Меркурий: частота прецессии его перигелия g₁ рискует совпасть с частотой Юпитера g₅. Этот вековой резонанс g₁-g₅ начнёт систематически вытягивать эксцентриситет Меркурия, и тот либо столкнётся с Венерой, либо упадёт на Солнце. Вероятность такой катастрофы не исчезающе мала — порядка 0,1% в следующие три миллиарда лет и около 1% на дистанции в пять миллиардов.

От катастрофического срыва Меркурий оберегает… общая теория относительности. Каждые сто лет Меркурий прецессирует на лишние 43 угловые секунды за счёт искривления пространства и замедления времени вблизи Солнца, сбивая резонансный шаг и уводя планету с опасной тропы синхронизации. Без ОТО на тех же пяти миллиардах лет орбита Меркурия уходила вразнос в 60% симуляций, а значит, за время жизни Солнечной системы он бы почти наверняка не уцелел. В отдельных сценариях выбивание Меркурия по цепочке выбивало из равновесия Венеру, Землю и Марс, внося полный хаос в систему внутренних планет.

Современная Солнечная система — это кадр из середины фильма, который мы никогда не увидим целиком. Разглядывая его, мы неизбежно задаёмся вопросами: как появились Земля и Луна? Откуда мигрировал Юпитер? Куда подевались суперземли? Что случится с Меркурием через миллиард лет? Почему Венера вращается в обратную сторону, а Уран лежит на боку? Пытаться угадать сюжетные ходы фильма по единственному кадру из него — в этом-то прелесть науки и заключается.

И в формуле Тициуса-Боде и в системе уравнений Молчанова, мы видим тот же порядок, что и в земной природе: восхищаясь геометрией пчелиных сот или узором на крыле бабочки, мы как-то забываем про миллиарды лет отбраковки и притирки. Всё, что в Солнечной системе звучало фальшиво, попадало в диссонанс, сбивалось с ритма, давно сорвалось со своих мест, столкнулось, рассыпалось, упало на Солнце или вовсе не смогло сформироваться. А результат этого бесконечно долгого отсева мы и называем гармонией природы, которой когда-то изумлялась просвещённая публика Европы, зачитываясь научпопом Шарля Бонне.