Как можно понять то, что не понимал даже Фейнман

Это ремейк, новая сильно переработанная редакция моей старой статьи. Я перечитал её и решил, что всё изложено слишком кратко, слишком сумбурно, а кое-где возможно и не совсем верно.

Фейнман утверждал «думаю, я смело могу сказать, что никто не понимает квантовую механику». Пожалуй, в то время, когда это было сказано, он был прав. И пожалуй, скажи он это сейчас, он бы ошибся. Наука и философия не стояли на месте и я убеждён, что то время, когда квантовую механику может при желании понять каждый, настало.

Новая теория вероятностей?

Является ли квантовая механика новой теорией вероятности? На самом деле нет, она используют старую, обычную. Но важно отличать истинные математические законы теории вероятностей, которые просто не могут не выполняться из-за самой природы вероятности, от законов физики, которые нельзя вывести чисто умозрительно, которые выводятся только эмпирически. Зачастую очень естественный закон, который казалось бы не может не соблюдаться, к которому мы привыкли в быту, оказывается неверным в общем случае.

Эксперимент с двумя щелями

Рассмотрим классический эксперимент с двумя щелями.

Установка состоит из источника электронов, экрана с двумя щелями, которые можно открывать и закрывать, и детектора, позволящего измерять интенсивность потока электронов в разных точках.

Электрон может пройти либо через левую щель, либо через правую. Перекроем правую щель. Тогда останется только один путь и вероятность обнаружить электрон в любой точке экрана будет равна вероятности электрона перейти от источника к левой щели и к точке экрана. Обозначим её , где — точка экрана. Теперь откроем правую щель и закроем левую. В этом случае вероятность обнаружить электрон равна вероятности перейти от источника к правой щели и далее к точке экрана. Обозначим её . Теперь откроем обе щели. Мы ожидаем, что в этом случае по правилам теории вероятностей вероятность обнаружить экран в точке экрана будет равна . Но эксперимент показывает совершенно иное ( $P_{12}(x)$ на рисунке). Что же случилось?

Дело в том, что — это вероятность пройти через левую щель при закрытой правой щели. Но она совсем не обязана быть равна вероятности пройти через левую щель при обоих открытых щелях. Щели, открытые одновременно, — это новая ситуация и в ней все вероятности могут быть иными. Мы просто привыкли, что открытие и закрытие второй щели не влияет на вероятность пройти через первую щель и наоборот. Но ниоткуда не следует, что природа обязана вести себя именно так.

Заметим, что ни , ни не наблюдаемы, наблюдаема только их сумма. Оказывается, что такие ненаблюдаемые вероятности крайне неустойчивы, так что нет даже смысла пытаться их рассчитать. Математически они существуют — это необходимо, чтобы теория вероятностей работала, но с точки зрения физики роль у них никакая.

Как же быть в такой ситуации? Оказывается, есть величины, которые устойчивы к изменениям условия опыта. Эти величины — комплексные числа, называемые амплитудами вероятности или просто амплитудами, которые связаны с вероятностью следующим образом: вероятность для электрона оказаться в определённом месте равна квадрату модуля соответствующей амплитуды.

Так же как есть два вида вероятностей — вероятность оказаться в определённом месте и вероятность перехода из одного места в другое, есть два вида амплитуд — упомянутая выше амплитуда оказаться в определённом месте и амплитуды перехода из одного места в другое. Но вероятности переходов не равны в общем случае квадрату модуля амплитуд переходов. Только в тех случаях, когда альтернативный путь один, такое равенство выполняется.

Для амплитуд действуют те же правила, что мы привыкли применять к вероятностям. Так, если амплитуда перехода из в равна $A_{AB}$ , а амплитуда перехода из в равна $A_{BC}$ , и добраться из в можно только через , то амплитуда перехода из в равна произведению $A_{AB} A_{BC}$ . А если из в можно добраться двумя путями — через с амплитудой $A_{ABD}$ и через с амплитудой $A_{ACD}$ , то итоговая амплитуда добраться из в будет суммой $A_{ABD} + A_{ACD}$ .

Примерно такая ситуация в опыте с двумя щелями. Пусть амплитуда перейти из источника через левую щель в точку экрана есть . В отличие от вероятности она не зависит от того, открыта ли вторая щель. Аналогично дело обстоит с аплитудой перехода через правую щель . Тогда если открыта только левая щель, то и аналогично если открыта только правая . Но когда открыты обе щели, то по правилу сложения амплитуд получается $P_{12}(x) = |A_1(x) + A_2(x)|^2$ , что совсем не равно ! Такова в общих чертах причина появления интерференционных полос.

Эксперимент с полупрозрачными зеркалами

Детальный анализ эксперимента с двумя щелями весьма сложен, поэтому рассмотрим его упрощённую версию.

Простой эксперимент с интерференцией. Фотоны вылетают из источника S, проходят через первое полупрозрачное зеркало, отражаются от промежуточных зеркал L, R, попадают на второе полупрозрачное зеркало, и, наконец, в один из двух детекторов T, U.

Вместо двух путей через левую и правую щель мы теперь имеем путь через левое зеркало и путь через правое зеркало . Если один из путей перекрыт, фотоны равновероятно попадают в два датчика , , что легко объяснимо: долетая единственным открытым путём до второго полупрозрачного зеркала, фотоны то отражаются на нём, то проходят сквозь.

Но если открыты оба пути, появляется на первый взгляд странное, неклассическое поведение. Именно, все фотоны попадают в , а не регистрирует ничего. Почему оно странное? Потому что обычный человек, не знакомый с квантовой механикой, не знакомый с амплитудами, рассуждает так: фотон из равновероятно переходит либо в , либо в , а из (а равно из ) равновероятно либо в либо в . Поэтому вероятность попадания в равна

$P(S \to T) =$ $= P(S \to L) P(L \to T) + P(S \to R) P(R \to T) = \frac 1 2 \cdot \frac 1 2 + \frac 1 2 \cdot \frac 1 2 =$ $= \frac 1 2.$

Но мы-то с вами уже знаем, что это просто неверный закон природы, и на самом деле складывать надо амплитуды, а не вероятности. Но на этот раз сделаем расчёт немножко иначе. Во-первых, заметим, что на каждом участке фотон находится в одном из двух альтернативных состояний. На конечном участке фотон либо летит в , либо в . На предыдущем участке он либо летит по пути через , либо по пути через . Наконец, в начале он всегда в , но для единообразия представим что он так же может налетать на зеркало справа, из воображаемого симметрично расположенного источника . Поэтому положение дел в любой момент — квантовое состояние фотона — это пара комплексных чисел: первое задаёт амплитуду нахождения в первом состоянии (это , , в зависимости от рассматриваемого этапа), а второе — соответственно во втором (, , ). Так, начальное состояние в этой нотации — это , поскольку источник расположен в , а в источника нет.

Теперь разберёмся с полупрозрачным зеркалом (например, первым, второе в точности такое же). Оно должно как-то связывать амплитуды входного состояния с амплитудами выходного. Если учесть все ограничения: что полная вероятность перейти хоть куда-то должна быть единица, что вероятности перейти из в и из в должны быть равны, и то же справедливо для переходов из , что выходные амплитуды должны линейно зависеть от входных, то остаётся не так много вариантов. Окончательно это определяется конкретной конструкцией зеркала, а для мысленного эксперимента можно просто выбрать что попроще. В итоге получаем такие амплитуды:

$\begin{matrix}A(S \to L) = A(L \to T) = -\frac 1 {\sqrt 2}, & A(S \to R) = A(L \to U) = \frac 1 {\sqrt 2}, \\A(S' \to L) = A(R \to T) = \frac 1 {\sqrt 2}, & A(S' \to R) = A(R \to U) = \frac 1 {\sqrt 2}.\end{matrix}$

Посмотрим что получается. Вначале у нас состояние . Значит, после прохождения первого полупрозрачного зеркала амплитуда будет $A(L) = A(S \to L) \cdot 1 = -\frac 1 {\sqrt 2}$ , а амплитуда — $A(R) = A(S \to R) \cdot 1 = \frac 1 {\sqrt 2}$ . Итого имеем состояние $(-\frac 1 {\sqrt 2}, \frac 1 {\sqrt 2})$ . Вероятности равны квадратам модулей амплитуд, то есть такое состояние означает, что с вероятностью $\frac 1 2$ частица летит левым путём и с вероятностью $\frac 1 2$ — правым. Но квантовое состояние содержит больше информации. Так, в нём на самом деле записана информация откуда фотон прилетел: из или . Действительно, если бы фотон летел из состояние после полупрозрачного зеркала было бы $(\frac 1 {\sqrt 2}, \frac 1 {\sqrt 2})$ , что даёт те же вероятности, но отличается (знаком первой амплитуды) от состояния $(-\frac 1 {\sqrt 2}, \frac 1 {\sqrt 2})$ .

Когда мы выше делали неверный расчёт, используя вероятности, мы фактически мысленно прерывали весь процесс в этой точке и перезапускали с неё, потеряв информацию о знаках амплитуд и забыв тем самым предысторию, фактически неявно предполагая, что будущее системы полностью определяется тем, где она находится сейчас, но не её прошлым. То, что для квантовых систем это предположение неверно, что квантовые системы немарковы было осознано совсем недавно.

Теперь второе зеркало. Если бы входная амплитуда была $(-\frac 1 { \sqrt 2}, 0)$ (фотон налетает из ), мы бы получили

$A_1(T) = A(L \to T) \cdot \left(-\frac 1 { \sqrt 2}\right) =\left(-\frac 1 { \sqrt 2}\right) \cdot \left(-\frac 1 { \sqrt 2}\right) = \frac 1 2,$ $A_1(U) = A(L \to U) \cdot \left(-\frac 1 { \sqrt 2}\right) =\frac 1 { \sqrt 2} \cdot \left(-\frac 1 { \sqrt 2}\right) = -\frac 1 2,$

а если бы амплитуда была $(0, \frac 1 { \sqrt 2})$ (фотон летит из ), то получилось бы

$A_2(T) = A(R \to T) \cdot \frac 1 { \sqrt 2} =\frac 1 { \sqrt 2} \cdot \frac 1 { \sqrt 2} = \frac 1 2,$ $A_2(U) = A(R \to U) \cdot \frac 1 { \sqrt 2} =\frac 1 { \sqrt 2} \cdot \frac 1 { \sqrt 2} = \frac 1 2.$

А на самом деле входное состояние $(-\frac 1 {\sqrt 2}, \frac 1 {\sqrt 2})$ , поэтому результаты выше надо сложить:

$A(T) = A_1(T) + A_2(T) = \frac 1 2 + \frac 1 2 = 1,$ $A(U) = A_1(U) + A_2(U) = -\frac 1 2 + \frac 1 2 = 0.$

Амплитуда попадания в получилась нулевая! А это значит, что фотон туда просто не попадает.

А что если поставить датчик, определяющий каким путём прошёл фотон? Получится следующее. Вместо простых состояний , и так далее мы будем иметь дополнительную информацию о показаниях датчика. Обозначим её индексами , . Так, в конце вместо двух возможных состояний , мы будем иметь 4: — фотон в , датчик показывает путь , — фотон в , датчик показывает путь , — фотон в , датчик показывает путь , — фотон в , датчик показывает путь .

И вместо $A(T) = A(L \to T) A(L) + A(R \to T) A(R)$ получим например

$A(T_R) = A(T \to R) A(L_R) + A(R \to T) A(R_R).$

Но если только датчик работает правильно, то — это означает ситуацию, что фотон пролетел через , а датчик зафиксировал пролёт через , поэтому остаётся только одно слагаемое:

$A(T_R) = A(R \to T) A(R_R) = \frac 1 {\sqrt 2} \cdot \frac 1 {\sqrt 2} = \frac 1 2.$

И аналогично три других конечных амплитуды:

$A(T_L) = A(L \to T) A(L_L) =\left(-\frac 1 { \sqrt 2}\right) \cdot \left(-\frac 1 { \sqrt 2}\right) = \frac 1 2,$ $A(U_R) = A(R \to U) A(R_R) =\frac 1 { \sqrt 2} \cdot \frac 1 { \sqrt 2} = \frac 1 2,$ $A(U_L) = A(L \to U) A(L_L) =\frac 1 { \sqrt 2} \cdot \left(-\frac 1 { \sqrt 2}\right) = -\frac 1 2.$

Для получения вероятностей как всегда находим модуль и возводим в квадрат, получаем:

$P(T_R) = P(T_L) = P(U_R) = P(U_L) = \frac 1 4.$

Если нас не интересуют показания датчика, то по правилам теории вероятностей (которую квантовая механика никоим образом не отменяет и не заменяет)

$P(T) = P(T_R) + P(T_L) = \frac 1 4 + \frac 1 4 = \frac 1 2,$ $P(U) = P(U_R) + P(U_L) = \frac 1 4 + \frac 1 4 = \frac 1 2.$

То есть в этом случае фотоны будут равновероятно попадать в два датчика!

Итак, мы проделали расчёты и нашли, что аналогично опыту с двумя щелями мы имеем две ситуации: в тех случаях где с двумя щелями наблюдаются интерференционные полосы, в данном опыте мы наблюдаем попадание фотона строго в один конечный датчик, а в случае перекрытия одного из путей или фиксации пути фотона мы получаем аналог отсутствия полос — равновероятное попадание в два конечных датчика.

Вывод

Мы смогли предсказать «странные» результаты известных квантомеханичских экспериментов, используя школьную математику и

не прибегая к концепции множественности миров,
не считая квантовые частицы то частицами то волнами (т. н. корпускулярно-волновой дуализм),
не предполагая, что частицы каким-то образом одновременно идут двумя путями: да амплитуды и обе ненулевые, но амплитуды — это просто способ считать вероятности,
вообще никак не упоминая и не учитывая сознание,
вообще никак не упоминая и не учитывая значенитый «коллапс волновой функции».

Поэтому можно смело сказать: в квантовой механике нет никакой магии.

ссылка на оригинал статьи https://habr.com/ru/articles/1095704/